2.4. Механизм нейронных сетей: оптимизация на основе градиента    81

Разглаживание.комка.бумаги.—.вот.в.чем.суть.машинного.обучения:.в.поиске. ясных.представлений.для.сложных,.перемешанных.данных..Сейчас.у.вас.должно. сложиться.достаточно.полное.понимание,.почему.глубокое.обучение.преуспевает. в.этом:.оно.использует.последовательное.разложение.сложных.геометрических. преобразований.в.длинную.цепь.простых.—.почти.так.же,.как.поступает.человек,. разворачивая.смятый.лист..Каждый.слой.в.глубоком.обучении.применяет.преобразование,.которое.немного.распутывает.данные,.а.использование.множества. слоев.позволяет.работать.с.очень.сложными.данными.

2.4. МЕХАНИЗМ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ: ОПТИМИЗАЦИЯ НА ОСНОВЕ ГРАДИЕНТА

Как.было.показано.в.предыдущем.разделе,.каждый.слой.нейронной.сети.из.нашего.первого.примера.преобразует.данные.следующим.образом:

output = relu(dot(input, W) + b)

В.этом.выражении.W .и.b .—.тензоры,.являющиеся.атрибутами.слоя..Они.на- зываются.весами.или.обучаемыми параметрами.слоя.(атрибуты.kernel .и.bias . соответственно)..Эти.веса.содержат.информацию,.извлеченную.сетью.из.обучающих.данных.

Первоначально.весовые.матрицы.заполняются.небольшими.случайными.значениями.(данный.шаг.называется.случайной инициализацией)..Конечно,.бессмыс- ленно.было.бы.ожидать,.что.relu(dot(input,.W).+.b).вернет.хоть.сколько-нибудь. полезное.представление.для.случайных.W.и.b..Начальные.представления.не.несут. никакого.смысла,.но.они.служат.отправной.точкой..Далее.на.основе.сигнала. обратной.связи.происходит.постепенная.корректировка.весов,.которая.также. называется.обучением..Она.и.составляет.суть.машинного.обучения.

Ниже.перечислены.шаги,.выполняемые.в.так.называемом.цикле обучения,.который.повторяется.необходимое.количество.раз.

1.. Извлекается.пакет.обучающих.экземпляров.x .и.соответствующих.целей. y_true.

2.. Модель.обрабатывает.пакет.x .(этот.шаг.называется.прямым проходом).и.получает.пакет.предсказаний.y_pred.

3.. Вычисляются.потери.модели.на.пакете,.дающие.оценку.несовпадения.между. y_pred .и.y_true.

4.. Веса.модели.корректируются.так,.чтобы.немного.уменьшить.потери.на.этом. пакете.

82    Глава 2. Математические основы нейронных сетей

В.конечном.итоге.получается.модель,.имеющая.очень.низкие.потери.на.обуча­ ющем.наборе.данных:.несовпадение.предсказаний.y_pred.с.ожидаемыми.целями. y_true .малое..Модель.«научилась».отображать.входные.данные.в.правильные. конечные.значения..Со.стороны.все.это.может.походить.на.волшебство,.однако,. если.разобрать.процесс.на.мелкие.шаги,.он.выглядит.очень.просто.

Шаг.1.несложный.—.это.просто.операция.ввода/вывода..Шаги.2.и.3.—.всего. лишь.применение.нескольких.операций.с.тензорами,.и.вы.сможете.реализовать. их,.опираясь.на.полученные.в.предыдущем.разделе.знания..Наиболее.запутанным.выглядит.шаг.4:.корректировка.весов.сети..Как.по.отдельным.весам.в.сети. узнать,.должен.ли.некоторый.коэффициент.увеличиваться.или.уменьшаться. и.насколько?

Одно.из.простейших.решений.—.заморозить.все.веса,.кроме.одного,.и.попробо- вать.применить.разные.его.значения..Допустим,.первоначально.вес.имел.значение.0,3..После.прямого.прохода.потери.сети.составили.0,5..Теперь.представьте,. что.после.увеличения.значения.веса.до.0,35.и.повторения.прямого.прохода.вы. получили.увеличение.оценки.потерь.до.0,6,.а.после.уменьшения.веса.до.0,25.—. падение.оценки.потерь.до.0,4..В.данном.случае.похоже,.что.корректировка. коэффициента.на.величину.–0,05.вносит.свой.вклад.в.уменьшение.потерь..

Эту.операцию.можно.было.бы.повторить.для.всех.весов.в.сети.

Однако.подобный.подход.крайне.неэффективен,.поскольку.требует.выполнять. два.прямых.прохода.(что.довольно.затратно).для.каждого.отдельного.веса. (которых.очень.много,.обычно.тысячи,.а.иногда.и.до.нескольких.миллионов).. К.счастью,.есть.более.оптимальное.решение:.градиентный спуск.

