- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
ниям первого рода. Если для нахождения этого показателя требу ется решить специальную задачу на собственные значения, то со ответствующие решения именуют автомодельными второго рода.
Удивительно то, что в нелинейных системах решения такого рода соответствуют некоторому классу начальных условий. Такие системы со временем забывают «случайные черты» начальных ус ловий и стремятся к автомодельному решению (или одному из ав томодельных решений, если их несколько). Подробнее это будет рассмотрено ниже.
6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
Поистине восхищения заслуживает изобре тательность, с которой природа столь тонко и разнообразно маскирует простоту под сложность!
П. Эткинс
Линейное волновое уравнение (6.7) прекрасно описывает рас пространение звука, когда его громкость невелика (при этом ско рость звука не зависит от громкости). Если звук очень громкий, например от взрыва, то может возникнуть ударная волна. Ее ско рость зависит от разности давлений за волной и перед ней. Для описания такого поведения требуется формулировать нелинейную модель. Однако получение решения и качественное исследование нелинейной модели требует других подходов, поскольку даже ма лая нелинейная добавка качественно меняет ситуацию: сумма двух решений уже не удовлетворяет уравнению. Принцип суперпозиции «не работает» й «сшить» ’общее решение из частных уже не удается.
Исследуем, к каким качественным изменениям приводит по явление нелинейности в простейших математических моделях на примере уравнения теплопроводности, по виду совпадающего с уравнением диффузии (6.50)
дТ _ ,д 2Т
(6.53)
д( |
Эх2 ’ |
где к > 0 —коэффициент теплопроводности, Т> 0 —температура. Оно описывает передачу тепла, диффузию частиц, проникновение магнитного поля в плазму и некоторые другие процессы.
Представим, что у нас есть компьютер с соответствующим программным обеспечением, который умеет решать различные урав нения. Остается только задать граничные условия и начальные дан ные и посмотреть, как ведет себя решение. Будем считать для про
стоты, что отрезок бесконечен, - « < х < °°, причем Т (х -» ±°°) -> 0.
Пусть в начальный момент до высокой температуры нагрет ма ленький участок (рис. 6 .6,а). На рис. 6 .6 ,о показаны профили тем пературы в разные моменты времени.
Рис. 6.6. Решения уравнения теплопроводности [60]
Можно видеть, что максимальная температура снижается по закону А - Г 1/2, а полуширина профиля на уровне A/(2L) возрас
тает как L ~ № . Это кажется понятным: от более нагретых участ
ков тепло передается менее нагретым, при этом температура пер вых уменьшается, а вторых —повышается. Поскольку количество
тепла остается неизменным, то AL ~ const.
Теперь рассмотрим среду, в которой происходит процесс го рения [59, 60, 67]. При этом в правой части уравнения теплопро водности появляется новый член, описывающий тепловыделение источников. Будем считать, что интенсивность горения пропорци ональна температуре. Это приводит к линейному уравнению
■ * >о- |
( 6 - 5 4 ) |
Решение этого уравнения при тех же начальных условиях представлено на рис. 6.6,6. Как видно, амплитуда А растет, а по
луширина меняется по закону L ~ № . Таким образом, закономер ности очень похожи. В чем причина? Оказывается, уравнение (6.54) можно привести к виду (6.53), если ввести замену перемен
ной 7* = exp(qt) Т. Значит, А - exp(qt)t№, что совпадает с резуль
татами расчета.
Посмотрим, что произойдет, если источник нелинеен:
^■ = k ^ - + q T - a T 3, q, <х>0. |
(6.55) |
at Эдг
Нелинейный член описывает прекращение горения при боль ших температурах. Это может быть связано с выгоранием топли ва или большей ролью эндотермических реакций с ростом Т. Урав нение (6.55) возникает не только в теории горения. С его помо щью моделируют распространение эпидемий, прохождение импульса по нервному волокну. Посмотрим, как выглядят реше ния этого уравнения (рис. 6 .6 ,в).
