Справочный материал

Определение 1

Функция f (t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1)f (t)≡ 0 при t < 0 .

2)f (t) - кусочно – непрерывная при t ≥ 0 .

3)Существуют такие числа M > 0 и s0 ≥ 0 , что для всех t

выполняется	неравенство		f (t)		≤ M es0t .		Число	s0
называется показателем роста оригинала f (t).								f (t)
Чтобы удовлетворить условию 1, функцию – оригинал
записывают в виде f (t) σ(t), где σ(t)= 1, t ≥ 0							- единичная
					0, t < 0
функция Хевисайда.
Определение 2		f (t) называется функция						F (p)
Изображением оригинала
комплексного	переменного		p = s + iσ ,			определяемая

несобственным интегралом

F (p)= ∞∫ f (t) e− ptdt .

0

Операцию перехода от оригинала f (t) к изображению F (p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f (t) и изображением F (p) записывается в виде

f (t)←• F(p).

•

При решении примеров следует пользоваться таблицей, устанавливающей соответствие между оригиналами и их изображениями (см. тему 12 «Операционное исчисление» компендиума по дисциплине «Математика»).

2

Таблица оригиналов и изображений

Оригинал

Изображение

№

F (p)= ∞∫ f (t) e− ptdt

f (t)

0

1

σ(t)

1

p

2

t σ(t)

1

p2

3

t

n

σ(t)

n!

pn +1

4

sin αt σ(t)

α

p2 +α2

5

cosαt σ(t)

p

p2 +α2

6

sh αt σ(t)

α

p2 −α2

7

ch αt σ(t)

p

p2 −α2

8

t sin αt σ

(t)

2 pα

(p2 +α2 )2

9

t cosαt σ

(t)

p2

−α2

(p2 +α2 )2

1

(sinαt −

1

10

2α3

(p2

+α2 )2

−αt cosαt) σ(t)

3