- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
Теорема 2. Если производные и существуют в некоторой -окрестности точки и непрерывны в самой точке М, то они равны между собой в этой точке, т.е. имеет место равенство = .
4. Экстремумы функции двух переменных.
Определение 3. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , в которой для любой точки выполняется неравенство
Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума. Из определения следует, что если функция имеет экстремум в точке , то полное приращение этой функции в точке М0 удовлетворяет в некоторой окрестности точки одному из следующих условий: (в случае локального максимума), (в случае локального минимума). И обратно, если в некоторой окрестности точки выполняется одно из этих неравенств, то функция имеет экстремум в точке .
Теорема 3 (необходимые условия экстремума). Если функция имеет в точке экстремум, и в точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, т.е.
(5.22)
Условие (5.22) не является достаточным условием экстремума. Например, частные производные функции равны нулю в точке (0,0), однако эта функция не имеет экстремума в указанной точке, так как равна в ней нулю и ни в какой окрестности точки (0,0) не сохраняет знак: если , то , а если , то . Графиком функции является гиперболический параболоид.
Таким образом, условие (5.22) является только необходимым условием экстремума. Точки, в которых оно выполняется, будем по аналогии с функциями одной переменной называть точками возможного экстремума. Такие точки называются также стационарными.
Теорема 4 (Достаточные условия экстремума). Пусть в точке возможного экстремума и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Положим
Тогда:
а) если , то в точке функция имеет экстремум, причем при локальный максимум, при локальный минимум; б) если , то в точке нет экстремума.
З а м е ч а н и е. Если , то функция в точке возможного экстремума может иметь экстремум, но может и не иметь его.
Примеры.
1. Исследовать на экстремум функцию
.
Имеем, Найдем точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений решения которой , . Следовательно, точка возможного экстремума. Далее, Так как и то в точке данная функция имеет минимум.
2. Исследовать на экстремум функцию .
Имеем . Решая систему уравнений , , получаем, что точка возможного экстремума. Так как и, следовательно, , то в точке экстремума нет.
3. Исследовать на экстремум функцию .
Имеем . Решая систему уравнений , находим, что точка возможного экстремума. В этой точке и, следовательно, . Согласно замечанию, в точке экстремум может быть и может не быть. В данном случае экстремум есть, так как во всех точках, кроме и в точке , т.е. данная функция в точке имеет минимум.
4. Исследовать на экстремум функцию .
Имеем, Решая систему уравнений находим, что точка возможного экстремума. В этой точке и, следовательно, . В данном случае в точке экстремума нет. В самом деле, , , откуда при и при , т.е. в любой окрестности точки данная функция имеет значения как большие, так и меньшие .