- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 1
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 1
- •Введение
- •1. Предел последовательности
- •1.1. Множество действительных чисел
- •1.2. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •1.3. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1.1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •, Где есть бесконечно малая.
- •1.4. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Функции одной переменной
- •2.1. Классификация функций
- •2.2. Предел функции
- •2.3. Теоремы о пределах функции
- •2.4. Два замечательных предела
- •1. Первый замечательный предел .
- •2. Второй замечательный предел
- •2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1. Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •2.7. Непрерывные функции
- •2.8. Классификация точек разрыва
- •1. Определение и классификация точек разрыва функции.
- •2.9. Основные свойства непрерывных функций
- •Задачи к п. 2
- •Ответы к п. 2
- •3. Дифференцирование
- •3.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •3.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •3.3. Дифференциал функции
- •3.4. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •4. Производная логарифмической функции.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •3.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •3.6. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •4.4. Исследование поведения функций и построение графиков
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4.
- •5. Функции нескольких переменных Введение
- •5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства
- •Координатное и евклидово пространства.
- •2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
- •5.2. Понятие функции многих переменных
- •1. Механическая модель функциональной зависимости.
- •2. Функция и область ее задания.
- •3. Геометрическое изображение функций.
- •5.3. Предел функции нескольких переменных
- •1. Предел последовательности точек.
- •2. Предел функции.
- •3. Бесконечно малые функции.
- •5.4. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •2. Свойства непрерывных функций нескольких переменных.
- •3. Дополнение о разрывах непрерывности.
- •5.5. Частные производные функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции.
- •2. Механический смысл и геометрическое истолкование.
- •3. Дополнительный материал.
- •5.6. Производные сложных функций. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных
- •1. Производные сложных функций.
- •2. Производная по направлению. Градиент.
- •Ответ на вопрос о том, при каких условиях значения смешанных производных не зависят от того, в каком порядке производится дифференцирование, дает следующая теорема.
- •4. Экстремумы функции двух переменных.
- •5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
- •Задачи к п. 5.
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Предел последовательности …..……………..…………4
- •2. Функции одной переменной ...……………………......18
- •3. Дифференцирование ……..……………………………...46
- •4. Применение дифференциального исчисления к
- •5. Функции нескольких переменных….……....………..111
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.
Как и в случае функции одной независимой переменной, введению функции n переменных должно предшествовать перечисление и описание важнейших типов множеств точек n – мерного евклидова пространства .
1. Открытый n – мерный шар. Множество {M} всевозможных точек M пространства , координаты которых удовлетворяют неравенству
называется открытым шаром радиуса с центром в точке . Если использовать обозначение (5.1), то последнее соотношение можно записать в виде . Таким образом, открытый шар – это множество всех точек, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки – центра шара, меньше заданного положительного числа .
2. Замкнутый n – мерный шар. Множество {M} всевозможных точек пространства , координаты которых удовлетворяют неравенству
или
называется замкнутым n – мерным шаром радиуса R с центром в .
3. n – мерная сфера. Множество {M} всевозможных точек пространства , координаты которых удовлетворяют равенству
или
называется n – мерной сферой радиуса с центром в точке .
4. Открытый n – мерный шар радиуса с центром в точке называется - окрестностью точки .
5. Открытый n – мерный координатный параллелепипед. Множество {M} всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам
где называется открытым n – мерным координатным параллелепипедом с центром в точке или прямоугольной окрестностью точки .
Аналогично вводится понятие замкнутого n – мерного координатного параллелепипеда.
Очевидно следующее утверждение: любая - окрестность точки содержит некоторую прямоугольную окрестность этой точки; любая прямоугольная окрестность точки содержит некоторую - окрестность точки (рис. 34, 35).
R
R
Рис. 34 Рис. 35
6. Внутренние точки множества. Точка М множества {M} точек пространства называется внутренней точкой этого множества, если существует некоторая - окрестность точки M, все точки которой принадлежат множеству {M}.
7. Внешние точки множества. Точка М пространства называется внешней точкой множества {M}, если существует некоторая - окрестность точки M, все точки которой не принадлежат множеству {M}.
8. Граничные точки множества. Точка М пространства называется граничной точкой множества {M}, если эта точка не является ни внутренней, ни внешней точкой указанного множества.
9. Открытое множество. Произвольное множество {M} точек пространства называется открытым, если любая точка этого множества является его внутренней точкой.
10. Окрестность точки М – это произвольное открытое множество, содержащее данную точку.
11. Замкнутое множество. Произвольное множество {M} точек пространство называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.
12. Предельная точка множества. Точка множества называется предельной точкой множества {M}, если в любой - окрестности точки содержится хотя бы одна точка этого множества, отличная от .
13. Ограниченное множество. Множество {M} точек пространства называется ограниченным, если найдется n – мерный шар, содержащий все точки этого множества.
14. Связное множество. Множество {M} точек пространства называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.
15. Область в - это всякое открытое и связное множество в пространстве .
16. Замкнутая область – это множество в пространстве , полученное присоединением к области {M} всех ее граничных точек.