- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •1. Элементы высшей алгебры
- •1.1. Матрицы
- •1.2. Определители
- •1.3. Системы трех уравнений первой
- •Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы Рассмотрим снова систему уравнений
- •1.5. Метод гаусса
- •Векторная алгебра
- •2.1. Скалярные и векторные величины
- •Проекция
- •2.3. Линейные операции над векторами
- •3. Основные свойства линейных операций.
- •4. Теоремы о проекциях векторов.
- •Скалярное произведение векторов
- •1. Определение и основные свойства скалярного произведения.
- •2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение
- •2 . Основные свойства векторного произведения.
- •4. (Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
- •5. (Свойство распределительности относительно суммы векторов).
- •3. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение трех векторов
- •В силу тождества (1) смешанное произведение можно обозначить более простым символом .
- •2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •Расстояние между двумя точками.
- •Площадь треугольника.
- •3.2. Полярные координаты
- •3.3. Линии первого порядка
- •6. Общее уравнение прямой.
- •Умножая данное уравнение на μ, получаем нормальное уравнение
- •3.4. Линии второго порядка
- •1. Эллипс.
- •3. Парабола.
- •3.5. Общее уравнение линии второго порядка
- •1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Уравнение плоскости
- •Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
- •4.2. Уравнение прямой
- •4.3. Поверхности второго порядка
- •5. Предел последовательности
- •5.1. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •5.2. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы , где есть бесконечно малая.
- •5.3. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •6.1. Классификация функций
- •6.2. Предел функции
- •6.3. Теоремы о пределах функции
- •6.4. Два замечательных предела
- •2. Второй замечательный предел
- •6.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •6.6. Сравнение бесконечно малых
- •6.7. Неопределенные выражения
- •6.8. Непрерывные функции
- •6.9. Классификация точек разрыва
- •Определение и классификация точек разрыва функции.
- •6.10. Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцирование
- •7.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •7.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •7.3. Дифференциал функции
- •Правила дифференцирования.
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •7.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Параметрическое задание функции
- •Применение дифференциального
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.2. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя.
- •8.3. Формула тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •8.4. Исследование поведения функций
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Ответы к п.П. 2.1 2.4
- •Задачи к п. 2.5
- •Ответы к п. 2.5
- •Задачи к п. 2.6
- •Ответы к п. 2.6.
- •Задачи к п.П. 3.1 – 3.3
- •Ответы к п.П. 3.1 – 3.3
- •Задачи к п.П. 3.4 – 3.5
- •Ответы к п.П. 3.4 – 3.5
- •Задачи к п.П. 4.1 4.2
- •Задачи к п. 4.3
- •Ответы к п. 4.3
- •Задачи к п.П. 5.1 6.4
- •Ответы к п.П. 5.1 6.4
- •Задачи к п.П. 6.5 6.9
- •Ответы к п.П. 6.5 6.9
- •Задачи к п.П. 7.1 – 7.6
- •Ответы к п.П. 7.1 – 7.6
- •Задачи к п.П. 8.1 – 8.3
- •Ответы к п.П. 8.1 – 8.3
- •Задачи к п. 8.4
- •Ответы к п. 8.4
- •Вопросы к экзамену
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •7. Дифференцирование ……..…………………………..125
- •8. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций………...……………………….…..150
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.5. Общее уравнение линии второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам с помощью перехода к другим прямоугольным системам координат. При этом, естественно, изменяются как координаты точек, так и уравнения кривых. Возникает задача: как, зная координаты точки в одной системе координат, найти координаты этой же точки в другой системе координат. Решить эту задачу позволяют формулы преобразования координат.
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:
1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направление осей остается прежним;
2) поворот осей координат, когда обе оси поворачиваются в одну сторону на один и тот же угол, а начало координат не изменяется.
При параллельном сдвиге осей в точку искомые формулы имеют вид:
или
а при повороте осей координат на угол :
или
Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:
Ax2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0, (1)
где коэффициенты А, 2В, С, 2D, 2Е и F любые числа и, кроме того, числа А, В и С не равны нулю одновременно, т. е. А2+В2 +С2 > 0.
1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.
Лемма. Пусть в прямоугольной системе координат Оху задано уравнение (1) и пусть АС В2 0. Тогда с помощью параллельного сдвига и последующего поворота oceй координат уравнение (1) приводится к виду
(2)
где А', С', F' некоторые числа; (х"; у") координаты точки в новой системе координат.
2. Инвариантность выражения АС – В2. Классификация линий второго порядка. Коэффициенты А, В и С при старших членах уравнения (1) при параллельном переносе осей координат не меняются, но они меняются при повороте осей координат. Однако выражение AC – В2 остается неизменным как при переносе, так и при повороте осей т.е. не зависит от преобразования координат.
