1.12. Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)
Метод эквивалентного генератора применяется для расчёта тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. Он основан на применении теоремы об активном двухполюснике, которая формулируется следующим образом: если активную цепь (активный двухполюсник), к которой присоединена некоторая ветвь аb, заменить эквивалентным генератором с ЭДС Eэ, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви аb, и внутренним сопротивлением генератора Rв, равным входному сопротивлению Rвх активной цепи, то ток в этой ветви не изменится (доказательство этой теоремы здесь не приводится).
Пусть задана некоторая, сколь угодно сложная, схема, представленная на рис. 1.33,а активным двухполюсником и ветвь аb с неизвестным током I.
а) б)
Рис. 1.33
В соответствии с теоремой об активном двухполюснике, активную часть сложной цепи (активный двухполюсник) можно заменить эквивалентным генератором (рис. 1.33, б). Для определения ЭДС этого генератора EЭ необходимо разомкнуть ветвь аb (рис. 1.33, а) и рассчитать напряжение на зажимах этой ветви UХ (напряжение холостого хода), тогда EЭ = UХ.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Rв равно входному сопротивлению двухполюсника Rвх относительно зажимов аb. Для расчёта Rвх, двухполюсника надо исключить из схемы активного двухполюсника все ЭДС источников электрической энергии, оставив их внутренние сопротивления, и, например, методом эквивалентных преобразований определить Rвх = Rb.
Тогда для схемы (рис. 1.33, б) имеем:
I
=
.
(1.49)
Полученная формула (1.49) представляет собой математическое выражение теоремы об активном двухполюснике (эквивалентном генераторе).
Если сопротивление R ветви аb (рис. 1.33, б) замкнуть накоротко (R = 0), то для ветви аb будет иметь место режим короткого замыкания, а протекающий по ней ток – током к. з. Iкз. Из выражения (1.49) получим:
Iкз=
,
откуда
.
(1.50)
Из формулы (1.50) следует простой метод опытного определения входного сопротивления. Для этого необходимо измерить напряжение холостого хода на зажимах разомкнутой ветви аb UХ и ток Iкз при коротком замыкании этой ветви. Поэтому метод эквивалентного генератора иначе называют методом холостого хода и короткого замыкания.
Пример 1.10. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора для заданной цепи (рис. 1.34, а), если E1 = 72 В, E2 = 54 В, E3 = 18 В, R1 = 18 Ом, R2 = 9 Ом, R3 = 5 Ом.
а) б) в)
Рис. 1.34
Р е ш е н и е . Параллельные ветви с источниками ЭДС E1 и E2 заменим одной эквивалентной ветвью (рис. 1.34, б) с сопротивлением R12, и ЭДС E12 по формулам (1.35) и (1.36):
См;
Ом.
Предполагая, что E12 совпадает с E1 (пунктирная стрелка на рис. 1.34, б), получим:
В.
вх
а) б)
Рис. 1.35
Действительное направление ЭДС E12 указано на схеме
сплошной стрелкой. ЭДС Eэ и внутреннее сопротивление Rэ, эквивалентного генератора (рис. 1.34, в):
Eэ = E12 + E3 = 12 +18 = 30 В, Rэ= Rвх = R12 + R3 = 6 + 5 = 11 Ом.
Пример 1.11. Определить методом эквивалентного генератора ток I1 в ветви ас (рис. 1.35, а), если E1 = 46 В, E2 = 62 В,
R1 = R2 = R6 = 2 Ом, R3 = 1,5 Ом, R4 = 4 Ом, R5 =10 Ом.
Р е ш е н и е. 1. Определение напряжения холостого хода Uх на зажимах mc разомкнутой ветви ас.
Для определения напряжения Uх необходимо предварительно рассчитать токи х. х. в цепи (рис. 1.35, б), например, методом контурных токов. Так как ветвь ас разомкнута (ток в ней равен нулю), то она не влияет на токораспределение в остальной части цепи. В результате в схеме (рис. 1.35, б) имеем два независимых контура с контурными токами I11 и I22 . Составляем систему уравнений контурных токов в общем виде:
R11I11 + R12I22 = E11,
R21I11 + R22I22 = E22.
Определяем собственные и взаимные сопротивления контуров и контурные ЭДС:
R11 = R2 + R5+ R6 = 2+10+2 = 14 Ом;
R22 = R3 + R4+ R5=1,5+4+10 = 15,5 Ом;
R12 = R21= – R5 = – 10 Ом;
E11 = E2 = 62 В; E22 = 0.
Подставляем числовые значения сопротивлений и ЭДС в уравнения:
14 I11 – 10 I22 = 62,
– 10 I11 +15,5 I22 = 0.
В результате решения уравнений получаем значения контурных токов:
I11 = 8,2 А; I22 = 5,3 А.
По контурным токам определяем токи холостого хода в цепи (рис. 1.35, б):
I4х = I22 =5,3 А; I6х = I11 = 8,2 А.
Для определения напряжения холостого хода задаёмся направлением этого напряжения (на схеме указано пунктирной стрелкой) и составляем по второму закону Кирхгофа уравнение для контура аbса (направление обхода по контуру обозначено стрелкой):
E1= I4х R4 + I6хR6 – Uх , откуда
Uх =I4х R4 + I6х R6 – E1= 5,3 4 +8,2 2 – 46 = – 8,4 В.
Следовательно, действительное направление Uх противоположно предполагаемому (указано на схеме сплошной стрелкой).