- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7.2.
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Таблица оригиналов и изображений
- •Задача 1
- •Справочный материал
- •Свойство линейности
- •Теорема запаздывания
- •Решение задачи
- •Задача 2
- •Справочный материал
- •Теорема смещения
- •Теорема разложения
- •Решение задачи
- •1 – ый способ
- •2 – ой способ
- •Задача 3
- •Справочный материал
- •Теорема о дифференцировании оригинала
- •Теорема об умножении изображений
- •Определение
- •Решение задачи
- •Задача 4
- •Решение задачи
- •1 – ый способ
- •2 – ой способ
- •Задача 5
- •Решение задачи
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
Задача 2
Найти оригинал по заданному изображению
F (p)= |
1 |
+ |
1 |
|
e−3 p . |
|
(p − |
2)2 |
|||
|
p3 −1 |
|
Справочный материал
Теорема смещения
Если f (t)←• F(p), α - вещественное число, то
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
• |
|
|
(p −α). |
||||
|
|
|
eαt ← F |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
Теорема разложения |
|
|
|
|
(p) |
|
|
|||||
Если изображение |
|
F(p)= |
Rn |
является правильной |
||||||||
|
Q |
(p) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
оригинал f (t) для него |
||
рациональной |
дробью |
|
( n < m ), |
то |
||||||||
определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F(p)= |
|
R |
(p) |
|
• |
n |
|
|
(F(p) e pt )= f (t), |
|||
|
n |
|
|
→ ∑ res |
||||||||
|
Qm (p) |
|||||||||||
|
|
|
• |
k =1 p= pk |
|
где p1, p2 ,K, pn - особые точки функции F (p).
Решение задачи
Найдем оригинал для каждого слагаемого в правой части равенства.
1) Для изображения |
1 |
оригинал можно найти двумя |
p3 −1 |
способами.
1 – ый способ
Дробь |
1 |
можно представить в виде суммы простейших |
p3 −1 |
дробей
6
1 |
|
1 |
A |
|
Bp +C |
||
|
= |
(p −1)(p2 + p +1)= |
|
|
+ |
|
. |
p3 −1 |
p −1 |
p2 + p +1 |
Умножив обе части последнего равенства на (p −1)(p2 + p +1), получим уравнение
1 = A(p2 + p +1)+ (Bp +C)(p −1).
Чтобы найти неопределенный коэффициент A , подставим в
это уравнение p =1. Тогда 1 = 3A , или A = |
1 |
. |
|
|
|||
|
|
3 |
|
Приравнивая коэффициенты при p2 , |
p1 и p0 в обеих |
||
частях тождества, получим систему линейных уравнений |
|||
|
0 = A + B |
|
|
|
= A − B +C , |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 = A −C |
|
|
|
|
|
из которой можно найти остальные неопределенные
коэффициенты B |
и |
C . Из первого |
|
уравнения |
этой системы |
|||||||||||||||||||
B = − |
1 |
, из третьего уравнения C = − |
2 |
. Следовательно, |
||||||||||||||||||||
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
p |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
|
3 |
|
|
+ |
3 |
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
p3 −1 |
|
p2 + p +1 |
|
|
|||||||||||||||||
Преобразуем полученные дроби так, чтобы можно было |
||||||||||||||||||||||||
воспользоваться теоремой смещения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
p + 2 |
|
2 − |
||||||||||||
|
|
p3 −1 = |
3 |
p −1 |
− 3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
7
− 12
− 13 cos
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
2 |
p + |
|
+ |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
||
3 t σ(t) e− |
1 |
|
|||
2 t − |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
→• 1 σ(t) et −
• 3
1 |
|
3 t σ(t) e− |
1 |
t . |
sin |
2 |
|||
3 |
|
2 |
|
|
2 – ой способ
1 |
= |
1 |
|
(p −1)(p2 + p +1). |
|
p3 −1 |
Особыми точками данной функции являются точка p1 =1 и корни уравнения
p2 + p +1 = 0 .
Найдем их
|
|
|
|
|
p2,3 = −1 ± |
|
1 − 4 |
= − |
1 |
± i |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точки |
|
p |
=1 , |
p |
2 |
= − 1 + i |
|
|
3 |
и |
p |
3 |
= − 1 |
− i |
|
3 |
|
|
- |
простые |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
полюсы функции |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
p3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Используя теорему разложения, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
• |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
→res |
|
3 |
|
e |
pt |
+ |
|
res |
|
|
3 |
|
|
|
e |
pt |
+ |
|
||||||||||
p |
− |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 • |
p=1 |
p |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
p=− |
1 |
+i |
3 p |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
|
res |
|
e pt |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p −1) |
+ |
||||||||||||
|
3 |
|
|
lim |
|
|
|
1)(p |
2 |
|
+1) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
p=−1 |
−i |
3 p |
|
− |
|
|
|
|
|
p→1 |
(p − |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p − |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
+ |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
→ − |
1 |
+ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
p |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 (p − |
1) p |
|
− |
|
|
− 2 + i |
2 |
|
|
p − |
− 2 − i |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p − |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
+ |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
→ − |
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
p |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− 2 + i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 − i |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 (p −1) p |
|
|
|
|
p − |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
et |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
= |
+ |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
(i 3) |
|
|
− |
2 |
|
|
2 |
(−i 3) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 e− |
1 |
|
|
|
|
|
ei |
|
3 |
|
|
|
2 e− |
1 |
|
|
|
e− i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
et |
|
|
|
2 t |
|
|
|
2 |
t |
|
|
2 t |
|
|
2 t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
3 − |
|
|
|
3 |
|
( |
|
3 −i)i + |
|
|
3 |
|
|
|
( |
|
3 +i)i |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 e− |
1 |
|
|
|
|
|
|
ei |
|
|
3 |
t ( 3 + i) |
|
|
|
e− i |
|
|
3 |
t ( 3 − i) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= |
et |
− |
2 t |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
= e |
t |
− e |
− |
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
2 |
|
t |
|
|
− i |
2 |
t |
|
|
|
|
|
i |
|
2 |
|
t |
|
− i 2 |
t |
|
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 e |
|
|
|
|
|
|
− e |
|
|
|
|
|
+ e |
|
|
|
|
|
+ e |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
t |
|
|
e |
− |
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 sin |
|
|
t |
+cos |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9