1.10.2. Метод двух законов Кирхгофа

Уравнения Кирхгофа используются для определения токов в ветвях разветвлённой цепи с несколькими источниками ЭДС.

Так как в каждой ветви схемы протекает свой ток, то число неизвестных токов равняется числу ветвей схемы.

Обозначим: в – число ветвей схемы,

у – число узлов.

Тогда по первому закону Кирхгофа можно составить у  1 уравнений, т. е. столько уравнений, сколько в схеме независимых узлов. Узел будет независимым, если к нему примыкает хотя бы одна новая ветвь, не подходящая к другим узлам.

Всего уравнений для любой схемы равно в, поэтому по второму закону Кирхгофа необходимо составить в  (у  1) уравнений.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо следить за тем, чтобы в каждый новый контур, для которого составляется уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не входящая в предыдущие контуры, для которых уже составлены уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры называются независимыми.

Перед тем, как составлять уравнения по законам Кирхгофа, необходимо:

1) произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме;

2) выбрать положительные направления обхода по независимым контурам для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

Трудность расчёта сложных линейных цепей по законам Кирхгофа заключается в необходимости решать совместно большое число линейных алгебраических уравнений, равных в. В связи с этим представляют ценность методы, позволяющие тем или иным путём упростить задачу. Эти методы дают возможность или уменьшить число уравнений, или расчленить сложную задачу на ряд белее простых, или, наконец, преобразовать схему цепи так, что расчёт упрощается. Ниже будут рассмотрены основные из этих методов.

Пример 1.6. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа для электрической цепи (рис. 1.25), если заданы сопротивления всех ветвей схемы и ЭДС.

В схеме в = 6 ветвей, следовательно, по законам Кирхгофа надо составить 6 уравнений.

По первому закону Кирхгофа составляем у  1 = 4  1= 3 уравнения:

узел 1:  I₁  I₂ + I₆ = 0;

узел 2: I₄ + I₅  I₆ = 0;

узел 3: I₁  I₃  I₄ =0.

По второму закону

Рис. 1.25 Кирхгофа число уравнений

в  ( у 1) = 6  3 = 3.

Задаёмся направлением обхода по трём независимым контурам и составляем для них уравнения:

контур 1 – 3 – 2 – 1: E₁= I₁R₁ + I₄R₄ + I₆R₆;

контур 1 – 2 – 4 – 1:  E₂ =  I₂R₂  I₅R₅  I₆R₆;

контур 2 – 3 – 4 – 2: 0 = I₃R₃  I₄R₄ + I₅R₅.

Совместное решение шести уравнений с шестью неизвестными токами позволяет определить величину и действительное направление всех токов. Если в результате расчёта некоторые токи получились со знаком минус, то действительные положительные направления этих токов противоположны заданным.

1.10.3. Метод контурных токов

М а к с в е л л указал, что расчёт любой сложной линейной цепи может быть сведён к решению системы из в  (у  1) уравнений, составляемым по второму закону Кирхгофа, если в рассмотрение ввести так называемые контурные токи, т. е. токи, замыкающиеся по независимым контурам. Уравнения составляются относительно контурных токов. После расчёта контурных токов определяются токи ветвей через контурные токи.

Таким образом, метод контурных токов можно характеризовать как метод расчёта, основанный на втором законе Кирхгофа, в котором за искомые величины принимаются контурные токи.

Вывод основных расчётных уравнений проведём применительно к схеме (рис. 1.26) с двумя независимыми контурами. В этой схеме число ветвей в = 3, число узлов у = 2, число уравнений по методу контурных токов

в  (у  1) = 3  1= 2.

К онтурные токи обозначаются в отличие от обозначения токов ветвей с двумя одинаковыми индексами I₁₁, I₂₂, номер индекса соответствует номеру контура. Направление обхода по контурам принимаем совпа-дающим с направлением

Рис. 1.26 контурных токов.

Для каждого из независимых

контуров составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтём, что по смежной ветви (ветвь с R₂) протекают два контурных тока I₁₁ и I₂₂.

