- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7.2.
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Таблица оригиналов и изображений
- •Задача 1
- •Справочный материал
- •Свойство линейности
- •Теорема запаздывания
- •Решение задачи
- •Задача 2
- •Справочный материал
- •Теорема смещения
- •Теорема разложения
- •Решение задачи
- •1 – ый способ
- •2 – ой способ
- •Задача 3
- •Справочный материал
- •Теорема о дифференцировании оригинала
- •Теорема об умножении изображений
- •Определение
- •Решение задачи
- •Задача 4
- •Решение задачи
- •1 – ый способ
- •2 – ой способ
- •Задача 5
- •Решение задачи
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
|
Чтобы определить оригинал y(t), представим Y (p) |
в виде |
||||||||
произведения |
|
F(p) |
= F (p) |
1 |
. |
Так |
как |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
p2 −1 |
p2 −1 |
|
|
||
1 |
|
• |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
→sh t σ(t), то по |
теореме |
об умножении |
|||||
|
p2 −1 |
|||||||||
|
• |
|
|
|
|
|
|
|||
изображений получим |
|
|
|
|
|
|
y(t)= |
1 |
|
σ(t) sh tσ(t)= ∫t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
σ(τ) |
sh(t −τ)σ(t −τ)dτ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ch3 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ch3 τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
τ ≥ 0 σ(τ)=1 |
|
|
|
|
|
= |
t |
|
|
1 |
|
|
|
|
(sh t chτ − ch t shτ)dτ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t −τ ≥ 0 σ(t −τ)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
0 ch3 τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||||||||||
|
|
|
t |
dτ |
|
|
|
|
|
|
t |
|
d (chτ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
ch t |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= sh t ∫ |
|
|
|
|
|
|
−ch t ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= sh t thτ |
0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 ch2 |
|
τ |
|
|
|
0 |
|
ch3 τ |
|
|
sh2 t |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
τ |
|
0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ch t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= sh t th t + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
σ(t). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ch |
t |
|
|
|
|
|
|
ch t |
|
|
|
2 ch t |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Операционным методом решить задачу Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t, 0 ≤ t ≤ π |
|
|
|
y(0)= 2 , y′(0)= 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y′′+ y′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, t > |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Пусть y(t) |
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
← Y (p). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
Y (p)− y(0)= p Y (p)−2 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
(t)← p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
• |
|
|
|
|
2 |
Y (p)− p y(0) |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Y |
(p)− 2 p . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y (t)← p |
|
− y |
(0)= p |
|
|
•
13
Запишем правую часть дифференциального уравнения одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда σ(t)
и σ (t −π ):
f (t)= cos t σ(t)−cos t σ (t −π ), или f (t)= cos t σ (t)+ cos(t −π ) σ(t −π ),
так как cos t = cos(π + (t −π))= −cos(t −π ).
Тогда по теореме запаздывания изображение для f (t) будет равно
F (p)= |
p |
+ |
p |
e−π p . |
|
|
|||
|
p2 +1 |
p2 +1 |
Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:
p2Y (p)− |
2 p + pY (p)− 2 = |
|
|
p |
|
|
|
p |
||||||
|
|
|
+ |
|
|
e−π p . |
||||||||
|
p2 +1 |
p2 +1 |
||||||||||||
Разрешив его относительно Y (p), получим |
|
|
|
|||||||||||
Y (p)p(p +1)= 2(p +1)+ |
|
p |
|
+ |
|
p |
|
e−π p , или |
||||||
|
|
|
|
p2 + |
|
|||||||||
|
|
|
|
p2 +1 |
1 |
|
||||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Y (p)= |
|
+ |
(p +1)(p2 +1)+ |
(p +1)(p2 +1) e−π p . |
||||||||||
p |
Найдем оригинал для каждого слагаемого в правой части полученного равенства.
|
2 |
|
1 |
|
• |
σ(t). |
|
1) |
|
= 2 |
|
→2 |
|||
p |
|
||||||
|
|
p |
• |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2) |
Для изображения |
(p +1)(p2 +1) оригинал можно найти |
двумя способами.
14