Они разительно отличаются от того, что мы видели раньше: возникает тепловая волна, распространяющаяся с постоянной ско ростью, причем амплитуда волны стремится к постоянному зна чению (q/а )1/2. Но известно, что бегущая волна —это автомодель
ное решение вида Т* (±т\t), сохраняющее свою форму. Причем в
отличие от линейного уравнения теплопроводности, где существует бесконечный набор собственных функций Тр Т2, ..., здесь функ ция 7* только одна и определяется свойствами нелинейной среды
(в нелинейных уравнениях собственных функций может оказать ся конечное число). Роль функции Т* в модели тепловых струк тур велика. Она определяет локализованные конфигурации в пре делах, в которых процессы идут согласованно. Именно поэтому ее во многих работах называют собственной функцией нелинейной среды. Однако в отличие от линейных задач она описывает лока лизованные процессы и никак не связана с краевыми условиями.
Наличие источников и стоков является типичным в так назы ваемых открытых системах, которые в отличие от замкнутых мо гут обмениваться с окружающей средой энергией, веществом, ин формацией. «Забывание» начальных данных, т.е. стремление для целого класса начальных профилей к одному и тому же решению характерно для большого класса открытых нелинейных систем. Причем это решение часто оказывается автомодельным. Такое поведение говорит о возникновении упорядоченности в системе или о самоорганизации. В самом деле, «выход» на автомодельное решение означает уменьшение числа степеней свободы и выделе ние нескольких основных (параметров порядка), к которым под страиваются все остальные.
Рассмотрим систему с нелинейным коэффициентом теплопро водности к и нелинейным источником, обладающим следующим свойством: чем больше отклонение от равновесия, тем быстрее идет процесс
ЭТ |
— (кТ° |
ЭГ |
+ Л |
k,q>0, р > а + 1. |
(6.56) |
дt |
Эх(^ |
Эх |
|
|
Такие модели характерны для физики плазмы, химической кинетики, экологии, разрушения, пластичности.
Система (6.56) обладает еще более необычайными свойствами. Обратим внимание на два принципиальных отличия от всех дру гих решений, обсуждавшихся выше. Профиль температуры оказы вается локализованным внутри некоторой области G^, вне которой 1\х, t) равна нулю (рис. 6 .6 ,г). Из непрерывной среды при этом выделяются ограниченные участки, в пределах которых и проис ходит горение. Решение существует только в течение ограничен ного времени tp называемого временем обострения. За это время функция 7\х, f) в конечной области обращается в бесконечность.
До недавнего времени математики полагали, что такие реше ния не представляют особого интереса и наличие их говорит о не совершенстве модели. Однако развитие физики плазмы, газовой
динамики, других областей привело к появлению содержательных задач, в которых ведущими оказываются один или несколько наи более быстрых процессов. Если посмотреть внимательно на реше ние, то оказывается, что профили температуры в процессе эволю ции остаются подобными себе. Возникает вопрос: не определяют ся ли и они автомодельными решениями? Действительно, на развитой стадии (когда выделяется много больше тепла, чем в на чальный момент времени) процесс горения описывается формулой
|
Т = & Ш х № ) . |
(6-57) |
Здесь g(t) определяет закон роста амплитуды, <p(f) —полуши |
||
рины,/ —форму профиля, |
при |
g, (p —функции |
степенного вида: |
|
|
« ( о - К Г " ™
Обратим внимание на то, что в пределах области локализации горение происходит согласованно в разных точках пространства. Выход на решение вида (6.57) говорит о спонтанном возникнове нии упорядоченности, о формировании локализованных структур. Для э'ГОЙ нелинейной среды также характерно «забывание» дета лей начальных данных, что в некотором смысле парадоксально. В среде, где есть только горение и теплопроводность - диссипа тивной процесс, связанный с рассеянием энергии и обычно унич тож ает™ всякую упорядоченность, —возникают структуры, со храняющие свою форму. Чтобы подчеркнуть необычность этого яв ления, их называют диссипативными структурами.
Познакомимся подробнее с тепловыми структурами. Ясно, что у них есть две важные характеристики —время их жизни /уи об
ласть локализации Gx. Если в среде независимо развиваются две локалИзованные структуры с разными временами обострения
f f 2 > If\ >то практически горение происходит на характерных вре
мена^ я (/i> т.е. только в первой, и замирает во второй структуре. рйдпьно живут в одном мире только структуры с одинаковы ми вр^енами обострения. Если попробовать объединить несколь
ко стрУ^УР так>чтобы их области локализации пересекались, структуры начинают взаимодействовать, возникает волна горения сложг^й формы, сходящаяся к центру. Однако эта форма с рос том т£РдпеРатУРы меняется, и в конце концов остается одна про стая (МСТР° горящая структура. Возникает вопрос, можно ли по