- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 2
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 2
- •Воронеж 2013
- •Введение
- •1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.1. Комплексные числа. Основные определения
- •1.2. Основные действия над комплексными числами
- •1.3. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа
- •1.4. Применение формул Эйлера и Муавра
- •1.5. Многочлены в комплексной области
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п.1
- •Неопределенный интеграл
- •2.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Неопределенный интеграл.
- •2.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.3. Таблица основных интегралов
- •2.4. Основные методы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •2.6. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •Индивидуальные задания
- •3. Определенный интеграл
- •3.1. Определение определенного интеграла
- •Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируема на нем.
- •3.3. Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формула среднего значения
- •2. Формула среднего значения.
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •3.6. Формула Ньютона-Лейбница
- •3.7. Замена переменной в определенном интеграле
- •Пример 1. Вычислить
- •Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла
- •3.10. Несобственные интегралы
- •1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- •2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •3.11. Индивидуальные задания
- •Задача 4.
- •Задача 5.
- •Задача 6.
- •4. Ряды
- •4.1. Понятие числового ряда
- •Суммы конечного числа членов ряда
- •2. Свойства сходящихся рядов.
- •Ряды с неотрицательными членами
- •4.3. Знакочередующиеся ряды
- •4.4. Абсолютная и условная сходимость рядов
- •Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
- •4.5. Степенные ряды
- •Таким образом, при любом х имеет место разложение
- •4.6. Ряды Фурье
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •Библиографический список
- •8. Краснов м.Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / м.Л. Краснов, а.И. Киселев, г.И. Макаренко – м.: Наука, 1981. Оглавление
- •1. Комплексные числа и действия над ними …………….4
- •Неопределенный интеграл ……………………......…...23
- •3. Определенный интеграл.….……………....………........68
- •4. Ряды……..…………................………………...…...…...118
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.4. Применение формул Эйлера и Муавра
Если в формуле Эйлера (1.2) заменить на , то Складывая эти равенства, получим: Вычитая, будем иметь:
иметь: .
Этими формулами пользуются для выражения степеней и и их произведений через синус и косинус кратных дуг.
Рис. 3
Пример.
Пример.
Рассмотрим теперь формулу Муавра. Если положить в ней , то получится:
Эта формула используется для выражения синуса и косинуса кратных дуг через степени синуса и косинуса.
Пример. При получим: Возведя левую часть в куб, имеем:
Используя определение равенства двух комплексных чисел, находим:
1.5. Многочлены в комплексной области
Определение. Многочленом или целой рациональной функцией от x называется функция , где n - целое положительное число. Коэффициенты действительные или комплексные числа.
Независимая переменная x может принимать как действительные, так и комплексные значения. Корнем многочлена называется такое значение переменной , при котором многочлен обращается в нуль: .
Для многочлена имеет место
Теорема Безу. При делении многочлена на разность получается остаток, равный .
Доказательство. При делении многочлена на частным будет многочлен , степень которого будет на единицу ниже степени . Остатком будет являться постоянное число R. То есть можно записать: Это равенство справедливо при всех , так как деление на при не имеет смысла. Перейдем к пределу в этом равенстве при . Предел левой части равен , а предел правой равен R. То есть
Следствие. Если - корень многочлена , то есть , то делится без остатка на и, следовательно, представляется в виде произведения , где - многочлен степени на единицу ниже степени .
Пример. Многочлен при обратится в нуль . Поэтому он делится без остатка на :
То есть представляется в виде произведения: Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корни? Ответ на него дает
Основная теорема алгебры. Всякий многочлен n-ой степени (целая рациональная функция) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.
Пользуясь основной теоремой алгебры, легко доказать следующее.
Следствие. Всякий многочлен n-ой степени разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при .
Доказательство. Пусть дан многочлен степени n: В силу основной теоремы алгебры этот многочлен имеет по крайне мере один корень, действительный или комплексный, который обозначим через . На основании следствия из теоремы Безу делится на , без остатка и можно записать: , где - многочлен - ой степени. Многочлен по основной теореме алгебры также имеет корень, который обозначим через . По следствию из теоремы Безу, , где - многочлен - ой степени. Аналогично . Продолжая этот процесс выделения линейных множителей, дойдем до соотношения , где - многочлен нулевой степени, то есть некоторое действительное число. На основании полученных равенств можно записать: . С учетом выражения для получим, что равняется коэффициенту при , то есть . Поэтому окончательно имеем:
(1.4)
Из этого разложения следует, что числа -корни многочлена , так как при подстановке правая часть (1.4), а следовательно, и левая, обращается в нуль. Никакое значение , отличное от не может быть корнем многочлена , так как ни один из множителей в правой части (1.4) не обращается в нуль при . Отсюда следует важный
Вывод. Многочлен n - ой степени не может иметь более n различных корней. Если в разложении (1.4) многочлена на линейные множители некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить. Тогда разложение на множители будет иметь вид:
(1.5)
При этом: В этом случае корень называется корнем кратности или - кратным корнем, - корень кратности и т.д. Если какое-либо , то корень называется корнем кратности один или простым корнем многочлена . Если многочлен имеет корень a кратности k, то мы будем считать, что многочлен имеет k одинаковых корней. Отсюда можно сделать окончательный
Вывод. Всякий многочлен n-ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).
Рассмотрим теперь многочлен , имеющий действительные коэффициенты . Для него имеет место формула (1.4), где корни могут быть как действительными, так и комплексными. Имеет место следующая
Теорема. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .
Доказательство. Подставим в многочлен значение , произведем возведение в степень, умножение на коэффициенты и приведем подобные. В результате получим . Так как - корень многочлена, то . Отсюда . Подставим теперь в многочлен . Ранее было показано, что если в выражениях для суммы, разности, произведения комплексных чисел заменить каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных операций заменятся сопряженными числами (см. лемму). Поэтому в результате подстановки в получим число, сопряженное с числом . То есть . Так как , то , то есть значение также является корнем многочлена .
Таким образом, в разложении многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят попарно сопряженными. Перемножив линейные множители этого разложения, соответствующие паре комплексно-сопряженных корней, получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами:
где введены обозначения: , - действительные числа.
Если число является корнем кратности k, то сопряженное ему число должно являться корнем той же кратности k. Поэтому наряду с линейными множителями в разложение многочлена входят столько же линейных множителей вида . После перемножения они дадут трехчлен второй степени с действительными коэффициентами в степени k.
Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности. То есть
При этом