Для первого контура:

I₁₁(R₁ + R₄) + I₁₁R₂  I₂₂R₂= E₁ + E₂, или

I₁₁(R₁ + R₂ + R₄) + ( R₂) I₂₂= E₁ + E₂. (1.37)

Для второго контура:

 I₁₁R₂ + I₂₂R₂ + I₂₂ (R₃ + R₅)=  E₂  E₃, или

 (R₂) I₁₁ + I₂₂ (R₂ + R₃ +R₅)=  E₂  E₃. (1.38)

Обозначим:

R₁₁ = R₁ + R₂ + R₄,

R₂₂ = R₂ + R₃ + R₅,

R₁₂ = R₂₁=  R₂,

E₁₁= E₁ + E₂, E₂₂ =  E₂  E₃,

тогда уравнения (1.37), (1.38) запишутся в следующем виде:

I₁₁R₁₁ + I₂₂R₁₂= Е₁₁,

(1.39)

I₁₁R₂₁ + I₂₂R₂₂= Е₂₂,

где R₁₁, R₂₂ – собственные сопротивления первого и второго контуров (всегда положительны);

R₁₂ = R₂₁ – сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами (взаимное сопротивление 1-го и 2-го контуров), оно может быть положительным, если направления контурных токов в нём совпадают и отрицательным, если контурные токи направлены навстречу;

E₁₁, E₂₂ – контурные ЭДС 1-го и 2-го контуров, равные алгебраической сумме ЭДС контура.

В результате решения системы уравнений (1.39) определяются значения и действительные направления контурных токов. Если при расчёте контурный ток получился со знаком минус, то его действительное направление будет противоположно указанному направлению на схеме (рис. 1.26).

Затем по контурным токам определяются величины и положительные направления токов всех ветвей схемы.

Так как по первой ветви с сопротивлениями R₁ и R₄ и ЭДС E₁ протекает один контурный ток I₁₁, то I₁ = I₁₁; направление I₁ совпадает с положительным направлением I₁₁.

Аналогично I₂ = I₂₂, направление I₂ совпадает с положительным направлением I₂₂.

Ток в смежной ветви I₂ равен алгебраической сумме контурных токов I₁₁ и I₂₂.

По аналогии с уравнениями (1.39) запишем уравнения контурных токов в общем виде для любой схемы сложной цепи с тремя независимыми контурами:

I₁₁R₁₁ + I₂₂R₁₂ + I₃₃R₁₃= Е₁₁,

I₁₁R₂₁ + I₂₂R₂₂+ I₃₃R₂₃= R₂₂, (1.40)

I₁₁R₃₁ + I₂₂R₃₂ + I₃₃R₃₃= Е₃₃.

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону.

Пример 1.7. Определить токи всех ветвей электрической цепи (рис. 1.27) методом контурных токов,

если известны следующие

Рис. 1.27 значения ЭДС и сопротив-

лений цепи: Е₁ = 46 В, Е₂ = 62 В, R₁= R₂ = 2 Ом, R₃ = 1,5 Ом, R₄ = 4 Ом, R₅ = 10 Ом, R₆ = 2 Ом. Проверить наличие баланса мощностей.

Р е ш е н и е . Схема рис. 1.27 имеет три независимых контура: в – (у – 1) = 6 – 3 = 3.

Направления всех контурных токов (I₁₁, I₂₂, I₃₃) приняты одинаковыми – по часовой стрелке (на схеме обозначены пунктирными стрелками).

Уравнения контурных токов в общем виде для схемы с тремя независимыми контурами имеют вид (1.40). Применительно к этим уравнениям определяем для схемы (рис. 1.27) собственные сопротивления контуров:

R₁₁= R₁ + R₄ + R₆ = 2 + 4 + 2 = 8 Ом,

R₂₂= R₂ + R₅ + R₆ = 2 + 10 + 2 = 14 Ом,

R₃₃= R₃ + R₄ + R₅ = 1,5 + 4 + 10 = 15,5 Ом.

Сопротивления смежных ветвей для каждой пары контуров (берутся со знаком минус, так как в смежных ветвях контурные токи направлены встречно):

R₁₂ = R₂₁=  R₆ =  2 Ом,

R₁₃ = R₃₁=  R₄ =  4 Ом,

R₂₃ = R₃₂=  R₅ =  10 Ом.

