2.3.Шестеренки нейронных сетей: операции с тензорами 73
2.3.3.Скалярное произведение тензоров
Скалярное.произведение,.также.иногда.называемое.тензорным произведением. (не.путайте.с.поэлементным.произведением,.оператором.*),.—.наиболее.общая. и.наиболее.полезная.операция.с.тензорами.
Поэлементное.произведение.в.NumPy.выполняется.с.помощью.функции.np.dot . (потому.что.в.математике.тензорное.произведение.обозначают.точкой.(•)):
x = np.random.random((32,)) y = np.random.random((32,)) z = np.dot(x, y)
В.математике.скалярное.произведение.обозначается.точкой.(•):
z = x • y
Что.же.делает.операция.скалярного.произведения?.Для.начала.разберемся.со. скалярным.произведением.двух.векторов,.x .и.y:
def naive_vector_dot(x, y): assert len(x.shape) == 1 assert len(y.shape) == 1
assert x.shape[0] == y.shape[0] z = 0.
for i in range(x.shape[0]): z += x[i] * y[i]
return z
Убедиться, что x и y — векторы NumPy
Обратите.внимание,.что.в.результате.скалярного.произведения.двух.векторов. получается.скаляр.и.в.операции.могут.участвовать.только.векторы.с.одинаковым. количеством.элементов.
Также.есть.возможность.получить.скалярное.произведение.матрицы.x .на.век- тор.y,.являющееся.вектором,.элементы.которого.—.скалярные.произведения. строк.x .на.y..Вот.как.реализуется.эта.операция:
import numpy as np
def naive_matrix_vector_dot(x, y): assert len(x.shape) == 2 assert len(y.shape) == 1.
assert x.shape[1] == y.shape[0] 
z = np.zeros(x.shape[0]) 
for i in range(x.shape[0]):
for j in range(x.shape[1]): z[i] += x[i, j] * y[j]
return z
Убедиться, что x — матрица NumPy
Убедиться, что y — вектор NumPy
Первое измерение x должно совпадать с нулевым измерением y!
Эта операция вернет вектор с нулевыми элементами, имеющий ту же форму, что и y
74 Глава 2. Математические основы нейронных сетей
Также.можно.было.бы.повторно.использовать.код,.написанный.прежде,.подчеркнув.общность.произведений.матрицы.на.вектор.и.вектора.на.вектор:
def naive_matrix_vector_dot(x, y): z = np.zeros(x.shape[0])
for i in range(x.shape[0]):
z[i] = naive_vector_dot(x[i, :], y) return z
Обратите.внимание,.что.если.один.из.двух.тензоров.имеет.ndim .больше.1,.скалярное.произведение.перестает.быть.симметричной.операцией,.то.есть.результат. dot(x, .y) .не.совпадает.с.результатом.dot(y, .x).
Разумеется,.скалярное.произведение.можно.распространить.на.тензоры.с.произвольным.количеством.осей..Наиболее.часто.на.практике.применяется.скалярное. произведение.двух.матриц..Получить.скалярное.произведение.двух.матриц. x .и.y .(dot(x, .y)).можно,.только.если.x.shape[1] .== .y.shape[0]..В.результате. получится.матрица.с.формой.(x.shape[0], .y.shape[1]),.элементами.которой. являются.скалярные.произведения.строк.x .на.столбцы.y..Вот.как.могла.бы.выглядеть.простейшая.реализация:
def naive_matrix_dot(x, y): assert len(x.shape) == 2 assert len(y.shape) == 2
assert x.shape[1] == y.shape[0] 
z = np.zeros((x.shape[0], y.shape[1]))
for i in range(x.shape[0]): 
for j in range(y.shape[1]): 
row_x = x[i, :] column_y = y[:, j]
z[i, j] = naive_vector_dot(row_x, column_y)
return z
Эта операция вернет матрицу заданной формы с нулевыми элементами
Чтобы.было.понятнее,.как.определяется.совместимость.форм.матриц.для.скалярного.произведения,.представьте.входные.и.выходной.тензоры,.как.показано. на.рис..2.5.
x,.y .и.z .изображены.на.рис..2.5.в.виде.прямоугольников.(буквально.—.таблиц. элементов)..Число.строк.в.x .и.столбцов.в.y .должно.совпадать,.соответственно,.ширина .x .должна .равняться .высоте .y..Если .вы .будете .создавать .новые. алгоритмы .машинного .обучения, .вам .часто .придется .рисовать .подобные. диаграммы.
