- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 2
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 2
- •Воронеж 2013
- •Введение
- •1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.1. Комплексные числа. Основные определения
- •1.2. Основные действия над комплексными числами
- •1.3. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа
- •1.4. Применение формул Эйлера и Муавра
- •1.5. Многочлены в комплексной области
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п.1
- •Неопределенный интеграл
- •2.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Неопределенный интеграл.
- •2.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.3. Таблица основных интегралов
- •2.4. Основные методы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •2.6. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •Индивидуальные задания
- •3. Определенный интеграл
- •3.1. Определение определенного интеграла
- •Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируема на нем.
- •3.3. Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формула среднего значения
- •2. Формула среднего значения.
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •3.6. Формула Ньютона-Лейбница
- •3.7. Замена переменной в определенном интеграле
- •Пример 1. Вычислить
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла
- •3.10. Несобственные интегралы
- •1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •3.11. Индивидуальные задания
- •Задача 4.
- •Задача 5.
- •Задача 6.
- •4. Ряды
- •4.1. Понятие числового ряда
- •Суммы конечного числа членов ряда
- •2. Свойства сходящихся рядов.
- •Ряды с неотрицательными членами
- •4.3. Знакочередующиеся ряды
- •4.4. Абсолютная и условная сходимость рядов
- •Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
- •4.5. Степенные ряды
- •Таким образом, при любом х имеет место разложение
- •4.6. Ряды Фурье
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •Библиографический список
- •8. Краснов м.Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / м.Л. Краснов, а.И. Киселев, г.И. Макаренко – м.: Наука, 1981. Оглавление
- •1. Комплексные числа и действия над ними …………….4
- •Неопределенный интеграл ……………………......…...23
- •3. Определенный интеграл.….……………....………........68
- •4. Ряды……..…………................………………...…...…...118
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4. Ряды
4.1. Понятие числового ряда
В настоящей главе будут рассмотрены ряды, являющиеся важным математическим аппаратом, применяемым для вычислений и исследований как в различных разделах самой математики, так и во многих ее приложениях.
1. Основные определения. Пусть дана числовая последовательность . Выражение вида
(4.1)
называется числовым рядом или просто рядом.
Числа называются членами ряда, член с произвольным номером общим членом ряда.
Суммы конечного числа членов ряда
называются частичными суммами ряда (4.1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм
(4.2)
Ряд (4.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (4.2) сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда (4.1). Символически это записывается так:
Если же последовательность частичных сумм (4.2) расходится, то ряд (4.1) называется расходящимся.
Пример 1. Покажем, что ряд
сходится. Возьмем сумму первых п членов ряда
Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде
Поэтому
Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен единице:
Таким образом, ряд сходится, и его сумма S равна 1.
Пример 2. Установим, сходится или расходится ряд
Последовательность его частичных сумм имеет вид , и, значит, не сходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.
Пример 3. Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии
(4.3)
Частичная сумма этого ряда при имеет вид
Отсюда:
1) если , то
т. е. ряд сходится и его сумма Например, при а = 1, имеем:
2) если , то , т. е. ряд расходится;
3) при ряд (4.3) принимает вид . В этом случае т.е. ряд расходится;
4) при ряд (4.3) принимает вид . Для него т.е. при n четном и при п нечетном. Следовательно, не существует и ряд расходится.
Таким образом, ряд (4.3) является сходящимся при и расходящимся при
2. Свойства сходящихся рядов.
Теорема 1. Если сходится ряд
(4.4)
то сходится и ряд
(4.5)
и обратно, если сходится ряд (4.5), то сходится и ряд (4.4).
Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.
Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические действия.
Теорема 2. Если ряд сходится и его сумма равна S, то и ряд , где с некоторое число, также сходится, и его сумма равна cS.
Теорема 3. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны S и , то и ряд
сходится и его сумма равна S ± .
Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.
3. Необходимое условие сходимости ряда. При рассмотрении рядов возникают две задачи: 1) исследовать ряд на сходимость и 2) зная, что ряд сходится, найти его сумму. Будем решать в основном первую задачу, имеющую теоретический характер. Приведем необходимое условие сходимости рядов.
Теорема 4. Если ряд сходится, то его общий член
стремится к нулю, т. е.
Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.
Пример. Рассмотрим ряд
который называют гармоническим рядом. Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как Докажем, что этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S мы бы имели
Но
т.е. Отсюда следует, что равенство невозможно, т. е. гармонический ряд расходится.
Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю, то еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда.
Если же для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то теорема 4 позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.