Градиентный.спуск.—.метод.оптимизации,.широко.применимый.в.современных. нейронных.сетях..Суть.его.заключается.в.следующем:.все.функции,.используемые.

в.наших.моделях.(например,.dot.или.+),.плавно.и.непрерывно.преобразуют.свои. входные.данные..Например,.небольшое.изменение.y.в.операции.z.=.x.+.y.приведет. к.небольшому.изменению.z.—.и,.зная.направление.изменения.y,.можно.определить. направление.изменения.z..Говоря.математическим.языком,.данные.функции.дифференцируемы..Если.объединить.их.в.цепочку,.получившаяся.общая.функция.все. равно.будет.дифференцируемой..Это.утверждение,.в.частности,.верно.для.функции,. сопоставляющей.веса.модели.с.потерями.в.пакете.данных..Небольшое.изменение. весов.приводит.к.небольшому.и.предсказуемому.изменению.значения.потерь,.что. позволяет.использовать.математический.оператор,.называемый.градиентом,.для. описания.изменения.потерь.при.изменении.весов.модели.в.разных.направлениях..

Вычисленный.градиент.можно.использовать.для.модификации.весов.(всех.сразу.

в.одном.цикле,.а.не.по.одному).в.направлении,.уменьшающем.потери.

Если.вы.уже.знаете,.что.означает.дифференцируемость.и.что.такое.градиент,. можете.сразу.перейти.к.подразделу.2.4.3..Если.нет.—.следующие.два.раздела. помогут.разобраться.в.данных.понятиях.

2.4. Механизм нейронных сетей: оптимизация на основе градиента    83

2.4.1. Что такое производная

Рассмотрим.непрерывную.гладкую.функцию.f(x) .= .y,.отображающую.число.x . в.новое.число.y..Возьмем.для.примера.функцию,.изображенную.на.рис..2.15.

Поскольку.функция.непрерывна,.небольшое.изменение.x .может.дать.в.резуль- тате.только.небольшое.изменение.y .—.это.вытекает.из.понятия.непрерывности.. Допустим,.вы.увеличили.x .на.маленькую.величину.epsilon_x:.в.результате.y . изменилось.на.маленькую.величину.epsilon_y,.как.показано.на.рис..2.16.

Рис. 2.15. Непрерывная	Рис. 2.16. Для непрерывной функции
гладкая функция	небольшое изменение x даст
	в результате небольшое изменение y

Кроме.того,.поскольку.функция.является.гладкой.(ее.кривая.не.имеет.острых. углов),.то.при.малых.величинах.epsilon_x.в.окрестностях.определенной.точки.p . функцию.f .можно.аппроксимировать.линейной.функцией.c.наклоном.a..Соответственно,.epsilon_y .можно.вычислить.как.a .* .epsilon_x:

f(x + epsilon_x) = y + a * epsilon_x

Очевидно,.что.такая.линейная.аппроксимация.действительна,.только.когда.x . располагается.достаточно.близко.к.точке.p.

Наклон.a.называется.производной.f.в.точке.p..Если.

a .имеет.отрицательное.значение,.небольшое.изменение.x.в.окрестностях.p.приведет.к.уменьшению.f(x) .(как.показано.на.рис..2.17);.а.если.по- ложительное.—.небольшое.изменение.x.приведет.

к.увеличению.f(x)..Кроме.того,.абсолютное.значе-

ние.a.(величина.производной).сообщает,.насколько. большим.будет.это.увеличение.или.уменьшение.

Для.любой.дифференцируемой.функции.f(x) . Рис. 2.17. Производная f (под.дифференцируемой.подразумевается.«име- в точке p

ющей.производную»:.например,.гладкие.непрерывные.функции.могут.иметь. производную).существует.такая.производная.функция.f'(x),.которая.отображает.

84    Глава 2. Математические основы нейронных сетей

значения.x .в.наклон.локальной.линейной.аппроксимации.f .в.этих.точках..На- пример,.производной.от.cos(x) .является.-sin(x),.производной.от.f(x) .= .a .* .x . будет.f'(x) .= .a .и.т..д.

Возможность.получения.производной.функции.—.очень.мощный.инструмент,. особенно.для.оптимизации.задачи.поиска.значений.x,.минимизирующих.значение.f(x)..Если.вы.пытаетесь.изменить.x .на.величину.epsilon_x,.чтобы.минимизировать.f(x),.и.знаете.производную.от.f,.можете.считать,.что.эту.задачу.вы. уже.решили:.производная.полностью.описывает.поведение.f(x).с.изменением.x.. Чтобы.уменьшить.значение.f(x),.достаточно.сместить.x.в.направлении,.противоположном.производной.