контурные ЭДС:

E₁₁ = E₁ = 46 В,

E₂₂ =  E₂ =  62 В,

(ЭДС E₂ имеет знак минус, так как направлена встречно контурному току I₂₂).

Значения сопротивлений и контурных ЭДС подставляем в исходную систему уравнений (1.40):

8I₁₁  2I₂₂  4I₃₃ = 46,

 2I₁₁ +14I₂₂  10I₃₃ =  62,

 4I₁₁  10I₂₂ +15,5I₃₃ = 0.

После сокращения каждого уравнения на 2 получим:

4I₁₁  I₂₂  2I₃₃ = 23,

 I₁₁ + 7I₂₂  5I₃₃ =  31,

 2I₁₁  5I₂₂ + 7,75I₃₃ = 0.

Решаем систему уравнений с помощью определителей:

I₁₁= ; I₂₂= ; I₃₃= .

П р и м е ч а н и е. Определитель любого порядка может быть вычислен как сумма произведений его элементов, взятых со знаком плюс, по основной диагонали и со знаком минус по обратной диагонали. Например, определитель третьего порядка

а₁₁ а₁₂ а₁₃

= а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ +

а₃₁ а₃₂ а₃₃

+а₁₃ а₂₁ а₃₂  а₁₃ а₂₂ а₃₁  а₁₂ а₂₁ а₃₃  а₁₁ а₂₃ а₃₂.

Главный определитель системы уравнений:

4  1  2

 =  1 7  5 = 61,5.

 2  5 7,75

Дополнительный определитель ₁ получаем из главного определителя системы заменой в нём коэффициентов при определяемом неизвестном токе I₁₁ свободными членами, находящимися в правой части уравнения:

23  1  2

₁ =  31 7  5 = 123.

0  5 7,75

Дополнительные определители ₂ и ₃ вычисляются аналогично ₁:

4 23  2

₂ =  1  31  5 =  430.

 2 0 7,75

4  1 23

₃ =  1 7  31 =  246.

 2  5 0

Определяем контурные токи:

I₁₁ = А,

I₂₂ = А, I₃₃ =  4 А.

Действительные направления контурных токов I₂₂ и I₃₃ противоположны заданным на схеме 1.27 (обозначены сплошными стрелками).

Через контурные токи определяем токи во всех ветвях схемы.

Так как по первой ветви с сопротивлением R₁ и ЭДС E₁ протекает только один контурный ток I₁₁, то I₁ = I₁₁ = 2 А и совпадает по направлению с I₁₁. Аналогично I₂ = I₂₂ = 7 А, I₃ = I₃₃ = 4 А. Направление токов I₂ и I₃ совпадают с положительными направлениями контурных токов.

По сопротивлению R₄ протекают два контурных тока, имеющих одинаковое направление, поэтому

I₄= I₁₁ + I₃₃ = 2 + 4 = 6 А.

По сопротивлению R₅ протекают контурные токи I₂₂ и I₃₃, имеющие встречные направления, поэтому

I₅ = I₂₂  I₃₃ = 7  4 = 3 А,

т. е. из большего вычитаем меньший контурный ток, а направление I₅ совпадает с направлением большего контурного тока.

I₆= I₁₁ + I₂₂ = 2 +7 = 9 А.

Проверка правильности расчёта токов по второму закону Кирхгофа:

контур 1 – 3 – 2 – 1: E₁= I₁R₁ + I₄R₄ + I₆R₆;

46 = 22 + 64 + 92 = 4 +24 +18 = 46;

контур 1 – 2 – 4 – 1: E₂= I₂R₂ + I₅R₅ + I₆R₆;

62 = 72 + 310 + 92 = 14 +30 +18 = 62;

контур 2 – 3 – 4 – 2: 0 = I₃R₃ + I₄R₄ – I₅R₅;

0 = 41,5 + 64 – 310 = 6 +24 – 30 = 0.

Расчёт баланса мощности.

Мощность источников ЭДС:

P_и= Е₁I₁ + E₂I₂ = 462 + 627 = 92 + 434 = 526 Вт.

Мощность электроприёмников:

P_п=

=

= 8 + 98 +24 +144 + 90 +162 = 526 Вт.

Таким образом, P_и= P_п .