2.3. Шестеренки нейронных сетей: операции с тензорами 75
Рис. 2.5. Диаграмма скалярного произведения матриц
В.общем.случае.скалярное.произведение.тензоров.с.большим.числом.измерений. выполняется.в.соответствии.с.теми.же.правилами.совместимости.форм,.как. описывалось.выше.для.случая.двумерных.матриц:
(a, b, c, d) • (d,) -> (a, b, c)
(a, b, c, d) • (d, e) -> (a, b, c, e)
и.т..д.
2.3.4. Изменение формы тензора
Третий.вид.операций.с.тензорами,.который.мы.должны.рассмотреть,.—.это.из- менение формы тензора..Данная.операция.не.применяется.в.слоях.Dense .нашей. нейронной.сети,.но.мы.использовали.ее,.когда.готовили.исходные.данные.для. передачи.в.модель:
train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28))
Изменение.формы.тензора.предполагает.такое.переупорядочение.строк.и.столбцов,.чтобы.привести.его.форму.к.заданной..Разумеется,.тензор.новой.формы. имеет.такое.же.количество.элементов,.что.и.исходный..Чтобы.было.понятнее,. рассмотрим.несколько.простых.примеров:
>>> x = np.array([[0., 1.], [2., 3.], [4., 5.]])
76 Глава 2. Математические основы нейронных сетей
>>>x.shape (3, 2)
>>>x = x.reshape((6, 1))
>>>x
array([[ |
0.], |
[ |
1.], |
[ |
2.], |
[ |
3.], |
[ |
4.], |
[ |
5.]]) |
>>>x = x.reshape((2, 3))
>>>x
array([[ 0., 1., 2.], [ 3., 4., 5.]])
Особый.случай.изменения.формы,.который.часто.встречается.в.практике,.—.это. транспонирование..Транспонирование .—.это.такое.преобразование.матрицы,. когда.строки.становятся.столбцами,.а.столбцы.—.строками;.то.есть.x[i, .:] .пре- вращается.в.x[:, .i]:
>>>x = np.zeros((300, 20))
>>>x = np.transpose(x)
>>>print(x.shape)
(20, 300)
Создаст матрицу с формой (300, 20), заполненную нулями
2.3.5. Геометрическая интерпретация операций с тензорами
Поскольку.содержимое.тензоров.можно.интерпретировать.как.координаты.точек. в.некотором.геометрическом.пространстве,.все.операции.с.тензорами.имеют. геометрическую.интерпретацию..Возьмем.для.примера.операцию.сложения.. Пусть.имеется.следующий.вектор:
A = [0.5, 1]
Он.определяет.направление.в.двумерном.пространстве.(рис..2.6)..Векторы.принято.изображать.в.виде.стрелок,.соединяющих.начало.координат.с.заданной. точкой,.как.показано.на.рис..2.7.
Добавим.новый.вектор.B.=.[1,.0.25].и.сложим.его.с.предыдущим..Чтобы.получить. результирующий.вектор,.представляющий.сумму.двух.исходных.векторов,.достаточно.перенести.начало.одного.вектора.в.конец.другого.(рис..2.8)..Как.видите,. операция.прибавления.вектора.B.к.вектору.A.заключается.в.переносе.точки.A. в.новое.место,.при.этом.расстояние.и.направление.переноса.от.исходной.точки.A.определяется.вектором.B..Если.применить.ту.же.операцию.к.группе.точек. на.плоскости.(«объекту»),.можно.создать.копию.целого.объекта.в.новом.месте. (рис..2.9)..То.есть.тензорное.сложение.представляет.операцию.параллельного. переноса объекта .(без.его.искажения).на.определенное.расстояние.в.определенном.направлении.
