- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 2
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 2
- •Воронеж 2013
- •Введение
- •1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.1. Комплексные числа. Основные определения
- •1.2. Основные действия над комплексными числами
- •1.3. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа
- •1.4. Применение формул Эйлера и Муавра
- •1.5. Многочлены в комплексной области
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п.1
- •Неопределенный интеграл
- •2.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Неопределенный интеграл.
- •2.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.3. Таблица основных интегралов
- •2.4. Основные методы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •2.6. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •Индивидуальные задания
- •3. Определенный интеграл
- •3.1. Определение определенного интеграла
- •Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируема на нем.
- •3.3. Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формула среднего значения
- •2. Формула среднего значения.
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •3.6. Формула Ньютона-Лейбница
- •3.7. Замена переменной в определенном интеграле
- •Пример 1. Вычислить
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла
- •3.10. Несобственные интегралы
- •1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •3.11. Индивидуальные задания
- •Задача 4.
- •Задача 5.
- •Задача 6.
- •4. Ряды
- •4.1. Понятие числового ряда
- •Суммы конечного числа членов ряда
- •2. Свойства сходящихся рядов.
- •Ряды с неотрицательными членами
- •4.3. Знакочередующиеся ряды
- •4.4. Абсолютная и условная сходимость рядов
- •Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
- •4.5. Степенные ряды
- •Таким образом, при любом х имеет место разложение
- •4.6. Ряды Фурье
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •Библиографический список
- •8. Краснов м.Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / м.Л. Краснов, а.И. Киселев, г.И. Макаренко – м.: Наука, 1981. Оглавление
- •1. Комплексные числа и действия над ними …………….4
- •Неопределенный интеграл ……………………......…...23
- •3. Определенный интеграл.….……………....………........68
- •4. Ряды……..…………................………………...…...…...118
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1. Комплексные числа и действия над ними
1.1. Комплексные числа. Основные определения
Определение. Комплексные числа ᴢ называется выражение вида , где x и y - любые действительные числа, а i - мнимая единица, определяемая равенством или ( называется алгебраической формой записи комплексного числа).
Пример. ; .
Число x называется действительной или вещественной частью числа , а - мнимой частью. Их обозначают так: , . Тогда можно записать: . Если , то число называется чисто мнимым. Если же , то получается действительное число: . Отсюда следует, что множество комплексных чисел содержит в себе как часть множество действительных чисел. Два комплексных числа и , которые отличаются только знаком мнимой части, называются сопряженными. Понятие равенства комплексных чисел вводится по следующему правилу: два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. То есть <=> , . Отсюда следует, что комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда
Любое комплексное число можно изобразить на плоскости в виде точки с координатами и . И обратно, каждой точке плоскости соответствует комплексное число . Плоскость в этом случае называется плоскостью комплексной переменной и на ней ставится обозначение .
Точкам плоскости , лежащим на оси , соответствуют действительные числа . Точки, лежащие на оси , изображают чисто мнимые числа, так как на ней . Поэтому при изображении комплексного числа ось называется действительной осью, а ось - мнимой.
В ряде случаев комплексное число удобно трактовать как вектор , соединяющий точку с началом координат.
Для получения тригонометрической формы записи комплексного числа введем в рассмотрение полярную систему координат. В этом случае т. называется полюсом, а полупрямая - полярной осью. Положение т. М на плоскости в полярной системе координат определяется двумя числами: числом - расстоянием от т. М до полюса и числом - величиной угла в радианах, составляемого вектором с полярной осью. Положительным направлением отсчета угла - считается направление против часовой стрелки. Числа и называются полярными координатами т. М (полярный радиус и полярный угол рис.1) .
y
y
0
x
M(x,y)
x
Рис.1
Из рис.1 вытекает следующая связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами:
(*).
Тогда комплексное число z можно записать в следующей форме:
, или (1.1)
Это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа. Величина называется модулем комплексного числа и обозначается ; величина называется аргументом комплексного числа и обозначается . Из рис.1 легко получить выражение для модуля комплексного числа . Для аргумента получаем выражение . Очевидно, что аргумент комплексного числа не является однозначной функцией, так как соотношениям (*) удовлетворяет бесконечное множество углов, отличающихся друг от друга на слагаемое , где . Поэтому вводится понятие главного значения аргумента комплексного числа и удовлетворяющего соотношению
.
В ряде случаев главное значение аргумента комплексного числа удобно вычислять с помощью таблицы
Пример. Записать комплексное число в тригонометрической форме.
Решение. Здесь , ; ; . Тогда
Замечание 1. Модуль комплексного числа равен нулю. В качестве его аргумента можно принять любой угол. Тогда в тригонометрической форме она будет иметь вид: .
Замечание 2. Сопряженные комплексные числа и имеют одинаковый модуль: , а их аргументы равны по абсолютной величине и отличаются знаком: Если , то .
Рис. 2
Связь между показательной функцией с мнимым показателем и тригонометрическими функциями устанавливается с помощью формулы Эйлера:
(1.2)
По формуле (1.1) любое комплексное число можно представить в виде . С учетом формулы (1.2) получим
(1.3)
- показательная форма комплексного числа. В (1.3) как и в (1.1), - модуль комплексного числа, а - его аргумент.
Пример. Записать комплексное число в показательной форме.
Решение. Здесь , ; . Тогда .