Упражнения

1. Провести конечноэлементную дискретизацию уравнения Пуассона

() = –.

Выделив два соседних элемента, показать, что при этом условие на их общей границе выполняется автоматически.

2. Как в методе конечных элементов учесть условие на резкой границе раздела сред, заданное в виде D_n2 – D_n1 =  ( – поверхностная плотность заряда) для электростатической задачи?

3. Получить дискретные уравнения задачи теплопроводности для тонкого однородного стержня

, 0  t  t₁, 0  x  a,

(x, 0) = 10, (0, t) = 10 + 0.2t, (a, t) = 10– 0.3t, где (x, t) – температура стержня в точке x в момент времени t. k принять равным 1.

4. Концы струны закреплены в точках x=0 и x=1; первоначально струна находится в покое (/t=0 при t=0) и имеет форму =^ (x). Найти численное решение, описывающее последующие перемещения струны. Построить дискретные уравнения для МКЭ, пользуясь вариационным и проекционным представлением задачи.

3 Физико-математическое моделирование конструктивных элементов сверхпроводящих электромагнитных подвесов

3.1 Физико-математическая модель

Сверхпроводниковый электромагнитный подвес представляет собой электромеханическую систему, состоящую из сверхпроводникового тела 1, левитирующего в неоднородном магнитном поле сверхпроводниковых катушек 2 с током I, каркаса, сверхпроводникового экрана 3 и металлических несверхпроводящих деталей корпуса 4 для демпфирования колебаний левитирующего тела (рис. 3.1) и находящуюся во внешнем поле . Условием левитации тела весом P является выполнение условия , где – подъемная сила, создаваемая магнитным полем катушки.

Рис. 3.1. Схема сверхпроводникового подвеса.

Ограничимся рассмотрением подвесов, работающим в мейсснеровском режиме. Для анализа магнитного поля в подвесе рассмотрим систему, включающую один или несколько сверхпроводниковых элементов, среди которых могут быть как односвязные, так и многосвязные тела. Так как сверхпроводники находятся в мейсснеровском состоянии, в любой точке поверхности сверхпроводника магнитное поле меньше критического поля Н_с для сверхпроводников первого рода и меньше первого критического поля Н_с1 для сверхпроводников второго рода, т. е. нигде не происходит разрушения сверхпроводимости.

В общем случае задача формулируется следующим образом: найти распределение напряженности магнитного поля в пространстве, окружающем сверхпроводники (внутри сверхпроводника полагаем ), если система находится в постоянном внешнем магнитном поле , а в сверхпроводниковых элементах протекают токи I_i, i = 1, ... , k (k – число токонесущих сверхпроводников). Данная постановка не учитывает конечную глубину проникновения поля в сверхпроводник (_L  10^–6  10^–4 см), поэтому она справедлива для макроскопических образцов, относительные размеры которых много больше _L . Аналогичные выводы можно сделать в отношении размеров дефектов, неровностей, шероховатостей поверхности.

Рассмотрим более подробно формулировку задачи для токонесущей сверхпроводниковой системы. Сначала предположим, что система состоит из одного двусвязного токонесущего элемента (кольца). Покажем, что состояние такой системы полностью определяется заданием тока I.

Так как вне сверхпроводника , , то для описания магнитного поля можно ввести скалярный магнитный потенциал , для которого

 = 0 в объеме , (3.1)

на поверхности сверхпроводника. (3.2)

Последнее условие – однородное граничное условие Неймана – выполняется в силу эффекта Мейсснера: тангенциальная составляющая вектора равна нулю.

Проведем замкнутый контур L так, чтобы он проходил через отверстие кольца (рис. 3.2). Циркуляция вдоль L есть

( – полное изменение потенциала вдоль L). С другой стороны, согласно уравнению Максвелла, та же циркуляция есть полный ток в контуре:

.

Таким образом, скалярный магнитный потенциал обладает свойством неоднозначности: он изменяется на величину I при обходе по любому замкнутому пути, охватывающему сверхпроводник с током. Поэтому для однозначного решения задачи достаточно определить некоторую поверхность разреза S, где потенциал меняется скачкообразно

₊ – _– = I, (3.3)

где ₊ и _– – значения потенциала в одной и той же точке на двух сторонах поверхности.

П оверхность разреза должна быть проведена так, чтобы исключить существование замкнутого контура вокруг сверхпроводника, который бы не пересекал эту поверхность. Например, для сверхпроводникового кольца такой поверхностью может быть любая поверхность, закрывающая отверстие кольца (рис. 3.2).

К

Рис. 3.2.

ак известно из теории потенциала, задача в приведенной формулировке (3.1–3.3) имеет единственное решение и не зависит от формы поверхности разреза.

