- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
автомат, 381 автомодельность, 258, 265, 286 агрегат-имитатор, 158 агрегат-классификатор, 156 агрегат-конфигуратор, 155 агрегат-оператор, 156 агрегат-статистик, 158 агрегат-структура, 159 агрегирование, 153 адекватность, 19, 80 аксиоматика Колмогорова, 206 анализ. См. декомпозиция
анализ подобия и размерности, 281 аналогия, 17
Б
богатство модели, 20
В
вейвлет-анализ, 313, 323 вероятность, 206 волновое уравнение, 252, 273 выборка, 206
вычислительный эксперимент, 52
Г
гармоника, 259 гипотеза, 17
гистограмма, 212 граф, 144 граф состояний, 231
д
декомпозиция, 151 дендриты, 348
детерминированная величина, 180 детерминированные параметры, 43 дискретная случайная величина, 208 дислокации, 398 дислокационные структуры, 400 дисперсия, 210, 298 диссипативные структуры, 294 ДНК, 359
3
задача Штурма-Лиувилля, 259 закон Гука, 245 закон распределения, 208
законы термодинамики, 278 заявка, 235
И
имитатор, 158, 376 имитационная система, 37
имитационный подход, 52, 368 индекс ранжирования, 196
интервальное описание параметров, 43, 186
К
канал, 234 клеточный автомат, 382, 402 когнитология, 32
контроль математической замкнутости, 68 контроль порядков, 67 контроль размерности, 67 корректность, 68
Л
лингвистическая переменная, 192
М
максиминное произведение, 191 марковский случайный процесс, 227 математическое ожидание, 209 медиана, 209, 259 метод Даламбера, 261 метод Монте-Карло, 218
метод равных вероятностей, 225 метод Фурье, 256, 258 мода, 209
моделирование аналоговое, 25 моделирование идеальное, 23, 26 моделирование интуитивное, 26 моделирование математическое, 32 моделирование материальное, 23, 24 моделирование натурное, 24 моделирование научное, 26 модель, 13, 17, 18, 28 модель аналитическая, 49 модель «белого ящика», 143 модель дескриптивная, 47 модель информационная, 35 модель когнитивная, 29 модель концептуальная, 30 модель линейная, 38
модель логико-семантическая, 30 модель математическая, 34 модель нестационарная, 46
модель объяснительная, 29 модель описательная, 29 модель оптимизационная, 48 модель приближенная, 50
модель причинно-следственная, 30 модель прогностическая, 29 модель системы, 142 модель содержательная, 29 модель состава системы, 142
модель стационарная', 46 модель структурно-функциональная, 30 модель структурная, 37, 145, 150 модель структуры системы, 143 модель управленческая, 48 модель формальная, 30 модель «черного ящика», 142 модель численная, 51
Н
недоопределенность, 183 недостоверность, 183
неизвестность, 183 неоднозначность, 183 неопределенность параметров, 42
неопределенность прагматическая, 184 неопределенность семантическая, 184 неопределенность синтаксическая, 184 неполнота, 183 нечеткое множество, 188
нечеткое описание параметров, 43 нечеткое отношение, 190 нормальное распределение, 215 нормальные моды, 257
О
обследование объекта, 57, 59 объект исследования, 16 омонимия, 184 оператор модели, 38
определяющие соотношения, 66, 254 опыт, 205 отношения, 143
П
параметры модели, 41 параметры управления, 48 параметры экзогенные, 41 параметры эндогенные, 41 плотность распределения, 211 погрешность, 51, 72 показательное распределение, 214 полигон частот, 212 полисемия, 183, 184 полнота модели, 19
постановка концептуальная, 60 постановка математическая, 65 постановка содержательная, 58 потенциальность модели, 19 поток событий, 229 принцип суперпозиции, 248 простейший поток, 230 простота модели, 19 П-теорема, 281
Р
С
свойства моделей, 19 синтез, 150 система, 36, 141
система массового обслуживания, 234 случайное описание параметров, 43 случайное событие, 180 случайный процесс, 227 ------
собственные функции, 259 событие, 180 состояние объекта, 46 спецификация, 76 сплошная среда, 249
среднее квадратическое отклонение, 211 стохастическое описание параметров, 43, 185 структурная схема, 143
Т
теория, 28 техническое задание, 59 точность алгоритма, 72
У
уравнение диффузии, 270 уравнение Кортевега-де Фриза, 297 уравнение Уизема, 297 уравнение Шредингера, 274 уравнения Колмогорова, 232 уравнения Максвелла, 266
Ф
финальные вероятности, 233 фракталы, 331 фрейм, 151
функция принадлежности, 188, 189 функция распределения, 211 фурье-анализ, 308
X
характеристики уравнений матфизики, 257, 262, 269
Ч
частость, 206
Э
элемент вероятности, 231 элемент системы, 142 эмерджентность, 154 энтропия, 278
этапы построения модели, 55, 57 эффект Портевена-Ле Шателье,411
Я
язык моделирования, 375
равномерное распределение, 215 распределение Пуассона, 213
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................... |
|
6 |
Глава 1. Определение и назначение моделирования... |
......................... |
11 |
1.1. Что такое модель? |
|
13 |
1.1.1. Место моделирования среди методов познания........................... |
|
13 |
1.1.2. Определение модели................................................................... |
|
16 |
1.1.3. Свойства моделей................................... |
|
19 |
1.1.4. Цели моделирования |
|
21 |
1.2. Классификация моделей................................. |
|
23 |
1.2.1. Материальное моделирование............................ |
|
24 |
1.2.2. Идеальное моделирование...................... |
|
26 |
1.2.3. Когнитивные, концептуальные и формальные модели................. |
29 |
|
1.3. Классификация математических моделей............................................. |
|
36 |
1.3.1. Классификационные признаки............... |
|
36 |
1.3.2. Классификация математических моделей |
|
37 |
в зависимости от сложности объекта моделирования........................... |
|
|
1.3.3. Классификация математических моделей |
|
39 |
в зависимости от оператора модели............... |
|
|
1.3.4. Классификация математических моделей |
|
42 |
в зависимости от параметров модели (рис. 1.9) |
|
|
1.3.5. Классификация математических моделей |
|
48 |
в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)................................ |
|
|
1.3.6. Классификация в зависимости |
|
50 |
от методов реализации (рис. 1.12)......................................................... |
|
|
Вопросы для самопроверки |
|
54 |
Задания для самостоятельного выполнения |
|
55 |
Глава 2. Этапы построения математической модели........................................ |
