Задания

1. Задано дифференциальное уравнение

на интервале [a, b]. Требуется найти функцию u(x) такую, что u(a)=d₀, u(b)=d₁.

№ ва-рианта	a	b	d0	d1	p(x)	q(x)	f(x)
1	0,2	1,5	1	1	sinx	–(3+x^2)	0,5e^x
2	0	1	2	3	1+x	–e^x	–1–x
3	1	2	–3	2	1+x^2	sinx–8	1
4	0	1	0	1	1	–x	–2sinx
5	1	3	–1	1	x^2	–2	–e^–^x
6	–1	2	4	0	1	–(1+x+x^2)	–x
7	0	1	3	3	1+sinx	–4	cosx
8	0	1	–1	–1	e^x	–3	x
9	–1	0	–1	2	2^x	–(1+x^2)	4
10	4	5	2	1	e^0,8^x	–6	2sinx

2. Решить уравнение d²u_/dx²+²u=x, 0x1 с краевыми условиями:

1) u=0 при x=0 и u=0 при x=1;

2) u=1 при x=0 и du/dx=0 при x=1;

3) u=0 при x=0 и du/dx+u=0 при x=1.

Сравнить с точным решением.

3. Решить уравнение d²u_/dx² – ²u = 0, 0x1 с краевыми условиями u=0 при x=0 и du/dx+10u=20 при x=1. Сравнить с точным решением.

4. Получить численное решение для нелинейного дифференциального уравнения

, 0x1

с краевыми условиями u(0) = 0, u(1) = 1

1)  = 1; f =–2,2u+0,5u³;

2)  = 0,1+cos(u/2); f = 0;

3)  = 1/(u+1); f = 0;

4)  = e^u; f = x;

5)  = 1+0,1u; f = –10x;

6)  = 1; f = e^u;

7)  = 1; f = – au² (a=2  4);

8)  =u; f = – 1 ;

9)  = 1; f = sinu;

10)  = 1; f = –²sinu+sin₁x ( = 0.5  2, ₁ = 1  4).

Лабораторная работа № 2 Решение краевой задачи для уравнения Лапласа

Требуется найти распределение функции u в двумерной области, удовлетворяющее уравнению Лапласа

с граничными условиями 1-го, 2-го и 3-го рода. Очень многие физические процессы допускают подобную формулировку. Далее под u будем прежде всего понимать скалярный потенциал (задачи электро- и магнитостатики) и температуру (задачи стационарной теплопроводности).

П ример 2. Найти распределение электростатического потенциала в области, показанной на рис. П2.

Порядок действий:

1) Запустить программу-пре­процессор pre2d.exe.

2) Ввести номер задачи (от 1 до 999).

3) Задать вспомогательные узлы, для чего через меню «Ввести» или с помощью F3 ввести координаты точек:

0,0\0,10\10,0\10,4\0,4\5,0\5,4\5,10

(вместо знака «\» можно использовать запятую).

На экране появятся восемь точек, каждой из которых присвоен свой порядковый номер.

4) Изменить масштаб Ctrl+F1, чтобы введенные точки занимали весь экран.

5) Задать несколько линий; для этого в подменю «Ввести»  «Линии» либо по F4 выбрать «прямая по узлам», после чего набрать

1,5

(отобразится линия, соединяющая узлы 1 и 5, которой присвоен номер 1).

Действуя аналогично, ввести еще три линии по узлам [6, 7], [3, 4] и [2, 8].

На экране появятся три линии с номерами 2, 3 и 4.

6) Задать зоны, покрывающие область задачи; для этого в меню «Ввести» выбрать пункт «Зона четырехугольная» либо использовать горячую клавишу F5, далее ввести номера линий, образующих зону (берутся только две противолежащие линии предполагаемого четырехугольника):

1 ,2

Н а экране зеленым цветом отобразится плоская фигура – четырехугольник с номером 1. Обратите внимание, что при этом появились недостающие линии четырехугольника – соединяющие узлы 1, 6 и 5, 7, которые пользователем не вводились.

Д

Рис. П3.

ействуя аналогично, ввести еще две зоны, задавая пары линий: [2, 3] и [5, 4].

В результате ввод геометрии можно считать завершенным: область задачи  образована тремя подобластями – четырехугольными зонами (рис. П3).

7) Задать граничные условия задачи, для чего выбрать «Файл»  «Граничные условия»  «Дирихле», после этого ввести линии, на которых будет действовать вводимое условие:

10,1,6,8

Затем появится окно для ввода значений условия Дирихле. Нажав Enter на выделенной функции Q(r,t), выбрать из списка const0 и далее ввести с клавиатуры значение 1. Затем после нажатия Enter следует с помощью Tab перейти на «Ok» и вновь нажать Enter.Таким образом, на указанных линиях введено условие u=1. На экране соответствующие линии становятся жирными.

Производя аналогичные действия, ввести граничное условие u=2 на линиях 9, 7.

Следует отметить, что в методе конечных элементов на тех внешних границах области, где не задается никакого граничного условия, автоматически выполняется однородное условие Немана . Тем самым, на линиях 3 и 4 специально вводить граничное условие не нужно.

