З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
или
,
которые означают,
что элемент
находится в
-окрестности
точки а,
точнее, существует номер N
такой, что
все элементы
с номерами
находятся в этой ε-окрестности.
2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
З а м е ч а н и е. Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся.
Теорема 3.
Сумма
(разность) двух сходящихся последовательностей
и
есть сходящаяся последовательность,
предел которой равен сумме (разности)
пределов последовательностей
и
.
Теорема 4. Произведение двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .
Теорема 5. Частное двух сходящихся последовательно-стей и при условии, что предел отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .
Пример.
Найти
Решение.
При
числитель и знаменатель дроби стремятся
к бесконечности, следовательно, применить
теорему о пределе частного нельзя, так
как в условии этой теоремы предполагается
существование конечных пределов. Поэтому
сначала преобразуем данную
последовательность, разделив числитель
и знаменатель на
.
Затем, применяя теоремы о пределе
частного и о пределе суммы, найдем
Теорема 6
(предельный
переход в неравенствах). Если
элементы сходящейся последовательности
,
начиная с некоторого номера,
удовлетворяют
неравенству
то и предел
а этой
последовательности
удовлетворяет неравенству
С л е д с т в и е.
Если элементы
сходящихся последовательностей
и
,
начиная с некоторого номера, удовлетворяют
неравенству
то их пределы удовлетворяют неравенству
З а м е ч а н и е. Из
строгого неравенства
вообще говоря, не вытекает строгое же
неравенство
а только, по-прежнему, вытекает нестрогое
Теорема 7
(предел
промежуточной переменной). Пусть
даны три
последовательности
,
и
,
причем
для всех n,
и пусть
последовательности
и
имеют один и тот же предел
а. Тогда
последовательность
также имеет предел
а.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Определение
1.
Последовательность
,
имеющая предел, равный нулю, называется
бесконечно малой.
Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы
для всех n, и пусть последовательности и имеют один и тот же предел а. Тогда последовательность также имеет предел а.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Определение
1.
Последовательность
,
имеющая предел,
равный нулю,
называется бесконечно малой.
Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы
, Где есть бесконечно малая.
Определение
2.
Последовательность
называется бесконечно большой, если
для любого положительного числа А
существует номер N
такой, что при
выполняется неравенство
При этом пишут
(1.3)
Символическая
запись определения бесконечно большой
последовательности:
Если бесконечно большая последовательность , начиная с некоторого номера, принимает только положительные или только отрицательные значения, то пишут
(1.4)
или соответственно
(1.5)
Таким
образом, из (1.4), так же как и из (1.5), следует
(1.3). Пример последовательности
показывает, что может иметь место
соотношение (1.3), в то время как не имеет
места ни (1.4), ни (1.5).
Теорема
8. Если
бесконечно
большая последовательность и все ее
члены отличны
от нуля, то
последовательность
бесконечно
малая, и
обратно, если
бесконечно малая последовательность
и
,
то последовательность
бесконечно
большая.
Теорема 9. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.
Теорема 10. Произведение ограниченной последовате-льности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.