- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
7a(2v/+a) |
|
|
d = 2,S(a,t) = 2 |
$ |
[ v /+ a /2 - x 2/(2a)lctc= |
|
о |
J |
=^(2v/+a)^a(2vt+aj,
2 K |
-Ja(2vl+a) |
|
d =3, F(a,/) = J</<p J |
[v/+a / 2 - Г2 /(2a)lrdr = |
|
o |
o |
J |
(6.103)
=^ a(2v/+ a)2,
ивыделим из этих соотношений геометрический фактор 6у(а, f ) , соответствующий такой форме дендрита:
ч - з . |
№ , ( * . » ■ |
<6ЛМ) |
Заметим, что Gy(a, f ) зависит от времени. Это объясняется
тем, что рост дендритных ветвей происходит не из-за их равномер ного растяжения (преобразования подобия), а за счет перемеще ния параболы как жесткого целого со скоростью v; при этом свой ство самоподобности сохраняется.
Результаты применения модели случайных фракталов
Проанализируем результаты применения предложенной моде ли для двумерной задачи. Форма дендритных ветвей задается па раболами. Вычислим площадь, занимаемую дендритной частицей в единичном квадрате. Пока не будем рассматривать рост дендри та. Полученные результаты сравним с экспериментальными дан ными, определенными посредством обработки снимка дендритной частицы (рис. 6.38) с помощью пакета «Image Tool». По снимку оп ределялись площадь, занимаемая дендритной частицей в квадра-
Рис. 6.38. Структура дендритного кристалла в разрезе. Дендрит извлечен из усадочной раковины крупной отливки 1110]
те, длины ветвей нулевого, первого и второго порядков, число вет вей следующего порядка на каждой ветви. Были определены ин тервалы значений названных величин (табл. 6.1). Предполагалось, что величины р и к распределены равномерно. Заметим, что для
приведенных значений выполняется соотношение р/{к?} <1. Вычисления проводились для нескольких реализаций случай
ных величин. По заданным распределениям для величин р и к с помощью генератора случайных чисел составлялись выборки, со держащие по 100 элементов. Затем по выборке определялись сред нее значение М( ) и среднее квадратичное отклонение а (•), кото рые и подставлялись в соотношения (6.94), (6.99) для нахождения занимаемой площади и фрактальной размерности.
Приведем результаты вычислений для пяти реализаций слу чайных величин. В табл. 6.2 даны параметры модели, средние зна-
Таблица 6.1
Интервалы значений параметров дендритной структуры
р |
к |
k |
5 |
19-40 |
2 -1 0 |
1 |
0,47±0,03 |
Д(19; 40) |
Ж 2; 10) |
- |
- |
Параметры структуры и результаты вычислений для сформировавшегося дендрита
№ п/п |
М(р) |
а(р) |
М ( к ) |
<т(Аг) |
а |
v t |
S |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
29,716 |
6,433 |
5,601 |
2,278 |
|
|
0,464 |
1,825 |
2 |
29,680 |
6,417 |
5,458 |
2,414 |
|
|
0,424 |
1,781 |
3 |
29,607 |
6,192 |
5,769 |
2,475 |
0,005 |
1 |
0,384 |
1,771 |
4 |
29,353 |
6,450 |
5,694 |
2,130 |
|
|
0,464 |
1,812 |
5 |
30,014 |
6,047 |
5,367 |
2,504 |
|
|
0,402 |
1,780 |
Среднее |
|
|
|
|
|
|
0,4276 |
1,794 |
чения, стандартные отклонения величин р и к; величины площа ди и фрактальной размерности, вычисленные согласно предложен ной модели. Как видно из таблицы, площадь, занимаемая дендри том, и его фрактальная размерность меняются при различных ре ализациях случайных величин, однако разброс остается в пределах реальных значений и достаточно близок к замеренным по фото графии.
На рис. 6.39 показано, как изменяется величина Sj в зависи мости от числа поколений фрактала. Для каждого п определялись средние значения и стандартные отклонения величин по соответ ствующим выборкам, по которым и определялись площадь и раз мерность. Из рисунка можно заметить, что после достижения п = 25 дальнейшее увеличение числа поколений фрактала не при водит к заметному изменению площади (эти установившиеся зна чения и приведены в табл. 6.2). Очевидно, именно эту величи-
П
Рис. 6.39. Зависимость площади
от числа уровней самоподобия
ну и нужно принимать за площадь, занимаемую фрактальной ча стицей.
Заметим, что относительную площадь, занимаемую дендрит ной частицей, можно рассматривать как долю твердой фазы для плоской задачи кристаллизации, и предложенная модель дает удов летворительную оценку этой величины.