8) Разбить зоны на конечные элементы, для этого войти в меню «Разб» (через основное меню либо по F8) и выбрать «Треугольник 1 пор.», далее ввести номер зоны, подлежащей разбиению:

1

а также числа деления вдоль двух смежных сторон четырехугольной зоны, например, 22 вдоль линии 1 и 25 вдоль стороны 5.

Зона 1 разбивается в соответствии с указанной плотностью, что находит отражение на экране в виде конечно-элементной сетки.

Чтобы разбить зону 2, следует нажать F8 (можно через меню «Разб»), затем номер зоны:

2

число деления вдоль линии 7:

23

Аналогично для разбиения зоны 3 ввести числа соответственно: 3 (номер зоны) и 30 (число элементов вдоль линии 10).

9) Проверить качество сетки, активируя пункт «Качество сети» меню «Others».

10) Убедитесь, что в качестве дифференциального уравнения действительно задано уравнение Лапласа (оно стоит по умолчанию). Это можно сделать через меню «Файл»  «Уравнение» или «Файл»  «Информация»  «Уравнение».

11) Убедитесь также в правильности задания граничных условий, выбирая «Файл»  «Информация»  «Гр. условия» и далее по подсказке.

12) В случае успешного ввода всех данных задачи, выйти из препроцессора по F2.

13) Запустить программу appl_fem.exe.

14) В появившемся окне указать номер задачи, введенный в п.2, а также, перемещаясь с помощью Tab, задать тип задачи («Лапласа», «плоская») и тип конечного элемента («треугольник 1 порядка»); выйти по Esc, выбирая для сохранения параметров «Yes».

1 5) Запустить на выполнение программу difeqt.exe; по завершении ее работы (должно появиться слово «Ok») выйти по Esc.

16) Запустить программу пост­процессора post2d.exe.

17) Вывести эквипотенциальные кривые (рис. П4) с помощью меню «Поле» или F3, определив шаг, например, 0.1 (меняя это число, получим изображение эквипотенциалей с большей или меньшей густотой).

1

Рис. П4.

8) Построить график изменения u или gradu вдоль какого-либо отрезка. Для этого нажать Alt+P (отобразить узлы), затем Alt+G (построить график по узлам), выбрать «Потенциал» («Градиент потенциала»), ввести

1,7

(т.е. построить график вдоль отрезка, соединяющего узлы 1 и 7).

19) Построить трехмерный график (меню «График»).

20) Завершить работу постпроцессора, нажав Alt+X.

Пример 3. Найти стационарное распределение температуры в L-образной пластине с различными условиями температурного режима на границах (см. рис. П5)

Порядок действий:

1) Запустить pre2d.exe.

2) Ввести новый номер задачи.

3 ) Для загрузки предыдущей задачи нажать F9, а затем ее номер и из предложенных двух вариантов выбрать «Данные для автоматического разбиения».

4) Нажать Ctrl+F8. Появится конечно-элементная сетка, как в предыдущей задаче.

5) В меню «Удал» выбрать «Условия на линиях» и ввести номера линий

6,8,7,9

(после этого граничные условия на этих линиях, введенные в предыдущей задаче, будут удалены; условия на линиях 1 и 10 остаются прежними).

6) На линиях 6, 8 ввести граничное условие Дирихле u=1+x; для этого выбрать «Файл»  «Граничные условия»  «Дирихле». Нажав Enter на выделенной функции Q(r,t) выбрать из списка пункт Q(r), т.е. зависимость от координат. Затем в первой колонке выбрать пункт «Полином» и ввести по шаблону порядок полинома и три его коэффициента из выражения Ax+By+C:

1,1,0,1 < Enter >

Для сохранения с помощью Tab перейти на «Ok» <Enter>, вновь перейти на «Ok» <Enter>.

7) На линии 4 задать граничное условие u/n+2u=4, выбрав «Файл»  «Граничные условия»  «Смешанные» и определяя функции B(r,t) и Q(r,t) как const0 со значениями 2 и 4 соответственно.

8) На линии 3 задать условие u/n=–0,5, действуя по схеме «Файл»  «Граничные условия»  «Неймана»  [3] «Q(r,t)»  «const0» и далее набирая на клавиатуре:

–0.5 <Enter> <Tab> «Ok» <Enter>

По умолчанию на линиях 7 и 9 будет выполняться однородное условие Неймана.

9 ) Проверив уравнение и граничные условия с помощью «Файл»  «Информация», выйти из программы по F2.

10) Выполнить шаги 13–18 из предыдущей задачи (запуск последовательно appl_fem.exe, difeqt.exe, post2d.exe).

1

Рис. П6.

1) Вывести графики изменения потенциала, компонент градиента, производной по нормали вдоль всех граничных линий. (Отобразить линии можно по Alt+L, войти в меню построения графика вдоль линий – с помощью Ctrl+G).

12) Убедитесь, что на линии 3 действительно выполняется условие . Для проверки смешанного условия на линиях 4, 7 используйте вывод результатов в виде таблицы (меню «Таблица»).

13) Выйти из программы post2d.exe.