- •Введение
- •Часть 1. Случайные события. Раздел I: Комбинаторика.
- •Задачи к разделу I:
- •Раздел II: Операции над случайными событиями
- •Задачи к разделу II:
- •Раздел III: Непосредственный подсчет вероятностей.
- •Задачи к разделу III:
- •Раздел IV: Геометрические вероятности.
- •Задачи к разделу IV:
- •Раздел V: Условные вероятности. Вероятности сумм и произведений событий.
- •Задачи к разделу V:
- •Раздел VI: Формулы полной вероятности и Байеса.
- •Задачи к разделу VI:
- •Раздел VII: Схема Бернулли.
- •Задачи к разделу VII:
- •Часть 2. Случайные величины. §1. Одномерные случайные величины.
- •§2. Двумерные случайные величины.
- •Раздел I: Дискретные двумерные случайные величины.
- •Раздел II: Непрерывные двумерные случайные величины.
- •Смешанное мат. Ожидание
- •Задачи к разделу II: Непрерывные двумерные случайные величины.
- •Литература
- •Оглавление
Раздел VII: Схема Бернулли.
Формула Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие A. Появление события A в каждом испытании называют «успехом», непоявление – «неудачей». Вероятность того, что событие A в серии из n испытаний произойдет ровно k раз и не произойдет n– k раз определяется по формуле Бернулли:
,
где q=1–p вероятность неудачи, то есть события .
Саму серию испытаний называют схемой Бернулли.
Пример 1: 10 раз подкидывается монета. Найти вероятность того, что ровно два раза выпадет герб.
Решение: Испытание – подкидывание монеты. Очевидно испытания независимые. Всего испытаний n=10. Успех A={выпал герб}. ,. Число успеховk=2. Тогда вероятность того, что ровно два раза выпадет герб равна:
Замечание: прежде чем использовать формулу Бернулли необходимо убедится, что испытания независимы.
Пример 2: Известно, что изделия в среднем содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти наугад взятых изделий: а) нет ни одного бракованного; б) будет ровно два бракованных.
Замечание: Выражение «в среднем 5%» не означает, что из 100 деталей ровно 5 бракованных, а значит, что вероятность взять бракованную деталь равна 0,05 вне зависимости от того, какая деталь была выбрана дл этого.
Решение: За испытание возьмем выбор изделия. Всего испытаний n=5. Успех A={изделие бракованное}. ,. В силу последнего замечания испытания независимы и задача является вероятностной схемой Бернулли.
а) k=0,
б) k=2,
Пример 3: Всхожесть семян определенного сорта оценивают с вероятностью p=0,8. Какова вероятность, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?
Решение: Нас интересует вероятность события B={взойдет не менее 4 семян}. Пусть испытание – наблюдение за одним из посеянных семян (n=5), а успех A={семя взойдет}. Воспользоваться напрямую формулой Бернулли нельзя, так как нужно задать конкретное число успехов. Однако эту задачу можно привести к схеме Бернулли:
B=B1+B2
B1={взойдет ровно 4 семени}; B2={взойдет ровно 5 семян}.
Последние два события несовместны, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей. Оба события являются вероятностной схемой Бернулли:
1) B1: n=5; k=4; p=0,8; q=0,2
2) B2: n=5; k=5; p=0,8; q=0,2
P(B)=P(B1)+P(B2)=0,4096+0,32768=0,73728
Пример 4: Вероятность рождения мальчика 0,515. В семье 6 детей. Какова вероятность того, что среди них не более двух девочек?
Решение: Испытание – определение пола ребенка. Успех A={ребенок – девочка}.
B={из 6 детей не более двух девочек}.
Рассмотрим события:
B0={в семье нет девочек}; B1={в семье одна девочка}; B2={в семье две девочки}.
B=B0+B1+B2
n=6; p=0,485; q=0,515.
;
P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=0,37228
Наивероятнейшее число наступлений события.
Вероятности Pn(k) при данном n сначала увеличиваются при увеличении k от 0 до некоторого значения k0, а затем уменьшаются при изменении k от k0 до n. Поэтому k0 называют наивероятнейшим числом наступления события A в n испытаниях.
Наивероятнейшее число k0 определяется из неравенств: np–q≤k0≤np+p
В этом неравенстве k0 может быть только целым числом.
Если произведение np – целое число, то k0=np. Если np–q и np+p целые числа, то наивероятнейших чисел наступления события будет два: и, и их вероятности будут равны.
Пример 5: Батарея дала 14 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект p=0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.
Решение: p=0,2 – вероятность попадания в объект; q=0,8 – вероятность промаха; n=14. Наивероятнейшее число попаданий k0 определяется из неравенств np–q≤k0≤np+p
np=140,2=2,8; 2,8–0,8≤k0≤2,8+0,2; 2≤k0≤3
Таким образом, наивероятнейшее число попаданий равно 2 и 3. Найдем их вероятности:
Пример 6: Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна p=0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?
Решение: p=0,8 – вероятность попадания; q=0,2 – вероятность промаха; k0=20 – наивероятнейшее число попаданий; n – ? – число выстрелов. Для определения n воспользуемся неравенствами np–q≤k0≤np+p:
n0,8–0,2≤20≤n0,8+0,8 19,2≤n0,8≤20,2 24≤n≤25,25
Так как n – целое число, то оно может быть равно либо 24, либо 25.
Подсчитаем вероятность 20 попаданий при 24 и 25 выстрелах:
;
.
Для того, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20 нужно провести либо 24, либо 25 выстрелов, причем вероятности ровно 20 попаданий при 24 и 25 выстрелах равны.