Проведем расчет изменения площади, занимаемой дендритом, и его фрактальной размерности со временем. Для этого длина оси нулевого порядка и параметры равномерного распределения R (а; Ь) числа дендритных ветвей задавались в виде линейных фун кций времени, а расстояние между вторичными ветвями —неко торой постоянной величиной */п. В табл. 6.3 даны вид этих функ ций, значения параметров, используемых в расчетах, а также зна чения площади и размерности в момент /= 1. Затем на каждом шаге по времени генерировалась выборка случайных чисел для ко личества дендритных ветвей с текущими параметрами распределе ния, определялись ее среднее значение и стандартное отклонение и по соотношениям (6.94), (6.99) вычислялись площадь и фрак тальная размерность.
Таблица 6.3 Параметры структуры и результаты вычислений для растущего дендрита
А) |
du |
а |
Ъ |
V |
4) |
5 |
D f |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1+vf |
0,025 |
0,3 { Ш и ) |
/(Mi |
1 |
0,01 |
0,431 |
1,752 |
На рис. 6.40 и 6.41 приведены зависимости соответственно площади и фрактальной размерности растущего дендрита от вре мени.
Можно показать, что форма элементарных фрагментов фрак тала, то есть те фигуры, которые аппроксимируют форму дендрит ных ветвей, несущественно сказываются на результатах вычисле ний. Для примера сравним значения, полученные для формы вет вей, ограниченной параболой, равнобедренным треугольником и половиной эллипса. В табл. 6.4 приведены уравнения кривых, пло щади и геометрические факторы фигур, ограниченных соответству ющими кривыми и прямой z = 0.
Параметры выбирались таким образом, чтобы совпадали точки пересечения этих кривых и координатных осей: меньшая полуось
/
25 50 75 100 125 150 1755
Рис. 6.40. Зависимость площади
растущего дендрита от времени
1,6 |
|
|
|
|
|
1,4 |
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
0 |
25 |
50 |
75 |
100 |
125 150175 Df |
Рис. 6.41. Зависимость фрактальной размерности
растущего дендрита от времени
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.4 |
Параметры кривых, аппроксимирующих дендритные ветви |
||||||
Тип |
Уравнение кривой |
Площадь |
Геометрический |
|||
фигуры |
|
|
|
|
|
фактор Gf(сЦ) |
Пара |
z = vt + a / 2 - x 2/( 2а) |
■|(2v/ + a)yja(2vt + a) |
8>/a |
|||
бола |
|
|
|
|
|
3y/2vt+a |
Треу- |
2v*+a |
|
^ |
' , JC>0 |
|
|
|
|
|
2j a |
|||
Г О Л Ь - |
(i- |
|
|
|||
Н И К |
2 |
|
|
|
(2vt + a)Ja(2vt + a) |
y/2vt+a |
|
Z=' |
|
|
|
||
|
2w+a |
|
|
, x<0 |
|
|
|
2 |
yjaQtf+d) |
|
|
||
|
|
|
|
|||
Эллипс |
2vf+ a |
1 |
x 2 |
|
^(2v/+ a)yja(2vt + a) |
ny/a |
x |
|
|||||
|
*" 2 |
i |
a(2vf +a) |
|
y/2 vt +a |
|
эллипса равна yja(2vt + а) , большая |
||
|
полуось —/0; основание равнобед |
||
|
ренного треугольника равно 2, вы |
||
|
сота равна 10 (как показано на рис. |
||
|
6.42). Сплошная линия соответству |
||
|
ет параболе, штриховая —верхней |
||
|
половине эллипса, штрихпунктир- |
||
|
ная —равнобедренному треуголь |
||
|
нику. В этом случае характерная |
||
|
длина |
по-прежнему имеет |
вид |
|
IQ =(2vt + a)/2. |
|
|
|
По |
сути, независимость |
от |
|
типа фигуры элементарного фраг |
||
|
мента |
фрактала заложена изна |
|
Рис. 6.42. Кривые, аппроксими |
чально |
в соотношениях (6.94) и |
|
рующие форму дендритной ветви |
(6.96). Площади дендритных час |
тиц будут отличаться лишь на кон станту, а размерность вообще не изменится. Сказанное подтверж дают результаты расчетов, приведенные в табл. 6.5.
|
Таблица 6.5 |
||
Сравнение результатов для |
|||
разных типов фигур |
|
||
Тип |
S |
|
|
фигуры |
D f |
||
|
|||
Парабола |
0,465 |
1,812 |
|
Треугольник |
0,349 |
||
|
|||
Эллипс |
0,548 |
|
Как и следовало ожидать, наибольшую площадь занимает ден дритная частица, ветви которой аппроксимируются половиной эл липса, наименьшую —частица с ветвями, аппроксимируемыми равнобедренными треугольниками.