2.3. Шестеренки нейронных сетей: операции с тензорами 77
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.6. Точка в двумерном |
|
|
Рис. 2.7. Вектор в двумерном |
|||||||||||||
пространстве |
|
|
пространстве, изображенный |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в виде стрелки |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.8. Геометрическая интерпретация суммы двух векторов |
Рис. 2.9. Сложение векторов как параллельный перенос в двумерном пространстве
78 Глава 2. Математические основы нейронных сетей
Элементарные.геометрические.операции,.такие.как.параллельный.перенос,. поворот,.масштабирование,.наклон.и.т..д.,.можно.выразить.в.виде.операций. с.тензорами..Вот.несколько.примеров:
.параллельный перенос:.как.показано.выше,.добавление.вектора.к.точке.переместит.ее.на.фиксированное.расстояние.в.фиксированном.направлении;.при. применении.к.набору.точек.(например,.к.двумерному.объекту).эта.операция. называется.параллельным.переносом.(рис..2.9);
.поворот:.поворот.двумерного.вектора.на.угол.theta.против.часовой.стрелки. (рис..2.10).выражается.как.скалярное.произведение.с.матрицей.R .= .[u, .v] . размером.2.×.2,.R .= .[[cos(theta), .-sin(theta)], .[sin(theta), .cos(theta)]];
Рис. 2.10. Поворот двумерного вектора (против часовой стрелки) как скалярное произведение
.масштабирование:.масштабирование.изображения.по.вертикали.и.горизонтали.(рис..2.11).можно.осуществить.с.помощью.скалярного.произведения. с.матрицей.2.×.2.S .= .[[масштаб_по_горизонтали,.0], .[0, .масштаб_по_верти-
кали]].(обратите.внимание,.что.такие.матрицы.называются.диагональными,. поскольку.имеют.ненулевые.коэффициенты.только.на.главной.диагонали,. идущей.от.верхнего.левого.угла.к.нижнему.правому);
.линейное преобразование:.скалярное.произведение.с.произвольной.матрицей. реализует.линейное.преобразование..Обратите.внимание,.что.масштабирование.и.поворот,.перечисленные.выше,.по.определению.являются.линейными. преобразованиями;
.аффинное преобразование:.аффинное.преобразование.(рис..2.12).—.это.ком- бинация.линейного.преобразования.(путем.скалярного.произведения.с.некоторой.матрицей).и.параллельного.переноса.(путем.сложения.векторов)..
Как.вы,.наверное,.уже.заметили,.именно.это.преобразование,.y .= .W .•.x .+ .b,. реализует.слой.Dense!.Полносвязанный.слой.Dense .без.функции.активации. является.аффинным.слоем;
2.3. Шестеренки нейронных сетей: операции с тензорами 79
Рис. 2.11. Двумерное масштабирование как скалярное произведение
Рис. 2.12. Аффинное преобразование на плоскости
.полносвязанный слой (Dense) с активацией.relu:.аффинные.преобразования. обладают.одним.важным.свойством.—.при.многократном.их.применении. в.результате.все.равно.получается.аффинное.преобразование.(то.есть.можно. сразу.взять.одно.это.суммирующее.преобразование)..Рассмотрим.пример. с.двумя.аффинными.преобразованиями:.affine2(affine1(x)) .= .W2 .•.(W1 .•.x + . + .b1) .+ .b2 .= .(W2 .•.W1) .•.x .+ .(W2 .•.b1 .+ .b2)..Это.аффинное.преобразование,.в.котором.линейная.часть.представлена.матрицей.W2 .•.W1,.а.часть,.отвечающая.за. параллельный.перенос,.—.это.вектор.W2.•.b1.+.b2..Как.следствие,.многослойная. нейронная.сеть,.полностью.состоящая.из.слоев.Dense .без.активаций,.будет. эквивалентна.одному.слою.Dense..Значит,.данная.«глубокая».нейронная.сеть. является.всего.лишь.замаскированной.линейной.моделью!.Вот.почему.нужны.функции.активации,.такие.как.relu .(ее.действие.показано.на.рис..2.13).. Благодаря.им.можно.создать.цепочку.слоев.Dense .для.реализации.очень. сложных.нелинейных.геометрических.преобразований.и.получить.богатое. пространство.гипотез.для.глубоких.нейронных.сетей..Эту.идею.мы.подробно. рассмотрим.в.следующей.главе.