Данный результат непосредственно обобщается на случай сверхпроводниковых тел любой степени связности, например, совокупности двусвязных сверхпроводников (колец). Состояние n-связной системы однозначно определяется заданием (n – 1) значений полных токов I_i. Проводится n – 1 поверхностей разреза, на каждой из которых задается условие

₊⁽ⁱ⁾ – _–⁽ⁱ⁾ = I_i .

Запасенная в системе энергия определяется формулой

.

Используя тождество , получаем

.

Первый интеграл тождественно равен нулю в силу уравнения Максвелла , второй интеграл преобразуем по формуле Остроградского-Гаусса:

,

где Г₁ – бесконечно удаленная поверхность; Г₂ – суммарная поверхность сверхпроводников, – совокупность поверхностей разрезов. Интеграл на Г₁ равен нулю, так как на бесконечности, а на Г₂ – в силу /n = 0.

Поскольку ₊ – _–Si = I_i , то

, (3.4)

где – магнитный поток через поверхность разреза S_i .

С другой стороны, запасенная энергия есть

, (3.5)

где L_ij – коэффициенты само- (i = j) и взаимной (i  j) индукции. Отсюда

. (3.6)

Известно [127], что если сверхпроводниковое кольцо с током находится во внешнем магнитном поле, то при любом изменении внешнего поля и тока полный магнитный поток через кольцо остается постоянным

, (3.7)

где L – индуктивность кольца, Ф_е – поток от внешнего поля, LI – собственный поток. Так, если кольцо было переведено в сверхпроводящее состояние в отсутствие внешнего поля (Ф_е = Ф₀ = 0) и затем это поле включается, то в кольце индуцируется стационарный ток, равный I=–Ф_e/L. Постоянство магнитного потока через сверхпроводниковое кольцо имеет место не только при изменении внешнего поля, но и при любом изменении формы кольца и его перемещения в пространстве. Данное условие является фундаментальным свойством сверхпроводимости. Величина замороженного потока Ф₀ определяется условиями перехода в сверхпроводящее состояние.

Таким образом, в случае и двусвязного сверхпроводникового тела задачу можно сформулировать следующим образом:

в пространстве вне сверхпроводника, (3.8)

на поверхности сверхпроводника, (3.9)

на бесконечности, (3.10)

, (3.11)

на поверхности разреза S. (3.12)

В случае n-связной системы при наличии внешнего поля соотношения (3.11) и (3.12) обобщаются в системы уравнений соответственно

, (3.13)

на поверхности S_i . (3.14)

Здесь предполагается, что известны либо токи I_i, либо потоки Ф_i0.

Сила, действующая на сверхпроводниковое тело со стороны магнитного поля, определяется с помощью интеграла

, (3.15)

где интегрирование производится по поверхности сверхпроводника S^, – внешняя нормаль к площадке dS на поверхности сверхпроводника. Таким образом, на сверхпроводники со стороны магнитного поля действует сжимающая сила. Соответствующий момент сил относительно центра О –

(3.16)

(r – радиус-вектор, проведенный из точки О к площадке dS.)

Формулировка задачи на основе векторного магнитного потенциала, в отличие от рассмотренной, имеет серьезные недостатки: 1) в общем случае неизвестная величина – вектор, и появляются дополнительные переменные; 2) требуется знать распределение плотности тока на поверхности сверхпроводника, либо решать совместно задачу о проникновении магнитного поля в сверхпроводник; 3)имеются трудности в реализации условия . Однако в случае осевой или плоской симметрии, когда задача становится скалярной, использование векторного потенциала может быть полезным. Например, такая ситуация возникает, если требуется удовлетворить условие сохранения магнитного потока через двусвязный сверхпроводник.

Поток выражается через векторный магнитный потенциал ( ) как

. (3.17)

В случае плоской геометрии имеем

, (3.18)

где А₁, А₂ – значения векторного потенциала в двух точках, – поток на единицу длины между этими точками (рис. 3.3). На поверхности сверхпроводника должно выполняться условие

. (3.19)

Можно показать, что (3.19) равносильно условию

А = const. (3.20)

Таким образом, в плоском случае требуется решить уравнение Лапласа для векторного потенциала с учетом условий (3.19) и (3.20). Компоненты магнитной индукции определяются как

. (3.21)

Д ля осесимметричных задач целесообразно ввести новую переменную – функцию потока – . Для расчета поля нужно решить уравнение

(3.22)

Рис. 3.3.

Рис. 3.4.

с дополнительным условием типа Дирихле на поверхности сверхпроводника (рис. 3.4)

 = Ф₀ = const.

Составляющие магнитной индукции находим по формулам

. (3.23)

Значение полного тока в сверхпроводнике можно определить, вычисляя циркуляцию вектора вдоль кон­тура, охватывающего сверхпроводник. Энергия и сила через компоненты вектора индукции выражаются соответственно

,

.