Раздел II: Операции над случайными событиями

Суммой (объединением) двух событий A и B называют событие, в результате которого произойдет хотя бы одно из событий A или B. Эту операцию обозначают A+B или AB.

Пример 1: Бросается игральный кубик. События A={выпадение 1, 2 или 3 очков}; B={выпадение чётного числа очков}. Тогда A+B={выпадение 1, 2, 3, 4 или 6 очков}.

Если события изображать множеством точек на плоскости, то результат сложения двух событий выглядит следующим образом:

Произведением (пересечением) двух событий A и B называют событие, в результате которого произойдут оба события A и B. Эту операцию обозначают AB или AB.

Пример 2: Рассмотрим пример 1. AB={выпадение 2 очков}

Разностью двух событий A и B называют событие, в результате которого событие A произойдет, а событие B не произойдет. Эту операцию обозначают A-B или A/B.

Пример 3: Рассмотрим пример 1. A-B={выпадение 1 или 3 очков}, B-A={выпадение 4 или 6 очков}.

Противоположным событием по отношению к событию A, называют событие , состоящее в не появлении A.

Пример 4: Рассмотрим пример 1. ={выпадение 4, 5 или 6 очков}, ={выпадение нечетного числа очков}.

Пример 5: На плоскости произвольным образом рисуется точка. События A={точка попала в круг A}, B={точка попала в круг B}. Какой смысл имеют события , , A+B, AB, ?

Решение:

={точка не попала в круг A}

={точка не попала в круг B}

A+B={точка попала хотя бы в один из кругов}

AB={точка попала в пересечение кругов}

={точка не попала в пересечение кругов}

Пример 6: Из таблицы чисел взято одно число. Событие A={выбранное число кратно 5}, B={данное число оканчивается нулем}. Что означает события A-B и A?

Решение: Число кратное 5 должно заканчиваться либо на 0, либо на 5. Тогда

A-B={данное число оканчивается на цифру 5}.

={данное число не оканчивается на ноль}

A={данное число оканчивается на цифру 5}. Т.е. A-B и A одно и то же событие.

Пример 7: Пусть A, B и C – три произвольных события. Записать выражение для заданных событий:

1. Произошло только событие A

2. Произошли все три события

3. Произошло, по крайней мере, одно из событий

4. Произошло, по крайней мере, два события

5. Произошло одно и только одно событие

6. Не произошло ни одного события

7. Произошло не более двух событий

Решение: Ответим последовательно на все 7 вопросов:

1. или A-B-C

2. ABC

3. A+B+C

4. AB+AC+BC

5. 

6. или

7. 

Пример 8: Бросаются две игральные кости (кубика). События A={сумма очков равна 5}, B={хотя бы на одной из костей выпала единица}. Описать события AB и .

Решение: Запишем все исходы составляющие события A и B: A={1:4; 2:3; 3:2; 4:1}, B={1:i; i:1} (i=1,2,3,4,5,6). AB={1:4; 4:1}={на одной из костей выпала единица, на другой четверка}. ={ни на одной из костей не выпала единица},={2:3; 3:2}=}={на одной из костей выпала двойка, на другой тройка}.

Пример 9: Цепь состоит из системы контактов. Событие А_i={контакт К_i замкнут (i=1;2;3;4)}. Записать события: а) цепь замкнута; б) цепь разомкнута.

Решение:

а)

б)

Событие называется невозможным, если в результате случайного эксперимента оно не произойдет ни при каких обстоятельствах. Обозначается символом .

Пример невозможного события – выпадение двух и четырех очков при одном броске игральной кости.

Событие называется достоверным, если в результате опыта оно обязательно произойдет. Обозначается символом .

Пример достоверного события – выпадение любого из шести очков при одном броске игральной кости.

Свойства операций над событиями:

1) A+B=B+A; 2) AB=BA; 3) ; 4)A=A; 5) ; 6) ; 7); 8)(A+B)C=AC+BC; 9) ; 10).

Свойства 1)-7) непосредственно следуют из определения операций над событиями.

Покажем свойство 8). Удобно использовать графический метод, так называемые диаграммы Эйлера. События представляются как множество точек на плоскости. Нужно показать, что множество левой части равенства совпадает с множеством правой части.

9)

=

10)

=

A

AB

B

Пример 10: Упростить заданные выражения.

1. 

2. 

3. 

4.