Задачи к разделу VI:

1. В первой урне 10 белых и 20 черных шаров, во второй – 10 белых и 10 черных шаров. Из первой урны наугад извлекают 4 шара, из второй – 6 шаров и перекладывают эти 10 шаров в третью урну. Какова вероятность того, что шар, извлеченный наугад из третьей урны, окажется белым?

2. В городе три шоколадные фабрики. Первая выпускает 45% конфет, причем 15% из них в обертке. Вторая выпускает 35% конфет, из которых 23% в обертке. Третья выпускает 20% конфет, из них 48% в обертке. Какова вероятность, что купленная наугад конфета окажется без обертки?

3. На столе четыре пакета. В первом 4 шоколадные конфеты и 10 леденцов, во втором 11 шоколадных и 2 леденца, в третьем –20 леденцов, а в четвертом – 13 шоколадных. Наугад выбирают один пакет и в нем конфету. Определить:

а) какова вероятность того, что выберут шоколадную конфету?

б) какова вероятность выбора конфеты из первого пакета, если она оказалась шоколадной.

4. В магазин поступает минеральная вода в бутылках от двух изготовителей: местного и иногороднего, причем местный изготовитель поставляет 40% всей продукции. Вероятность того, что при транспортировке бутылка окажется разбитой, равна: для местной продукции 0,02, для иногородней 0,05. Найти вероятность того, что взятая наудачу бутылка окажется неразбитой.

5. Имеется пять урн. В первой, второй и третьей находятся по 2 белых и 3 черных шара; в четвертой и пятой урнах по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова вероятность того, что выбрана четвертая или пятая урна, если извлеченный шар оказался белым?

6. Есть 10 симметричных монет, 8 нормальных, а на двух герб находится с обеих сторон. Наудачу взятая монета бросается три раза. Найти вероятность того, что выпадут три герба.

7. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй 0,1% брака; продукция, поступающая с третьего автомата, не содержит бракованных изделий. На сборку поступило 2000 деталей с первого автомата, 3000 деталей со второго автомата и 5000 деталей с третьего автомата.

   1. Найдите вероятность того, что деталь, выбранная наугад из всех этих деталей, будет бракованная.

   2. Какова вероятность того, что деталь, выбранная наугад из данных деталей, поступила с первого автомата, если известно, что она является небракованной?

8. Из урны, в которой было m3 белых и n черных шаров, потеряли один шар неизвестного цвета. Для того чтобы определить состав шаров в урне, из нее наудачу вынуты два шара. Найти вероятность того, что был утерян белый шар, если известно, что вынутые шары оказались белыми.

9. Вероятности попадания в мишень для трех стрелков равны 4/5, 3/4 и 2/3 соответственно. В результате одновременного выстрела трех стрелков в мишени образовалось две пробоины. Какова вероятность того, что 3-й стрелок попал в мишень?

10. В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй – 8 белых и 2 черных шара. Из каждой урны наугад удаляют по k шаров (1 k  9), а оставшиеся шары ссыпают в третью, пустую урну. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, будет белым?

11. Группа студентов состоит из a отличников, b хорошо успевающих и c занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена наугад вызывается один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или удовлетворительную оценку.

12. В магазине продается 60% тортов фирмы «Дюжина», 30% – фирмы «Эстье» и 10% фирмы «Инмарко». Вероятность того, что торт фирмы «Дюжина» окажется несвежим, равна 0,2; для тортов, изготовленных фирмами «Эстье» и «Инмарко», эти вероятности соответственно равны 0,1 и 0,3. Найти вероятность того, что купленный в этом магазине торт окажется свежим.

13. Вероятности попадания в мишень для трех стрелков равны 4/5, 3/4 и 2/3 соответственно. Для поражения цели в нее нужно попасть не менее двух раз. В результате одновременного выстрела трех стрелков цель была поражена. Какова вероятность того, что 3-й стрелок попал в цель?

14. В баре разливают 50% пива «Балтика», 30% пива «Золотая бочка» и 20% пива «Очаков». Вероятность того, что пиво «Балтика» окажется «неправильным», равна 0,3; для пива «Золотая бочка» и пива «Очаков» эти вероятности соответственно равны 0,1 и 0,2. Посетитель купил «правильное» пиво. Какова вероятность того, что ему налили пиво «Очаков»?

15. Бросается две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпала единица, если известно, что на второй кости выпало очков больше, чем на первой?

16. В ящике находится a новых теннисных мячей и b игранных. Из ящика наугад вынимается два мяча, которыми играют. После этого мячи возвращаются в ящик. Через некоторое время из ящика снова берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми (a2; b2).

17. В первой чашке два пирожка с малиной и 4 с лимоном, во второй чашке – 5 пирожков с малиной и 5 с лимоном. Из первой чашки наудачу переложили во вторую два пирожка. Найти вероятность того, что потом взятый наудачу из второй чашки пирожок окажется с лимоном.

18. Приборы одного наименования изготавливаются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй 1/3. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна p₁, второго p₂. Определить надежность наудачу выбранного прибора.

19. В двух ящиках находятся микросхемы. В первом ящике – 12 микросхем, из них одна нестандартная, во втором – 10 микросхем, из них две нестандартных. Из первого ящика наугад взята микросхема и переложена во второй. Найти вероятность того, что наугад извлеченная из второго ящика микросхема будет нестандартной.

20. Перед Новым годом четыре ребенка написали письмо деду Морозу. Вероятности исполнения их желаний равны 0,95; 0,7; 0,53 и 0,03. Найти вероятность исполнения одного из наудачу прочитанных писем.

21. Вероятность того, что 1-я группа из пяти студентов помнит письмо Онегина Татьяне, равна 0,85; для 2-й группы из 10 студентов эта вероятность составляет 0,5; для 3-й группы из 24 – 0,2. Наудачу выбранный студент получил за этот отрывок «отлично». Найти вероятность того, что отвечал студент из 2-й группы.

22. На компот Люда купила 24 абрикоса и 23 сливы. Дома девушка не удержалась и съела 1 фрукт, причем, неизвестно какой. После этого наудачу она извлекла из сумки еще два фрукта для младшего брата, которые оказались абрикосами. Найти вероятность того, что первоначально были съедены:

а) абрикос;

б) слива.

23. В магазине 5 электрических и 6 механических соковыжималок. Вероятность неисправности 0,2 для электрической и 0,1 для механической. Продавец для собственных нужд взяла одну, не обратив внимания, какую. Найдите:

а) вероятность того, что прибор исправен;

б) вероятность того, что соковыжималка оказалась электрической, если известно, что прибор исправен.

24. Магазин приобретает чай у двух фабрик, при этом первая из них поставляет 2/3 всего товара. Продукция высшего сорта для первой фабрики составляет 90%, а для второй 80%. Найти вероятность, что купленная наугад пачка чая будет пачкой высшего сорта.

25. В двух цехах изготовляется однотипная продукция. Производительность первого цеха вдвое выше, чем производительность второго цеха. Изделия высшего качества составляют в среднем для первого цеха 95%, для второго цеха – 90%. Из общей продукции этих цехов наугад берется одно изделие.

а) Найти вероятность того, что оно окажется изделием высшего качества.

б)Какова вероятность того, что выбранное изделие изготовлено во втором цехе, если известно, что оно оказалось изделием высшего качества?