- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
ляется серьезным недостатком моделей, основанных на имитаци онном подходе. Быстрое развитие средств вычислительной техни ки, совершенствование языков и технологий разработки имитато ров позволяет надеяться, что отмеченные недостатки будут со вре менем устраняться.
7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Вся наука является не чем иным, как усовер шенствованием повседневного мышления.
А. Эйнштейн
В гл. 5 рассматривались математические модели систем мас сового обслуживания (СМО). Под СМО понимают системы, на вход которых подается случайный поток однотипных заявок (со бытий), обработка которых выполняется одним или несколькими однотипными каналами (устройствами). Как правило, построить аналитическую модель подобной системы можно при соблюдении следующих условий:
>Система должна быть относительно простой. Например, участок цеха можно представить как относительно простую многоканальную СМО (с очередью или без нее); в то же время число и форма связей для цеха в целом (или для всего предприятия) могут быть достаточно сложными и трудно учитываемыми в аналитической модели.
>Потоки событий между элементами системы должны быть простейшими или близкими к ним (коэффициенты вариации потоков должны быть близки к единице). Если поток в си стеме не является простейшим и не описывается показатель ным распределением, то вероятности состояний нельзя опи
сывать уравнениями Колмогорова.
При невыполнении данных условий аналитическое модели рование используется лишь в некоторых частных случаях, когда после принятия дополнительных гипотез возможно разрешение возникающих сложностей. Если эти сложности при аналитическом моделировании являются непреодолимыми, то представляется це лесообразным применение моделей, использующих имитационный подход.
14 Введение в математическое |
377 |
моделирование |
|
П р и м е р 7 .1 . Одноканальная СМО с отказами. Р а с с м о т р и м и м и т а т о р
о д н о к а н а л ь н о й С М О с о т к а з а м и (с м . р и с . 7 .1 ) . П у с т ь н а в х о д с и с т е м ы п о с т у п а е т с л у ч а й н ы й п о т о к з а я в о к , и н т е р в а л в р е м е н и At м е ж д у к о т о р ы
м и я в л я е т с я с л у ч а й н о й в е л и ч и н о й , р а с
п р е д е л е н н о й п о р а в н о м е р н о м у з а к о н у в
и н т е р в а л е о т tx д о t2 (At = R (tlt t2)).
В р е м я в ы п о л н е н и я A w з а я в к и в к а н а л е |
ы |
[щм] |
|
||||
|
|
||||||
т а к ж е с л у ч а й н о и п о д ч и н е н о р а в н о м е р |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
н о м у |
з а к о н у : A w = |
= |
w2). Т р е б у |
|
|
|
|
е т с я о п р е д е л и т ь в е р о я т н о с т ь о т к а з а в |
|
Рис. 7.1. Схелш |
СМО |
||||
о б с л у ж и в а н и и и к о э ф ф и ц и е н т з а г р у з к и |
|
||||||
|
|
|
|
||||
к а н а л а . |
|
|
|
|
|
|
|
В ы п о л н и м д е к о м п о з и ц и ю д а н н о й с и с т е м ы . В к а ч е с т в е о т д е л ь н ы х |
|||||||
э л е м е н т о в м о ж н о в ы д е л и т ь с л е д у ю щ и е . |
|
|
|
|
|||
1. И с т о ч н и к з а я в о к , к о т о р ы й х а р а к т е р и з у е т с я : |
|
|
|||||
• |
о б щ и м ч и с л о м Nmax с г е н е р и р о в а н н ы х |
з а я в о к з а |
в е с ь и н т е р в а л н а |
||||
|
б л ю д е н и й ; |
|
|
|
|
|
|
• |
ч и с л о м N(t) |
з а я в о к , |
с г е н е р и р о в а н н ы х |
к м о м е н т у |
в р е м е н и |
t, |
• з а к о н о м р а с п р е д е л е н и я и н т е р в а л о в в р е м е н и At м е ж д у п о я в л е н и е м з а я в о к ;
• в р е м е н е м tn п о я в л е н и я т е к у щ е й з а я в к и .
В н е к о т о р ы х с л у ч а я х п р и р а с с м о т р е н и и н е о д н о р о д н ы х п о т о к о в и с т о ч н и к м о ж е т г е н е р и р о в а т ь з а я в к и р а з н о г о т и п а ( с л о ж н о с т и ) , х а р а к т е р и з у е м ы е с в о и м з а к о н о м р а с п р е д е л е н и я .
