2.8. Классификация точек разрыва

1. Определение и классификация точек разрыва функции.

Опре­деление. Точка называется точкой разрыва функции , если в точке х₀ не является непрерывной.

Разрывы функций классифицируются следующим образом.

Р а з р ы в 1-го р о д а. Точка называется точкой разрыва 1-го рода функции , если в этой точке функция имеет конеч­ные, но не равные друг другу правый и левый пределы: .

Пример. Для функции точка является точ­кой разрыва 1-го рода, так как

У с т р а н и м ы й р а з р ы в. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке функция имеет конеч­ные, равные друг другу правый и левый пределы:

Пример. Для функции точка является точ­кой устранимого разрыва.

Р а з р ы в 2-го р о д а. Точ­ка называется точкой разрыва 2-го рода функции , если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример. Для функции точка является точкой разрыва 2-го рода, так как

2. Кусочно-непрерывные функции. Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках а и b. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке.

Рис. 8

Пример. Функция кусочно-непрерывна как на любом отрезке, так и на всей числовой прямой. Напомним, что символ [x] обозначает целую часть числа x. График функции изображен на рис. 8, функция [x] в точках ( п = 0, ±1, ±2, ...) непрерывна справа и разрывна слева. Во всех других точках она непрерывна как справа, так и слева.

2.9. Основные свойства непрерывных функций

Теорема 1 (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция непрерывна в точке и . Тогда существует такое, что для всех функция имеет тот же знак, что .

Теорема 2 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой .

Сформулированная теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, границей которой является ось абсцисс, в другую пересекает эту ось.

Теорема 3 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем , . Пусть, далее, С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на отрезке найдется точка с такая, что .

Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

Теорема 4 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

З а м е ч а н и е. Теорема неверна, если отрезок заменить интервалом (а,b). Так, например, функция

непрерывна на (0,1), но не ограничена, так как

Теорема 5 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке по меньшей мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения m.

Теорема 6. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке х₀ .

Теорема 7. Пусть функция определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке X и пусть Y  множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функция однозначна, строго монотонна и непрерывна.