- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3. Геометрическое изображение функций.
Подобно тому, как функцию одной переменной изображают в виде линии на плоскости – ее графика, можно геометрически истолковать и функции многих переменных. Однако график сохраняет наглядность только для функций двух переменных – в этом случае график представляется поверхностью в трехмерном пространстве.
y
x
Рис. 41
Область определения функции в примере 5
Определение. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , если точка плоскости принадлежит области задания функции, а значение функции – области значений.
Изображение функции двух переменных осуществляется так: строим прямоугольную систему координат х, у, z и относим каждой точке области определения функции точку с третьей координатой, равной . Когда точка (x,y) пробегает область определения функции, соответствующая точка описывает в пространстве некоторую поверхность. Эту поверхность и принимают за геометрическое изображение функции, то есть – график функции.
Пример 6. Изобразить график функции
. Областью задания этой функции, как мы знаем, является круг с центром в начале координат и радиусом a. Графиком этой функции является верхняя половина сферы (рис. 42).
a
a
x
y
Если разрешить это уравнение относительно z, получим две однозначные функции , . Графиком первой из них является верхняя полусфера, графиком другой – нижняя полусфера.
Пример 7. Изобразить график функции . Областью определения этой функции является множество всех точек плоскости , областью значений – полупрямая . Функции соответствует график – параболоид вращения (рис. 43). Это поверхность, описываемая параболой при ее вращении вокруг оси .
Рис. 43
График
функции
z
0
y
x
Пример 8. Изобразить график функции (рассматриваемой как функция двух переменных). Очевидно, функция определена для всех точек плоскости. Ее графиком является параболический цилиндр (рис. 44).
0
х
у
z
5.3. Предел функции нескольких переменных
Далее в этой главе мы будем рассматривать функции двух и трех переменных, значения которых будут являться вещественными числами, то есть область их значений будет подмножеством множества или совпадать с . Введенные в п. 5.1 понятия открытых и замкнутых областей, а также окрестностей точек, будут использоваться при определении понятий предела и непрерывности функции.