Задания

11. Для изображенных областей и указанных граничных условий найти распределение электростатического поля, построить эквипотенциальные кривые и графики изменения напряженности поля вдоль некоторых линий. Для проводящих границ использовать различные варианты условий (u=u₀, u=const или .

I. Задачи с плоской геометрией

1) Плоская пластина во внешнем поле (отношение сторон 41, 81, 121);	2) Две пластины во внешнем поле a:b:c = 8:1:5; 6:1:2; 4:1:4
3) Бесконечно длинный экран с поперечным сечением вида: a:b=2:1; 1:1; c:a=1:4; 1:3; 1:2; d:a = 1:12; 1:8; 1:4	4) Система электродов во вне­шнем поле
5) Цилиндрический конденсатор с электродами внутри (показана четверть области). r2/r1 = 2; 3; 4;  = 15; 30; d = 0.1(r2–r1); 0.2(r2–r1); 0.4(r2–r1)

6) Заряженные провод­ники во внешнем поле a:b = 1:1; c:a = 1:5; d:c = 1:3; 1:5.

II. Осесимметричные задачи

7) Цилиндрический экран	8) Полый шар с отверстием
9) Две полусферы во внешнем поле	10)Кольцо П-образного сечения
10) Цилиндрический конденсатор с двумя кольцами внутри а) кольца проводящие (u=const) б) кольца из диэлектрика (  1)

12. Для односвязных сверхпроводниковых систем, представленных в заданиях 23-26 (стр. 34-36) с соответствующими конфигурациями, найти распределение магнитного поля через векторный магнитный потенциал A.

Указание. В случае плоской геометрии данная задача сводится к уравнению Лапласа A=0 с условием A=const на поверхности односвязного сверхпроводника и граничными условиями 1-го и 2-го рода для учета внешнего поля.

Лабораторная работа № 4 Решение краевой задачи для уравнения Пуассона

Уравнение Пуассона имеет вид

.

Ему подчиняется, например, стационарное распределение температуры или потенциала в области с распределенными источниками. Оно, как правило, дополняется граничными условиями 1-го, 2-го и 3-го рода. Могут ставиться и дополнительные условия по типу рассмотренных в лабораторной работе №3.

Пример 6. Найти стационарное распределение температуры в пластине L-образной формы, рассмотренной в примерах 2 и 3, все стороны которой поддерживаются при нулевой температуре. Пластина нагревается постоянным током, выделяющим в единице объема тепло Q. Данная задача сводится к решению уравнения Пуассона u=–Q/k (k – коэффициент теплопроводности) в соответствующей области с условием 1-го рода u|_Г = 0.

Порядок решения:

1) Выполнить пункты 1–4 из примера 3.

2) Удалить граничные условия на всех линиях («Удал» «Все ГУ»).

3) Ввести на всех граничных линиях условие Дирихле u=0.

4) Задать уравнение u=–1 («Файл»  «Уравнение», отме­тить пробелом «Пуассона», перейти на «More», определить функ­цию F(u,r,t) как const0 и ввести число 1, нажать Enter и Esc).

5) Осуществить проверку введенных параметров («Файл»  «Информация»  …)

6) Выйти из программы pre2d. Дальнейшие действия – решение и анализ результатов – как в рассмотренных выше примерах.

Пример 7. Найти распределение температуры в прямоугольной пластине, внутри которой имеется источник тепла круглой формы с постоянной плотностью (расчетная область показана на рис. П13). На сторонах пластины поддерживаются условия обмена тепла с внешней средой по закону .

Задача сводится к решению уравнения Пуассона только внутри подобласти с источником (т.е. круга), в остальной части области решается уравнение Лапласа. Из-за симметрии задачи ограничимся рассмотрением только половины области.

Порядок решения:

1) В препроцессоре загрузить геометрию задачи, решенной в примере 4 (вместе с сеткой).

2) Отменить все граничные и дополнительные условия, выбирая соответствующий пункт в меню «Удал».

3) Разбить зоны с номерами 1, 5, 9, 12, 16, 20, если они еще не разбиты, на конечные элементы.

4) Поскольку согласно параметрам загруженной задачи для всех зон установлено уравнение Лапласа, необходимо заменить его на уравнение Пуассона, даже если последнее будет действовать лишь для некоторых зон («Файл»  «Уравнение», отметить пробелом «Пуассона», перейти на «More», нажать Enter и Esc).

Для указанных в п. 3 зон ввести отличную от нуля плотность источника тепла, например, Q=3 («Файл»  «Неоднородности среды» [1, 5, 9, 12, 16, 20] <Enter> «Вид уравнения»  «F(u,r,t)»  «const0» [3] <Enter> <Esc> <Esc>).

5) Задать граничные условия на левой, правой и верхней сторонах прямоугольной области: («Файл»  «Граничные условия»  «Смешанные», затем по запросу ввести номера линий, на которых задаются условия: 38, 42, 54, 53, 51 и т.д., далее, выбрав для функции B(r, t) пункт «const0», ввести число 1, после перейти с помощью Tab на функцию «Q(r,t)», определив для нее «0», и выйти из режима ввода граничных условий, с помощью клавиш Tab и Enter).

На нижней стороне прямоугольника выполняется однородное условие Неймана (его специально задавать не нужно).

6) Проверить все введенные данные («Файл»  «Инфор­мация») и выйти из препроцессора.

7) Провести расчет распределения функции u (программы appl_fem, difeqt) и войти в постпроцессор (post2d), в котором вывести на экран картинку распределения поля (линии уровня, матрица стрелок, цветовая карта), построить графики функции u, ее градиента вдоль линии y=0, проверить выполнение условий на границах области.

Модификации. Провести аналогичный расчет поля для других граничных условий:

а) u|_x=a=0, u|_x=b=0, , ;

б)  , , , ;

в) , , ,

(здесь предполагается axb, 0yd).

Решить данную задачу как осесимметричную, считая, что геометрия области задана в координатах (r, z) цилиндрической системы, принимая z=x, r=y. В этом случае подобласть источников поля будет представлять собой шар, а вся область задачи – цилиндр.