2.4.2. Производная операций с тензорами: градиент

Функция,.которую.мы.рассматривали.выше,.превращает.скалярное.значение.x . в.другое.скалярное.значение.y:.ее.можно.изобразить.в.виде.кривой.на.двумерной. плоскости..Теперь.представьте.функцию,.которая.превращает.кортеж.скаляров. (x, .y) .в.скалярное.значение.z:.это.уже.будет.векторная.операция..Ее.можно. изобразить.как.двумерную.поверхность.в.трехмерном.пространстве.(с.осями. координат.x,.y,.z)..Точно.так.же.можно.представить.функции,.принимающие. на.входе.матрицы,.трехмерные.тензоры.и.т..д.

Понятие.производной.применимо.к.любой.такой.функции,.если.поверхности,. которые.они.описывают,.являются.непрерывными.и.гладкими..Производная. тензорной.операции.(или.тензорной.функции).называется.градиентом..Гради- енты.—.это.просто.обобщение.понятия.производной.на.функции,.принимающие. многомерные.входные.данные.—.тензоры..Надеюсь,.вы.помните,.что.производная. скалярной.функции.выражает.локальный.наклон.кривой.функции?.Таким.же. образом.градиент.тензорной.функции.выражает.кривизну.многомерной.поверхности,.описываемой.функцией..Он.характеризует.изменение.результата. функции.при.изменении.входных.параметров.

Рассмотрим.пример,.базирующийся.на.машинном.обучении..Дано:

. входной.вектор.x .(образец.в.наборе.данных);

. матрица.W .(веса.модели);

. цель.y_true .(которую.модель.должна.научиться.ассоциировать.с.x);

.функция.потерь.loss .(измеряет.разницу.между.текущим.прогнозом.модели. и.y_true).

С.помощью.W .вычисляем.приближение.к.цели.y_pred .и.определяем.потери.или. несоответствие.между.кандидатом.y_pred .и.целью.y_true:

2.4. Механизм нейронных сетей: оптимизация на основе градиента    85

		С использованием весов W модели
y_pred = dot(W, x)		вычислить прогноз для x
loss_value = loss(y_pred, y_true)				Оценить, насколько далеко
				предсказание отклонилось от истины

Теперь,.используя.градиенты,.можно.выяснить,.как.обновить.W,.чтобы.уменьшить.значение.loss_value..Если.входные.данные.x .и.y_true .зафиксированы,.то. предыдущие.операции.можно.интерпретировать.как.функцию,.отображающую. значения.W .в.значения.потерь:

loss_value = f(W)

f описывает кривую (или многомерную поверхность), образованную значениями потерь при изменении W

Допустим,.что.W0 .—.текущее.значение.W..Тогда.производной.функции.f .в.точ- ке.W0 .будет.тензор.grad(loss_value, .W0) .с.той.же.формой,.что.и.W,.в.котором. каждый.элемент.grad(loss_value, .W0)[i, .j] .определяет.направление.и.величину.изменения.в.loss_value,.наблюдаемого.при.изменении.W0[i, .j]..Тензор. grad(loss_value, .W0) .—.это.градиент.функции.f(W) .= .loss_value .в.точке.W0,.его. также.называют.градиентом.loss_value .для.W.в.окрестностях.W0.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Тензорную операцию grad(f(W), W) (которая принимает на входе матрицу W) можно выразить как комбинацию скалярных функций grad_ij(f(W), w_ij), каждая из которых возвращает производную loss_value = f(W) относительно веса W[i, j] в W, в предположении, что все остальные веса постоянны. grad_ij называется частной производной функции f относительно W[i, j].

Но.что.конкретно.представляет.собой.grad(loss_value, .W0)?.Выше.вы.видели,. что.производную.функции.f(x).единственного.аргумента.можно.интерпретировать.как.наклон.кривой.f..Аналогично.grad(loss_value,.W0).можно.представить. как.тензор,.описывающий.направление наискорейшего подъема.loss_value.=.f(W) . в.окрестностях.W0 .и.наклон.этого.подъема..Каждая.частная.производная.показывает.наклон.f .в.конкретном.направлении.

Соответственно,.как.и.в.случае.с.функцией.f(x),.значение.которой.можно. уменьшить,.немного.сместив.x .в.направлении,.противоположном.производной,. значение.loss_value.=.f(W).функции.f(W).тензора.также.можно.уменьшить,.сме- стив.W .в.направлении,.противоположном.градиенту:.например,.W1 .= .W0 .- .step .* . grad(f(W0), .W0) .(где.step .—.небольшой.по.величине.множитель)..Это.означает,. что.для.снижения.нужно.идти.против.направления.наискорейшего.подъема..Обратите.внимание:.множитель.step .необходим,.потому.что.grad(loss_value, .W0) . лишь.аппроксимирует.кривизну.в.окрестностях.W0,.поэтому.очень.нежелательно. уходить.слишком.далеко.от.W0.