Величина АС – В2 называется инвариантом общего уравнения линии второго порядка. Она имеет важное значение в исследовании линий второго порядка. В зависимости от знака величины AC В2 линии второго порядка разделяются на следующие три типа:
1) эллиптический, если AC – B2 > 0;
2) гиперболический, если АС – В2 < 0;
3) параболический, если АС B2 = 0.
Рассмотрим линии различных типов.
1) Э л л и п т и ч е с к и й т и п. Поскольку АС – В2 > 0, то coгласно лемме, общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к виду (для удобства записи опускаем штрихи у коэффициентов и координат)
Ax2+ Cy2+ F = 0.
Возможны следующие случаи:
а) А > 0, С > 0 (случай А < 0, С < 0 сводится к случаю А > 0, С > 0 умножением уравнения на – 1) и F < 0. Перенесем F в правую часть уравнения и разделим на него. Уравнение принимает вид
где a2 = F/A, b2 = F/C. Сравнивая полученное уравнение с уравнением эллипса, заключаем, что оно является каноническим уравнением эллипса.
б) А > 0, С > 0 и F > 0. Тогда, аналогично предыдущему, уравнение можно привести к виду
Этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением мнимого эллипса.
в) А > 0, С > 0, F = 0. Уравнение имеет вид ( a2 = A, с2 = С):
а2 х2 + с2 у2 = 0.
Ему удовлетворяют координаты только одной точки х = 0, у = 0. Такое уравнение назовем уравнением пары мнимых пересекающихся прямых.
2) Г и п е р б о л и ч е с к и й т и п. Поскольку АС – В2 < 0, то согласно лемме общее уравнение линии второго порядка приводится к виду
Ах2+ Су2 + F = 0.
Возможны следующие случаи:
а) А > 0, С < 0 (случай А < 0, С > 0 сводится к случаю А > 0, С < 0 умножением уравнения на –1) и F 0. Пусть, например, F < 0. Перенесем F в правую часть уравнения и разделим на него. Уравнение принимает вид
,
где a2 = – F /A, b2= F/C. Сравнивая с уравнением гиперболы, заключаем, что полученное уравнение является каноническим уравнением гиперболы.
б) А > 0, С < 0 и F = 0. Уравнение принимает вид (a2 = A, c2 = – С ):
a2x2 – c2y2 = 0 или (ах — су) (ax + су) = 0.
Последнему уравнению удовлетворяют только координаты точек плоскости, расположенных на прямых ах су = 0 и ах+су = 0, пересекающихся в начале координат, и, таким образом, имеем пару пересекающихся прямых.
3) П а р а б о л и ч е с к и й т и п. Если AC – В2 = 0, то поворотом осей координат на угол , общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к виду
Ах2 + Су2 + 2Еу + 2Dx + F = 0. (3)
Здесь AС = 0 и, следовательно, один из коэффициентов А или С равен нулю. Пусть А = 0, С 0. Представим уравнение (3) в виде
, или ,
где = F Е2/С. Перенесем начало координат параллельно оси Оу в точку (0,Е/С), т.е. перейдем к новым координатам по формулам х' = х, у' = у+Е/С. Получим уравнение Возможны следующие случаи:
а) D 0. Запишем уравнение в виде
Перенесем теперь начало координат параллельно оси Ох' в точку ( /(2D);0), т.е. перейдем к новым координатам по формулам х" = х ' + /(2D), у" = у'. Получим уравнение
С(у")2 + 2Dx" = 0, или ( у")2 = 2рх",
где р = D/C. Сравнивая последнее уравнение с уравнением параболы, заключаем, что оно является каноническим уравнением параболы.
б) D = 0. Уравнение имеет вид С(у')2 + = 0.
Если С и имеют разные знаки, то, полагая /C = a2 , уравнение можно записать в виде (y - a)(y + a) = 0. Это уравнение определяет пару параллельных прямых.
Если С и имеют одинаковые знаки, то уравнение принимает вид (у)2 + а2 = 0. Этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением пары мнимых параллельных прямых.
Наконец, если = 0, то уравнение принимает вид (у')2 = 0 и определяет ось О'х'. Это уравнение можно рассматривать как предельный случай при 0, т. е. как уравнение пары совпавших прямых.
Заканчивая исследование общего уравнения линии второго рядка, сформулируем полученные результаты в виде теоремы.
Теорема. Пусть в прямоугольной системе координат задано общее уравнение линии второго порядка Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F = 0. Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов: 1) = 1 (эллипс), 2) = – 1 (мнимый эллипс); 3) a2x2 + c2y2 = 0 (пара мнимых пересекающихся прямых); 4) = 1 (гипербола); 5) a2x2 – с2у2 = 0 (пара пересекающихся прямых); 6) y2 = 2px (парабола); 7) у2 a2 = 0 (пара параллельных прямых); 8) y2 + a2 = 0 (пара мнимых параллельных прямых); 9) у2 = 0 (пара совпавших прямых).