- •Введение
- •Часть 1. Случайные события. Раздел I: Комбинаторика.
- •Задачи к разделу I:
- •Раздел II: Операции над случайными событиями
- •Задачи к разделу II:
- •Раздел III: Непосредственный подсчет вероятностей.
- •Задачи к разделу III:
- •Раздел IV: Геометрические вероятности.
- •Задачи к разделу IV:
- •Раздел V: Условные вероятности. Вероятности сумм и произведений событий.
- •Задачи к разделу V:
- •Раздел VI: Формулы полной вероятности и Байеса.
- •Задачи к разделу VI:
- •Раздел VII: Схема Бернулли.
- •Задачи к разделу VII:
- •Часть 2. Случайные величины. §1. Одномерные случайные величины.
- •§2. Двумерные случайные величины.
- •Раздел I: Дискретные двумерные случайные величины.
- •Раздел II: Непрерывные двумерные случайные величины.
- •Смешанное мат. Ожидание
- •Задачи к разделу II: Непрерывные двумерные случайные величины.
- •Литература
- •Оглавление
Раздел V: Условные вероятности. Вероятности сумм и произведений событий.
Вероятность суммы двух совместных событий:
.
Вероятность суммы трех совместных событий:
.
Вероятность суммы n несовместных событий:
.
Вероятность произведения двух событий:
.
Если , то говорят, что событияA и B независимы. Тогда .
Вероятность произведения n событий:
.
Если события Ai (i=1,2,…,n) независимы, то .
Пример 1: Из колоды в 52 карты вытаскивается одна карта. Какова вероятность того, что это будет либо дама, либо карта пиковой масти?
Решение: Рассмотрим события А={извлечена дама} и В={извлечена карта пиковой масти}. Нас интересует сумма этих двух событий А+В={извлечена либо дама, либо карта пиковой масти}.
P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB), где AB={извлечена пиковая дама}.
(13 одинаковой масти), .
.
Пример 2: В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наугад две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными.
Решение: Нас интересует событие A={вытащенные пуговицы одноцветные}. Представим событие A как сумму двух несовместных событий: A=A1+A2,
где A1={обе пуговицы красные}; A2={обе пуговицы синие}.
Так как события несовместны, то P(A)=P(A1)+P(A2).
Представим A1 и A2 как произведение двух событий: A1=B1B2; A2=C1C2,
где B1={первая пуговицы красная}, B2={вторая пуговицы красная},
С1={первая пуговицы синяя}, С2={вторая пуговицы синяя}.
Тогда P(A1)=P(B1)P(B2B1); P(A2)=P(C1)P(C2C1).
; – вероятность того, что вторая пуговица красная, если точно известно, что первая пуговица тоже красная.
Аналогично ;.
Следовательно ,,.
Пример 3: Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятности попадания в мишень при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны p1, p2, p3. Найти вероятность того, что в мишень произойдет ровно два попадания.
Решение: Запишем событие, вероятность которого нас интересует:
A={ровно два попадания}.
Событие A представим в виде трех несовместных события: A=A1+A2+ A3, где
A1={попал; попал; промах}; A2={попал; промах; попал}; A3={промах; попал; попал}.
Каждое из событий Ai можно представить, как произведение трех независимых событий:
B1={попадание при I выстреле};B1={промах при I выстреле};
B2={попадание при II выстреле};B2={промах при II выстреле};
B3={попадание при III выстреле};B3={промах при III выстреле}.
; ;.
; ;;;;.
Поскольку события Bi независимы, то ,;.
Так как события Ai несовместны, то
.
Пример 4: Одна торпеда попадает в корабль с вероятностью ½. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для его потопления достаточно попадания одной торпеды?
Решение: A={корабль потоплен}. Будем искать вероятность противоположного события ={корабль не потоплен}. Введем дополнительные события:Bi={i-ая торпеда попала в цель (i=1,2,3,4.)}. {i-ая торпеда не попала в цель (i=1,2,3,4.)}.
, .
Корабль будет потоплен, если в него попадет хотя бы одна торпеда. Сформулируем фразу противоположного смысла: корабль не будет потоплен, если в него не попадет ни одной торпеды. Таким образом . Поскольку событияBi независимы, то будут независимы и противоположные к ним события, и тогда
, .
Замечание: Если в задаче встречается формулировка «хотя бы один…», то удобнее перейти к противоположному событию, смысл которого «ни одного…».