409_Arhipov_Chuhrov-diskr_soobsch_Monografiya

налы на выходе каждого звена являются ошибками предсказания по методу наименьших квадратов, причем, эти ошибки являются взаимно ортогональными. Наращивание порядка фильтра сводится к добавлению звена без изменения алгоритма расчета коэффициентов отражения для предыдущих звеньев. К фильтрам прямой реализации это не относится: первые р ступеней фильтра не образуют фильтра предсказания по критерию наименьших квадратов и распространяющиеся в нем сигналы не ортогональны.

4. Решетчатая структура по методу наименьших квадратов превосходят методы градиентного поиска и требуют меньший объем вычислений, чем для соответствующего фильтра прямой реализации.

Оптимальный по критерию наименьших квадратов фильтр предсказания минимизирует средний квадрат ошибки E{ P2,T } прогнозирования или ин-

терполяции УП.

В основу решетчатой структуры легли обобщенные рекуррентные соотношения Левинсона, особенностью которых является наличие формул эффективного обновления во времени коэффициентов фильтра предсказания. Коэффициенты фильтра рекурсивно обновляются по мере поступления каждого отсчета данных, так что речь идет о классе адаптивных алгоритмов по критерию наименьших квадратов.

При разработке конкретных вариантов адаптивных алгоритмов РС по критерию наименьших квадратов могут быть получено множество вариантов основного алгоритма, например:

РФ без нормирования и с нормированием по дисперсии;

РФ с применением метода предварительного взвешивания;

РФ с применением ковариационного метода;

РФ для оценивания одного процесса по данным наблюдений другого, близкого к нему процесса (а не оценивания процесса по его собственным результатам измерений);

вместо фильтра предсказания с КИХ можно применить фильтр с БИХ;

получить структуру РФ с линейной фазовой характеристикой и др.

Ниже рассмотрено несколько типовых структур РФ, а также алгоритмы расчета их параметров (в том числе ошибок предсказания и коэффициентов отражения).

Алгоритм ненормированной решетчатой структуры с предварительным взвешиванием состоит в следующем [128].

Входные параметры и переменные: N – максимальный порядок РФ; –

экспоненциальный весовой множитель; хТ – последовательность входных данных; R Р,T, RrР,T, – выборочные коэффициенты взаимной корреляции ошибок прямого и обратного предсказания; Р,T – выборочный коэффициент частичной корреляции; Р,Т – величина функции правдоподобия; К Р,Т, КrР,Т – прямой и обратный коэффициенты отражения; Р,Т, rР,Т-1 – ошибки прямого и обратного предсказания.

21

Инициализация:

0,Т = r0,Т = xT;

R Р,T = RrР,T = R 0,T + x2T;

-1,Т = 0.

Для каждого каскада РФ выполняются рекуррентные вычисления.

Р+1,T = Р+1,T-1 + P,T rP,T 1 ;

1 P 1,T 1

			r2
	Р,Т = Р-1,Т +		P,T		;
			RPr ,T
	КrР+1,Т =	Р 1		;		(1.24)
		Rr
		P,T 1

P+1,Т = P,Т - КrР+1,Т rP,Т-1; R Р+1,T = R Р,T - КrР+1,Т Р+1,T;

К Р+1,Т = Р 1 ;

RP,T

rP+1,Т = rP,Т-1 - К Р+1,Т P,Т; RrР+1,T = RrР,T-1 - К Р+1,Т Р+1,T.

В алгоритме (1.24) переменная Р,Т имеет важную интерпретацию как приближенная величина логарифмической функции правдоподобия, связанной с процессом x(t). Эту функцию можно использовать для оценки степени «неожиданности» последних отсчетов данных {xT-N, …, xT}. Пока данные относятся к процессу с гауссовым распределением, переменная Р,Т будет малой. Если последние данные относятся к процессу с другим распределением,Р,Т будет стремиться к единице. В результате входящий в формулы обновления коэффициент 1/(1 – Р,Т) окажется большим, что приведет к быстрым изменениям параметров решетчатой структуры , R , Rr, то есть к быстрому отслеживанию изменения статистик наблюдаемых данных.

Нормированный решетчатый фильтр, показанный на рисунке 1.3, имеет чрезвычайно простую структуру, что значительно облегчает его реализацию.

22

0,T

РФ1

1,T

РФ2

РФР

P,T

хT

хT

К1,Т

2,T

КР,Т

К2,Т

ST

Z-1

Z-1

Z-1

rP,T

r0,T

r2

r

1,T

,T

Вызов подпрограмм функций F(…) и F-1(…)для расчета P,T, rP,T, КР,Т

Рисунок 1.3 – Решетчатый фильтр нормированной структуры

Здесь требуется вычислить лишь три переменные вместо шести в ненормированном варианте. К тому же алгоритм почти полностью сводится к повторным вызовам функции F(…) и F-1(…), что позволяет использовать одни и те же подпрограммы для вычисления разных переменных.

Алгоритм нормированной решетчатой структуры с предварительным взвешиванием состоит в следующем [128].

Входные параметры и переменные: N – максимальный порядок РС; –

экспоненциальный весовой множитель; хТ – последовательность входных данных; ST – выборочная корреляционная матрица хТ; КР,Т – коэффициенты отражения; Р,Т, rР,Т-1 – нормированные ошибки прямого и обратного предсказания.

Инициализация: K, r, S устанавливаются на нуль.

Для каждого временного отсчета производится расчет выборочной кор-

реляционной матрицы и нормирование входной последовательности данных:

ST = ST-1 + x2T;

0,Т = r0,Т = xT .

ST

Для каждого каскада РФ выполняются рекуррентные вычисления.

Для р = 0, …, min(N,T)-1

KP+1,T = F-1(KP+1,T-1, rP,T-1, Р,Т)

Р+1,Т = F( Р,Т,		rP,T-1, KP+1,T)			(1.25)
rР+1,Т = F (rP,T-1, Р,Т, KP+1,T),
где
F( a,b,c )		a cb		;	(1.26)

(1 c2 )(1 b2 )

23

F 1(a,b,c) a

(1 c2 )(1 b2 ) cb

(1.27)

Представляет интерес задача предсказания процесса xT по данным измерений близкого к нему процесса (так называемый алгоритм РФ для совместного оценивания).

Примером может служить адаптивный фильтр с дополнительным каналом приема, по которому принимаются лишь узкополосные помехи, коррелированные с помехами в основном канале. Помеха в дополнительном канале может быть выделена, например, с применением направленных свойств приемной антенной системы, как показано в главе 2.

Нормированный по дисперсии решетчатый фильтр с предварительным взвешиванием для оценивания по совместному процессу показан на рисунке 1.4.

Алгоритм РФ по совместному оцениванию состоит в следующем.

Входные параметры и переменные: N – максимальный порядок РС; –

экспоненциальный весовой множитель; хТ – последовательность входных данных по основному входу; уТ – последовательность входных данных по дополнительному входу; ST – выборочная корреляционная матрица совместного процесса уТ; SхT – выборочная корреляционная матрица хТ; КР,Т, КхР,Т – коэффициенты отражения; Р,Т, хР,Т, rР,Т-1 – нормированные ошибки прямого и обратного предсказания.

Инициализация: K, r, S устанавливаются на нуль.

Для каждого временного отсчета производится расчет выборочной корреляционной матрицы и нормирование входной последовательности данных:

ST = ST-1 + у2T;

SхT = S хT-1 + х2T;

0,Т = r0,Т = yT ;

ST

х0,Т = r0,Т = xT .

STx

24

0,T

1,T

Р-1,T

Р,T

yT

S-1/2

К1

КР

К1

КР

Z -1

r1,T

Z -1

rР,T

r0,T

Кx1

КxР

xN,T

Sx-1/2

К1x/2

КN 1/2

xT

Рисунок 1.4 –

Решетчатая структура с предварительным взвешиванием

для оценивания по совместному процессу

Для каждого каскада РФ выполняются рекуррентные вычисления.

Для р = 0, …, min(N,T)-1

KP+1,T = F-1(KP+1,T-1, rP,T-1, Р,Т)
KхP+1,T = F-1(KхP+1,T-1, rP,T-1, хР,Т)
Р+1,Т = F( Р,Т, rP,T-1, KP+1,T)	(1.28)
хР+1,Т = F( хР,Т, rP,T-1, KхP+1,T),
rР+1,Т = F (rP,T-1, Р,Т, KP+1,T).

Расчет коэффициентов отражения и ошибок предсказания в этом алгоритме, как и в рассмотренном ранее нормированном РФ, сводится к повторным вызовам функции F(…) и F-1(…), что позволяет использовать одни и те же подпрограммы для вычисления разных переменных.

1.3 Модели узкополосных помех

Математические модели узкополосных помех, необходимые для синтеза

ианализа алгоритмов работы приемных устройств, рассматривались в ряде работ [29, 51, 52, 88 и др.].

Вцелом все модели сводятся к двум: квазидетерминированный процесс

истохастический процесс, описываемый уравнениями состояния или авторегрессионными уравнениями.

При использовании модели квазидетерминированного случайного процесса предполагается известной временная функция, описывающая форму УП.

25

Случайными являются отдельные параметры УП. Стохастические сигналы имеют неопределенную форму и могут быть описаны только статистически.

Квазидетерминированная модель помехи позволяет учитывать в наи-

более общем виде как статистические, так и структурные особенности узкополосных помех в частотно-временной области. Как показали результаты работ [78, 90, 109], применение квазидетерминированной модели узкополосных помех для синтеза и анализа оптимальных алгоритмов приема дает весьма хорошие результаты.

В соответствии с определением квазидетерминированного процесса [58], каждая из воздействующих на вход приемника узкополосных помех аппроксимируется следующим выражением:

SПi t UПi t,θПi ReUПi t,θПi ,

0 t T ,

(1.29)

где UПi(t) – детерминированная интегрируемая в квадрате функция, определяющая структуру i-й УП; П – множество случайных, в общем случае неизвестных параметров УП (амплитуда, несущая частота, начальная фаза

идругие).

Вчисло составляющих вектора неизвестных параметров помех в [90] включены квадратурные коэффициенты передачи канала для узкополосной

помехи Пc и Пs, которые предполагаются либо постоянными величинами, либо случайными величинами, образующими цепь Маркова.

При использовании квазидетерминированной модели сигнал, поступающий на вход приемника с учетом действия узкополосных помех можно представить в виде аддитивной смеси:

X t Sr t SП t;θП t , t T,			(1.30)
где Sr t Re		rUr t – r-й вариант принимаемого	полезного сигнала

(r=1,2,…,т); r – комплексный коэффициент передачи канала для r-го сиг-

нала; Ur t – детерминированная интегрируемая в квадрате функция, опре-

деляющая структуру r-го сигнала; T – длительность элемента сигнала;

NП

SП t;θП UПi t;θПi – совокупность УП; NП – число УП, попадающих в i 1

полосу приема; (t) – реализация аддитивной флуктуационной помехи, аппроксимируемой белым гауссовым шумом с нулевым средним и известной

спектральной плотностью мощности 2 2T .

При большом числе узкополосных помех их сумма представляет собой помеху, мало отличающуюся от флуктуационного шума. Вместе с тем, на этом шумовом фоне, могут выделяться отдельные узкополосные помехи, имеющие мощности, соизмеримые или превышающие мощность полезного сигнала. В этом случае не выполняются условия центральной предельной теоремы как в силу малости N П < 5 – 6, так и из-за отличия от нормального

26

закона статистических свойств мгновенных значений помех.

При использовании модели квазидетерминированного случайного процесса предполагаются известными временные функции, описывающие форму полезного сигнала и узкополосных помех. Случайными являются лишь отдельные параметры этих функций. Модель квазидетерминированной помехи позволяет учитывать в наиболее общем виде как статистические, так и структурные особенности УП в частотно-временной области [90].

Марковская			негауссовская модель задает помеху SП(t)	в виде стохас-
тического дифференциального уравнения [51]:
	dSП (t )		f SП t t ,	(1.31)
	dt

где (t) - белый гауссовский шум, с нулевым средним и корреляционной функцией B t1 t2 2 / 2 t1 t2 ;

f[SП(t)] – известная, в общем случае нелинейная, функция.

Одномерное распределение помехи связано с функцией f[SП(t)] соотношением

f SП t		2	/ 2	d lnW SП t		.	(1.32)
				dSП t

При линейной функции f[SП(t)] модель помехи оказывается гауссовской.

В настоящее время марковская модель помех широко используется в исследованиях и приводит в ряде случаев к конструктивным решениям [91,92,138 и др.]. К особенностям использования этой модели следует отнести громоздкость получающихся решений в алгоритмах оптимальных схем. Кроме того, часто оказываются затруднены, а иногда и остаются открытыми вопросы вычисления помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений.

Полигауссовская модель помех может аппроксимировать УП с заданной точностью рандомизированной смесью гауссовских процессов с различными математическими ожиданиями и корреляционными функциями [132]. При этом плотность распределения вероятностей помех имеет вид:

m	m
W SП qkWk SП ,	qk 1;	(1.33)
k 1	k 1

W(SП) – гауссовские плотности вероятности;

qk – весовые сомножители удовлетворяющие условию нормировки. Использование полигауссовской модели помех приводит к построению

решающих схем приемников в виде многоканальных устройств, практическая реализация которого авторами [72] не рассматривалась. Не анализируется также помехоустойчивость приемника при подобном представлении УП.

Значительная часть работ по спектральному анализу основана на моделировании рассматриваемых процессов, имеющих рациональную передаточную функцию в виде выходного сигнала линейной системы конечного по-

27

рядка с дискретным временем, возбуждаемой белым шумом [64, 126-128 и др.]. Такие процессы известны как процессы авторегрессии (АР) или авто-

регрессии и скользящего среднего (АРСС).

При этом, выходная последовательность {Yп} и входная последовательность {Xп}, которые используются для моделирования данных, связаны линейным уравнением

q p

Yп blYп l ak Xп k .		(1.34)
l 0	k 1
Эта наиболее	общая линейная модель называется	АРСС-моделью

(модель процесса авторегрессии со скользящим средним).

Данная модель широко использовалась при анализе временных рядов в задачах экономических и народнохозяйственных прогнозов [2, 3, 19]. В последнее время появилось много публикаций об использовании модели (1.6) в радиотехнических приложениях [1, 45, 63, 64, 105, 106]. Например, в [64] приводится большое количество примеров оценивания спектров сигналов на основе модели (1.6). Некоторые из них будут рассмотрены ниже. В [63] модель (1.6) используется для предсказания и сжатия речи. Известно множество примеров практического использования модели (1.6) в гидроакустических каналах связи с подводными объектами.

В настоящее время разработаны высокоскоростные цифровые устройства, которые позволяют производить обработку в реальном времени сигналов достаточно высокой частоты (до 1 ГГц и выше). Таким образом, в последнее время актуальность исследований приложений методов цифрового спектрального оценивания для защиты от УП в каналах радиосвязи значительно

повышается.
Если в (1.34) все коэффициенты bl , за исключением b0=1,		равны 0, то
p
Yn akYn k	X n ,	(1.35)

k1

ипроцесс {Yп} называется АР-процессом порядка p. Согласно теореме декомпозиции Уолда, любой АРСС процесс с конечной дисперсией можно представить единственной АР-моделью, возможно, бесконечного порядка.

Эта модель обладает рядом достоинств:

во-первых, подбирая порядок модели, можно достаточно точно аппроксимировать любой входной процесс, особенно так называемые «полюсные» помехи, к которым относятся большинство УП, создаваемые передатчиками с низкоскоростными источниками дискретных сообщений;

во-вторых, данная модель в явном виде содержит информацию о предыдущих значениях процесса, что позволяет прогнозировать следующие значения процесса, то есть модель является динамической (цифровым аналогом дифференциального стохастического уравнения). В этом

28

смысле процесс {Xп} можно назвать порождающим процессом, то есть при пропускании процесса {Xп} через фильтр с коэффициентами (1.7), на выходе фильтра получим аппроксимируемый процесс {Yп};

в-третьих, процесс (1.35) представляет собой выход цифрового линейного фильтра, что позволяет, оценив по входной реализации параметры модели, сразу же построить обратный фильтр, выбеливающий входной процесс.

Поскольку оценивание параметров АР-модели приводит к линейным уравнениям, то она имеет вычислительные преимущества перед методами оценивания параметров АРСС-моделей.

В данной работе совокупность УП при исследовании аналоговых методов защиты от УП будет описываться моделью квазидетерминированного случайного процесса, а при исследовании адаптивных цифровых алгоритмов

–авторегрессионной моделью.

1.4Основные задачи исследования и методы их решения

Как отмечалось выше, реальные каналы радиосвязи характеризуются априорной неопределенностью относительно параметров узкополосных помех (средних частот, количества УП, амплитуд, ширины спектра, времени действия, направления прихода). Защита от УП осложняется большим динамическим диапазон УП (до 100 дБ и более), что требует быстродействующих АЦП с большим динамическим диапазоном (при применении цифровых методов) и значительного усложнения аналоговых фильтров и цепей настройки (при использовании аналоговых методов). Блок защиты от УП должен быть адаптивным, то есть использовать разомкнутые или замкнутые алгоритмы адаптации.

С учетом анализа современного состояния проблемы защиты от узкополосных помех, в данной работе предполагается решить следующие задачи:

1.Исследование аналоговых адаптивных алгоритмов работы приемного устройства (с применением дополнительного канала приема и учетом пространственных различий источников полезного сигнала и помехи) как замкнутого типа (на основе алгоритмов Уидроу), так и разомкнутого типа (на основе алгоритмов оценки направления прихода помехи) и провести анализ их работы при воздействии на входе смеси сигнала и помех.

2.Получение количественных характеристик, характеризующих качество работы адаптивных подавителей УП (вероятность ошибки, скорость адаптации, эксплуатационные характеристики, возможные ограничения при использовании предлагаемых алгоритмов).

3.Исследование адаптивных цифровых алгоритмов, основанных на аппроксимации входных процессов АР-моделью и, в первую очередь, цифровых фильтров решетчатой структуры, анализ их работы при воздействии на входе смеси сигнала и помех.

29

ГЛАВА 2 ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ

ПРИЕМА СИГНАЛОВ В КАНАЛАХ С УЗКОПОЛОСНЫМИ ПОМЕХАМИ

2.1Синтез адаптивного алгоритма приема сигналов в каналах

сузкополосными помехами

Адаптивный метод преодоления априорной неопределенности является широко распространенным методом, при котором этапу приема сигнала предшествует этап предварительного обучения, то есть формирование на основании наблюдений оценок неизвестных параметров сигналов и помех.

Статистическая формулировка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема состоит в определении наилучшего правила преобразования наблюдаемых данных X(t) для принятия решения о переданном варианте сигнала.

При синтезе адаптивных алгоритмов формируется отношение правдоподобия с использованием апостериорного распределения вероятностей параметров сигнала и УП, полученного с помощью обучающей выборки [90]. Для этого представим смесь сигнала и помех на входе приемника в виде

X t	~
	cur t sur t
NП	~	,	(2.1)
сПkuПk t s Пku		Пk t t , LT t L 1 T

k 1

~

где ur(t) и uПk(t) – функции, определяющие переданный сигнал и УП; ur t и

~

uПk t - функции, сопряженные им по Гильберту; с, s, сПk, sПk – ортогональные составляющие коэффициента передачи канала для сигнала и k– й УП; NП – число УП.

Для упрощения задачи помехи полагаем, что узкополосные помехи во временной области взаимно независимы, а их энергетические спектры не перекрываются. Таким образом, для любых i j справедливы условия ортогональности:

uПi t uПj t dt 0,	~	t dt 0, i, j = 0, 1, 2, …, NП; NП 2.
	uПi t uПj
T	T

Это ограничение позволяет значительно упростить синтез и анализ алгоритмов приема, рассматривая случай, когда NП > 1. При этом остаются возможности как для исследования основных закономерностей воздействия узкополосных помех, так и для решения вопросов практического приложения полученных результатов.

В соответствии с критерием идеального наблюдателя, для априорно равновероятных передаваемых сигналов оптимальное правило для принятия решения о приеме r – го варианта сигнала определяется неравенством

30