|
56 |
2.1. Обследование объекта моделирования.................................................. |
|
58 |
2.2. Концептуальная постановка задачи моделирования.............................. |
|
62 |
2.3. Математическая постановка задачи моделирования.............................. |
|
66 |
2.4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи.......................... |
72 |
|
2.5. Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ....... |
78 |
|
2.6. Проверка адекватности модели............................................................. |
|
82 |
2.7. Практическое использование построенной модели |
|
86 |
и анализ результатов моделирования |
|
|
Вопросы для самопроверки |
|
90 |
Задания для самостоятельного выполнения |
|
90 |
Глава 3. Примеры математических моделей...................................................... |
|
92 |
3.1. Статический анализ конструкций........................................................ |
|
94 |
3.2. Модель спроса-предложения............................................................... |
|
100 |
3.3. Динамика популяций........................................................................... |
|
106 |
3.4. Модель конкуренции двух популяций................................................. |
|
116 |
3.5. Гармонический осцилятор................................................................... |
|
128 |
Задания для самостоятельного выполнения.................................................... |
|
138 |
Глава 4. Структурные модели.......................................................................... |
|
142 |
4.1. Что такое структурная модель?........................................................... |
|
143 |
4.2. Способы построения структурных моделей......................................... |
|
152 |
4.3. Примеры структурных моделей.......................................................... |
|
162 |
Вопросы для самопроверки............................................................................. |
|
180 |
Задания для самостоятельного выполнения.................................................... |
|
180 |
Глава 5. Моделирование в условиях неопределенности |
181 |
5.1. Причины появления неопределенностей и их виды..................... |
183 |
5.2. Моделирование в условиях неопределенности; |
|
описываемой с позиций теории нечетких множеств.................................. |
188 |
5.3. Моделирование в условиях стохастической неопределенности.......... |
205 |
5.4. Моделирование марковских случайных процессов............................. |
228 |
Вопросы для самопроверки............................................................................ |
241 |
Задания для самостоятельного выполнения................................................... |
243 |
Глава 6. Линейные и нелинейные модели....................................................... |
245 |
6.1. О законе Гука и границах линейности............................................... |
246 |
6.2. Сплошные среды и уравнения математической физики. |
|
Линейные уравнения и принцип суперпозиции |
249 |
6.3. О построении сплошносредных моделей. |
|
Вывод волнового уравнения...................................................................... |
253 |
6.4. Решение волнового уравнения методом Фурье................................... |
257 |
6.5. О характеристиках уравнений математической физики. |
|
Решение волнового уравнения методом Даламбера................................... |
262 |
6.6. Уравнения Максвелла........................................................................ |
266 |
6.7. О классификации квазилинейных систем.......................................... |
269 |
6.8. Связь непрерывного и дискретного на примерах |
|
уравнения колебаний струны и уравнения Шредингера |
272 |
6.9. О пользе феноменологии при построении |
|
математических моделей........................................................................... |
277 |
6.10. Анализ подобия и размерности........................................................ |
282 |
6.11. Автомодельность.............................................................................. |
287 |
6.12. Самоорганизация и структуры в нелинейных средах........................ |
291 |
6.13. О нелинейных волнах в сплошных средах........................................ |
296 |
6.14. Иерархические модели турбулентности |
|
и многомасштабные функциональные базисы.......................................... |
304 |
6.15. Вейвлеты.......................................................................................... |
314 |
6.16. Вейвлет^анализ временных колебаний............................................. |
324 |
6.17. О фракталах и их применении......................................................... |
332 |
6.18. Нелинейные модели ДНК................................................................ |
360 |
Задания для самостоятельного выполнения................................................... |
368 |
Глава 7. Моделирование с использованием |
|
имитационного подхода................................................................................... |
369 |
7.1. Особенности моделей, использующих имитационный подход............ |
370 |
7.2. Имитатор системы массового обслуживания...................................... |
377 |
7.3. Клеточные автоматы.......................................................................... |
382 |
7.4. Моделирование дислокаций в металле |
399 |
Вопросы для самопроверки............................................................................ |
414 |
Задания для самостоятельного выполнения................................................... |
414 |
Приложения....................................................................................................... |
|
Приложение 1. Язык формального описания алгоритмов......................... |
417 |
Приложение 2. Численные методы (минимальные сведения)................... |
421 |
Библиографический список......................................................................... |
431 |
Предметный указатель................................................................................. |
436 |