1.10.4. Метод узловых потенциалов

Метод расчёта электрических цепей, в котором за неизвестные принимаются потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Этот метод основан на первом законе Кирхгофа и законе Ома. Число уравнений по методу узловых потенциалов равно числу уравнений, которые надо составить для схемы по первому закону Кирхгофа, т. е. у – 1, где у – число узлов схемы.

Вывод уравнений узловых потенциалов.

Число уравнений по первому закону Кирхгофа для схемы рис. 1.28 у – 1 = 3 – 1= 2. Потенциал узла 3 принимаем равным нулю.

узел 1: I₁ – I₂ + I₄ – I₅ = 0; (1.41)

узел 2: – I₁ – I₃ – I₄ =0. (1.42)

В ыразим токи во всех ветвях схемы по закону Ома через потенциалы узлов ₁, ₂, ₃ и проводимости ветвей:

I₁ = (₂ – ₁ + E₁) G₁;

I₂ = (₁ – ₃ + E₂) G₂;

I₃= (₂ – ₃ + E₃) G₃; (1.43)

I₄= (₂ – ₁) G₄;

I₅ = (₁ – ₃) G₅.

Подставим уравнения (1.43) в

уравнения (1.41) и (1.42):

Рис. 1.28 (₂ – ₁ + E₁) G₁ – (₁ – ₃ +

+ E₂) G₂ + (₂ – ₁) G₄ – (₁ –

 ₃) G₅ = 0;

– (₂ – ₁ + E₁) G₁ – (₂ – ₃ + E₃) G₃ – (₂ – ₁) G₄= 0.

В полученных уравнениях раскроем скобки и сгруппируем члены уравнений, подставив в них ₃ = 0 и изменив знак у всех членов уравнений на противоположный:

₁(G₁ + G₂ +G₄ +G₅) – ₂(G₁ +G₄) =+ E₁G₁ – E₂G₂;

(1.44)

– ₁(G₁ + G₄) + ₂(G₁+G₃+ G₄)= – E₁G₁ – E₃G₃.

Уравнения (1.44) запишем в следующем виде:

₁G₁₁ – ₂G₁₂ = ;

(1.45)

– ₁G₂₁ + ₂G₂₂ = .

В уравнениях (1.45) приняты следующие обозначения:

G₁₁, G₂₂ – узловые проводимости схемы, равные сумме проводимостей ветвей, примыкающих к данному узлу:

G₁₁= G₁ + G₂ + G₄ + G₅,

G₂₂= G₁ + G₃ + G₄;

G₁₂= G₂₁= G₁ +G₄ – межузловые проводимости схемы, равные сумме проводимостей ветвей, соединяющих 1 и 2 узлы.

Правые части уравнений (1.45) представляют собой узловые токи, которые равны алгебраической сумме произведений ЭДС источников на проводимости для тех ветвей, которые присоединены к рассматриваемому узлу:

,

.

Произведения ЭДС на проводимость берутся с положительным знаком в том случае, когда ЭДС направлена к рассматриваемому узлу, и с отрицательным знаком, когда ЭДС направлена от узла.

З апишем для схемы с у = 4 узлами уравнения узловых потенциалов в общем виде:

₁G₁₁  ₂G₁₂  ₃G₁₃ = ;

 ₁G₂₁ + ₂G₂₂  ₃G₂₃ = . (1.46)

 ₁G₃₁  ₂G₃₂ + ₃G₃₃ = .

В результате решения системы уравнений узловых потенциалов (1.45) или (1.46), определяют потенциалы узлов схемы, по которым затем вычисляют токи во всех ветвях по закону Ома (уравнения (1.43).

Метод узловых потенциалов является одним из основных расчётных приёмов. В тех случаях, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, т. е. у  1 в (у  1), данный метод предпочтительнее, чем метод контурных токов.

Пример 1.8. Определить токи во всех ветвях схемы рис. 1.29 методом узловых потенциалов.

Дано: E₁ = 46 В, E₂ = 62 В, R₁= R₂ =R₆ = 2 Ом, R₃ = 1,5 Ом, R₄ = 4 Ом, R₅ = 10 Ом.

Р е ш е н и е. Число уравнений по методу узловых потенциалов для схемы рис. 1.29 у  1= 4 1= 3.

Узел 4 заземлён, поэтому ₄ = 0. Потенциалы узлов ₁, ₂, ₃ являются искомыми.

Система уравнений узловых потенциалов в общем виде для схемы с у  1 = 3 записана под

Рис. 1.29 номером (1.46).

Применительно к этим

уравнениям определяем узловые проводимости:

G₁₁ = G₁ + G₂ + G₆ = См,

G₂₂ = G₄ + G₅ + G₆ = См,

G₃₃ = G₁ + G₃ + G₄ = См;

межузловые проводимости:

G₁₂ = G₂₁ = G₆ = Cм,

G₂₃ = G₃₂ = G₄ = Cм,

G₁₃ = G₃₁ = G₁ = Cм;

узловые токи:

А,

, А.

П олученные значения проводимостей и токов подставляем в уравнения (1.46):

(1.47)

.

Систему уравнений (1.47) запишем в следующем виде:

8,

, (1.48)

.

Решаем систему уравнений (1.48) с помощью определителей.

Определитель системы уравнений:

3  1  1

 =  10 17  5 = 2455.

 30  15 85

Дополнительные определители:

 108  1  1

₁ = 0 17  5 =  117600;

1380  15 85

3  108  1

₂ =  10 0  5 =  73400;

 30 1380 85

3  1  108

₃ =  10 17 0 =  14600.

 30  15 1380

Потенциалы узлов:

₁ = В;

₂ = В;

₃ = В.

Задавшись произвольно положительным направлением токов в ветвях (пунктирные стрелки на схеме рис. 1.29), определяем токи по закону Ома:

A;

A;

4 A;

A;

A;

A.

В тех случаях, когда ток имеет знак минус, его действительное направление противоположно выбранному (на схеме обозначен сплошной стрелкой).

Проверку расчёта сделаем по второму закону Кирхгофа для трёх независимых контуров (при этом учитываются действительные положительные направления токов):

E₁= I₁ R₁ + I₄R₄ + I₆R₆ = 2 2 + 6  4 + 9 2 = 4 +24+18 = 46;

E₂= I₂R₂ + I₅R₅ + I₆R₆ = 72 + 3 10 + 9 2 = 14 +30 +18 = 62;

0= I₃R₃ + I₄R₄  I₅R₅; 4 1,5 +6  4  3 10 = 6 +24  30 = 0.