2 . К а н а л , к о т о р ы й х а р а к т е р и з у е т с я :
• с в о и м с о с т о я н и е м S(t) ( з а н я т и л и с в о б о д е н в м о м е н т в р е м е н и t);
• ч и с л о м Nwо б с л у ж е н н ы х з а я в о к ;
• с у м м а р н ы м в р е м е н е м Tw н а х о ж д е н и я в з а н я т о м с о с т о я н и и ;
• п р о и з в о д и т е л ь н о с т ь ю A w ( з а к о н р а с п р е д е л е н и я в р е м е н в ы п о л н е н и я
з а я в о к о п р е д е л е н н о г о т и п а ) ;
• в р е м е н е м Wn о к о н ч а н и я о б с л у ж и в а н и я п-й з а я в к и .
Имитация работы системы происходит в системном времени /. Введенные параметры для элементов СМО позволяют ответить на поставленные вопросы о параметрах эффективности данной сис темы. Зная число Nw обслуженных заявок в момент времени t из их общего числа N, можно оценить вероятность отказа Ротк(/) ее частостью W0TYL(t)\
РогкЮ " ^апс(') = № ) - N w(t))/N(t). |
(7.1) |
Коэффициент загрузки К3 канала можно оценить, зная время работы Tw канала:
K3(t) = Tw(t)/t. |
(7.2) |
Для разработки имитатора используем переменный шаг по времени. В результате работы имитатора происходит генерация Nmax заявок с заданными статистическими параметрами, имити рующими случайный процесс поступления заявок в реальной си стеме. Очевидно, что при увеличении Nm3X (объема статистичес кой выборки) увеличивается достоверность статистических оценок параметров эффективности системы. Алгоритм, реализующий ими татор, представлен на рис. 7.2. Запись этого алгоритма на псевдо коде приведена далее в Алгоритме 7.1.
На рис. 7.3 показано изменение параметров эффективности в зависимости от системного времени при следующих исходных дан ных: Wj = tx = 1; w2 = t2 = 3; 7Vmax= 200.
Можно отметить, что с увеличением времени наблюдения за системой (т.е. с ростом объема выборки Nmax числа рассмотрен ных заявок) оценки параметров эффективности стремятся к неко торым предельным значениям. Указанные оценки являются значе ниями параметров эффективности, которые соответствуют финаль ным вероятностям рассматриваемой системы при заданных исходных данных. Так, для рассматриваемого случая оценка веро ятности отказа Ротк стремится к значению 0,34, а оценка коэффи циента загрузки К3 —к значению 0,66.
На практике при построении имитаторов сложных систем, как правило, предусматривается возможность наблюдения за величи ной оценок параметров эффективности в зависимости от систем ного времени или числа сгенерированных заявок. Вычислительный эксперимент с имитатором прекращается при выходе наблюдаемых оценок на некоторое стационарное значение. Автоматический ос танов вычислительного эксперимента можно ввести в алгоритм имитатора, если предусмотреть вычисление величины максималь ного изменения отслеживаемых параметров за некоторый проме жуток системного времени, начиная от текущего момента. Если модуль величины максимального изменения стал меньше некото рого наперед заданного малого положительного числа, то экспе римент с имитатором можно прекращать, а полученные значения отслеживаемых параметров считать решением задачи.
Рис. 7.2. Блок-схема имитатора
А л г о р и т м 7. 1
programm Имитатор одноканальной СМО с отказами. Данные: - максимальное число заявок;
tv t2 - границы разброса интервала времени мееду заявками; wv w2 - границы разброса интервала времени обработки;
ran - случайное число.
Результаты: Рт и Кз - вероятность отказа и коэффициент загрузки.
procedure Random генерация случайного числа R(0,65535) Данные: ran - случайное число
Выход: новое значение случайного числа. start
ran := (25173 г + 13849) mod 65536*
return
start
ran := 0 |
|
О jl |
|
|
|
Л/max := 200 |
|
|
w,:= 0; |
|
Tw:= 0; |
w, := 1; |
|
w2 : = 3 |
t:= 0; |
|
цикл по заявкам |
while (A /S N J |
|
|
Random |
|
|
At:=t, + |
(t2- д ч ran /6 5 5 3 6 |
|
t:=t + At |
|
|
N : = N + |
1 |
|
Ifw f^ fth e n |
проверка канала |
|
Random |
||
Aw ;= |
+ (w2- w,)4 ran / 65536 |
Nw:= A/w+1
Wt :=t + A w
Tw-=TW+ Aw
end if end while
w m : = ( N - N J I N
K2 ~ T J t
stop
* О п е р а ц и я m o d - в ы ч и с л е н и е о с т а т к а п р и ц е л о ч и с л е н н о м д е л е н и и . Н а п р и м е р : 7 m o d 3 = 1 .