![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Часть 1. Случайные события. Раздел I: Комбинаторика.
- •Задачи к разделу I:
- •Раздел II: Операции над случайными событиями
- •Задачи к разделу II:
- •Раздел III: Непосредственный подсчет вероятностей.
- •Задачи к разделу III:
- •Раздел IV: Геометрические вероятности.
- •Задачи к разделу IV:
- •Раздел V: Условные вероятности. Вероятности сумм и произведений событий.
- •Задачи к разделу V:
- •Раздел VI: Формулы полной вероятности и Байеса.
- •Задачи к разделу VI:
- •Раздел VII: Схема Бернулли.
- •Задачи к разделу VII:
- •Часть 2. Случайные величины. §1. Одномерные случайные величины.
- •§2. Двумерные случайные величины.
- •Раздел I: Дискретные двумерные случайные величины.
- •Раздел II: Непрерывные двумерные случайные величины.
- •Смешанное мат. Ожидание
- •Задачи к разделу II: Непрерывные двумерные случайные величины.
- •Литература
- •Оглавление
Раздел II: Непрерывные двумерные случайные величины.
Плотностью распределения непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная производная ее функции распределения:
Случайная величина
равномерно
распределена в
области D
площадью SD
, если ее плотность распределения
задается так:
Значение константы однозначно определяется условием нормировки:
Отсюда:
Пусть X
– непрерывная случайная величина с
плотностью распределения
,Y
– непрерывная случайная величина с
плотностью распределения
,
-
плотность распределения непрерывной
двумерной случайной величины
По известной двумерной
плотности распределения
можно однозначно восстановить одномерные
плотности распределения:
Случайные величины X и Y независимы, если
Плотность вероятности условного распределения непрерывной случайной величины Y при условии X=x (условная плотность):
Плотность вероятности условного распределения непрерывной случайной величины X при условии Y=y:
Отсюда
Основные числовые характеристики
Математическим
ожиданием
непрерывной двумерной случайной величины
называется совокупность математических
ожиданий одномерных случайных величин:
Точка с координатами
называетсяцентром рассеивания.
Дисперсией двумерной случайной величины называется совокупность двух дисперсий:
Математическое
ожидание функции
непрерывной случайной величины
:
Смешанное мат. Ожидание
Ковариация в случае непрерывных случайных величин:
Коэффициент корреляции:
,
где
,
-средние
квадратические отклонения
Функции регрессии в случае непрерывных случайных величин есть условные математические ожидания:
,
,
где
и
- условные плотности распределения.
Задачи к разделу II: Непрерывные двумерные случайные величины.
Задания:
Написать выражение для
Найти ,
Найти координаты центра рассеивания
Сделать вывод о зависимости X и Y
Найти плотности условных распределений
Найти ковариационную матрицу
Найти
Варианты:
Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(-1,1), R(0,2) соответственно.
Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (-1,0), (1,2), (1,0).
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в квадрате со стороной а и диагоналями, совпадающими с осями координат.
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (-1,0), (0,1), (0,0).
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение в области:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (0,0), (0,2), (1,0).
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(-2,0), R(0,2) соответственно.
Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение в области:
Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(0,3), R(0,2) соответственно.
Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (-2,0), (1,2), (1,0).
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в квадрате со стороной, равной 2, и диагоналями, совпадающими с осями координат.
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:
Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид: