- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
Методика решения задачи
Геометрически данную задачу можно проиллюстрировать сле дующим образом (рис. 3.4). Зависимости спроса от цены dip) и пред ложения от цены s (р) являются линейными и представляются на рис. 3.4 прямыми линиями. Соотношение (3.10) определяет точку пересечения Р данных прямых, которую можно было бы назвать точкой сбалансированности рынка, или его равновесия.
В данном случае соотношения (3.8) и (3.9) рассматривались как непрерывные в зависимости от цены р. Однако процесс изменения цены на протяжении ряда лет образует дискретную последователь ность величинPQ,P\, P2 , .... которую, собственно, и необходимо най ти при решении данной задачи. Определять искомую последователь ность будем следующим образом.
Рис. 3.4. Схема к постановке задачи
Подставляя (3.8) и (3.9) в (3.10), получим
а р „ -Ь = - срп+1 + g.
Проведя преобразования и введя новые положительные константы
А = а/с >0, В= (Ъ/с + g/c) > 0, |
|
приходим к соотношению |
|
рп П = - Л р п + В. |
(3.11) |
Уравнение (3.11) представляет собой линейное рекуррентное со отношение, которое позволяет построить последовательность ин
тересующих нас решенийр^,р2, р2, |
Перепишем (3.11) в виде |
|
рп+1+Арп = В. |
(3.12) |
Так как нас интересует функциональная зависимость рл(р0), рассмотрим следующую схему решения. Будем искать л-е решение в виде суммы решения однородного уравнения
Рп+\ + Лрп = 0 |
(3-13) |
и частного решения уравнения (3.12). |
|
Решение однородного уравнения'. рп+1 = —Арп. |
|
Предположим, что р0 = С. Тогда |
|
Pi = С(-А)', р2 = С(-А)2; р3 = С (-Аf |
;... |
или в общем случае рп = С(-А)п
Частное решение неоднородного уравнения: исходя из вида пра вой части (3.12) решение будем искать в виде константы рп = Ддля всех я. Подставим в (3.12) и получим D + AD = 5 или D= В/{А+\).
Следовательно, общее решение (3.12) имеет вид
Рп =С (~А)п + В/(А+1). |
(3.14) |
Из (3.8) при л = 0 получим
С = р0-В /(А + 1). |
(3.15) |
Подставив (3.15) в (3.14), найдем окончательное решение зада чи в виде
^ = f t M ) " + [ 4/( ^ +1) ] [ i - H ) 1 - |
<316) |
Анализ результатов
При рассмотрении соотношения (3.16) можно выделить три характерные области значений А:
1) 0 < А < 1. Модуль (—А)п с увеличением л стремится к нулю,
следовательно, рп -» В/(А +1). Этот результат можно изобразить
графически, построив зависимости функций sn+l и dn+l от цены рп (рис. 3.5).
Проанализируем полученные результаты. Начнем с цены pQ. Точка на графике s (р), соответствующая р0, дает значение 5j. Дви гаясь горизонтально, находим значение dt, т.е. выполняем условие dl = Sj. Цена, соответствующая dlf равнар j. Этой цене в свою оче-
Рис. 3.5. Иллюстрация к решению задачи (0 <Ак. })
редь соответствует предложение s2. Выполняя условие d2 — s2, дви гаемся горизонтально и находим d2. Процесс продолжается до стя гивания полученной «паутины» к цене В/(А +1), соответствующей пересечению графиков s(p) и d(p).
2) А =1. В этом случае уравнение (3.16) примет вид
рп =р0(-1)п + В[1-(-1)п]/2.
Следовательно:
рп = — р0 + В, если п — нечетное; рп = р0, если п —четное.
Геометрически эта ситуация показана на рис. 3.6.
Рис. 3.6. Геометрическая иллюстрация решения задачи при А = 1 (а) и А > 1 (б)
3) А> 1. Из уравнения (3.16) видно, что с возрастанием п рас тет амплитуда колебаний рп. Графически это показано на рис. 3.6Д
Из рассмотренных трех случаев первый соответствует устойчи вомуравновесию, т.е. сбалансированному рынку, когда спрос соот ветствует предложению. Во втором случае получили неустойчивое
равновесие, так как идет периодическое снижение и повышение цены. В третьем случае наступает так называемый коллапс, когда рынок полностью разбалансирован. По аналогии с принятой в качественной теории дифференциальных уравнений терминоло гией, точки пересечения графиков s (р) и d (р) (особые точки) для трех рассмотренных случаев можно назвать соответственно устойчивым фокусом (О<А< 1), центром (А= 1) и неустойчи вым фокусом (А> 1).
Величина А в соотношении (3.16) представляет собой отноше ние коэффициентов а и с, т.е. тангенсов углов наклона прямых спроса и предложения. При устойчивом состоянии рынка (0 < А < 1) прямая спроса круче прямой предложения, т.е. в этом состоянии при увеличении цены на единицу спрос падает быстрее, чем растет предложение.
Необходимо подчеркнуть, что мы сделали предположение о ли нейной зависимости спроса и предложения от цены. Если это пред положение заменить более сложной зависимостью, то задача ста новится намного сложнее и может вообще не иметь аналитическо го решения. Нелинейную зависимость спроса d и предложения j от цены р можно ввести множеством способов. Например, учитывая те факты, что любой производитель не может бесконечно наращи вать объемы продукции и что спрос при низких ценах растет бы стрее, чем при высоких, зависимости спроса и предложения от цены
можно представить следующими выражениями: |
|
sn+\=aP n~ b’ 4,+l=<?exp(-cp„+i), |
(3.17) |
где a,b,c,g> 0; 0 < т < 1. Графически данная ситуация представ лена на рис. 3.7. (Решение задачи и анализ результатов для та ких условий предлагается произвести читателю.)
Рис. 3.7. Нелинейные зависимости спроса и предложения