- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •1. Элементы высшей алгебры
- •1.1. Матрицы
- •1.2. Определители
- •1.3. Системы трех уравнений первой
- •Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы Рассмотрим снова систему уравнений
- •1.5. Метод гаусса
- •Векторная алгебра
- •2.1. Скалярные и векторные величины
- •Проекция
- •2.3. Линейные операции над векторами
- •3. Основные свойства линейных операций.
- •4. Теоремы о проекциях векторов.
- •Скалярное произведение векторов
- •1. Определение и основные свойства скалярного произведения.
- •2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение
- •2 . Основные свойства векторного произведения.
- •4. (Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
- •5. (Свойство распределительности относительно суммы векторов).
- •3. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение трех векторов
- •В силу тождества (1) смешанное произведение можно обозначить более простым символом .
- •2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •Расстояние между двумя точками.
- •Площадь треугольника.
- •3.2. Полярные координаты
- •3.3. Линии первого порядка
- •6. Общее уравнение прямой.
- •Умножая данное уравнение на μ, получаем нормальное уравнение
- •3.4. Линии второго порядка
- •1. Эллипс.
- •3. Парабола.
- •3.5. Общее уравнение линии второго порядка
- •1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Уравнение плоскости
- •Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
- •4.2. Уравнение прямой
- •4.3. Поверхности второго порядка
- •5. Предел последовательности
- •5.1. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •5.2. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы , где есть бесконечно малая.
- •5.3. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •6.1. Классификация функций
- •6.2. Предел функции
- •6.3. Теоремы о пределах функции
- •6.4. Два замечательных предела
- •2. Второй замечательный предел
- •6.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •6.6. Сравнение бесконечно малых
- •6.7. Неопределенные выражения
- •6.8. Непрерывные функции
- •6.9. Классификация точек разрыва
- •Определение и классификация точек разрыва функции.
- •6.10. Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцирование
- •7.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •7.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •7.3. Дифференциал функции
- •Правила дифференцирования.
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •7.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Параметрическое задание функции
- •Применение дифференциального
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.2. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя.
- •8.3. Формула тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •8.4. Исследование поведения функций
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Ответы к п.П. 2.1 2.4
- •Задачи к п. 2.5
- •Ответы к п. 2.5
- •Задачи к п. 2.6
- •Ответы к п. 2.6.
- •Задачи к п.П. 3.1 – 3.3
- •Ответы к п.П. 3.1 – 3.3
- •Задачи к п.П. 3.4 – 3.5
- •Ответы к п.П. 3.4 – 3.5
- •Задачи к п.П. 4.1 4.2
- •Задачи к п. 4.3
- •Ответы к п. 4.3
- •Задачи к п.П. 5.1 6.4
- •Ответы к п.П. 5.1 6.4
- •Задачи к п.П. 6.5 6.9
- •Ответы к п.П. 6.5 6.9
- •Задачи к п.П. 7.1 – 7.6
- •Ответы к п.П. 7.1 – 7.6
- •Задачи к п.П. 8.1 – 8.3
- •Ответы к п.П. 8.1 – 8.3
- •Задачи к п. 8.4
- •Ответы к п. 8.4
- •Вопросы к экзамену
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •7. Дифференцирование ……..…………………………..125
- •8. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций………...……………………….…..150
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Ответы к п.П. 5.1 6.4
2. 1), 3), 5), 6). 3. N = 10, 100, 1000. 5. 1), 4). 8. 5/9. 9. 1/2. 10. 0. 11. . 12. 0. 13. 1/5. 19. 2. 20. 2. 21. . 22. 0. 23. 24. 6. 25. 26. 1.4. 27. . 28. n. 29. 3/5. 30. 1/6. 31. 32. 33. 3/2. 34. 0. 35. 7/4. 36. 3. 37. 7/3. 38. 1/. 39. 3/4. 40. 2. 41. 42. 0. 43. /. 44. 45. 1. 46. 47. 48. 49. 2. 50. a ln a. 51. +1, 1. 52. , +. 53. +, 0. 54. 0, +. 55. /2, /2. 56. 2/3. 57. 1/2. 58. 1/3. 59. 1/2. 60. 0. 61. 1/2. 62. –10/9. 63. 2. 64. 1/2. 65. –2. 66. –1/4. 67. –2 sin a. 68. cos b. 69. 1. 70. 9. 71. 1. 72. 25. 73. 5. 74. 1. 75. 2. 76. 77. 5/3. 78. –1/9. 79. 0.
Задачи к п.П. 6.5 6.9
Определить порядок малости относительно
1. 2. 3. 4. 5.
Задана функция При каком выборе параметров, входящих в ее определение, будет непрерывной?
6.
7. 8.
Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:
9. 10.
11. 12. 13. 14. 15.
16.
Ответы к п.П. 6.5 6.9
1. 3/2. 2. 2/3. 3. 1. 4. 3. 5. 1. 6. А = 3. 7. а = 2. 8. b = a/2. 9. точки разрыва второго рода. 10. х = 5/3 точка разрыва первого рода. 11. х = 0 точка устранимого разрыва; f(0) = 1. 12. х = 0 точка устранимого разрыва; f(0) = 1. 13. точки разрыва второго рода. 14. х = 0 точка разрыва первого рода. 15. х = 2,5 точка разрыва первого рода. 16. х = /4 точка разрыва первого рода.
Задачи к п.П. 7.1 – 7.6
Найти производные следующих функций:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
14. 15.
16. . 17. 18.
19. 20.
21. 22.
Используя предварительное логарифмирование, найти производные следующих функций:
23. 24. 25. 26.
27. 28.
Для функций, заданных параметрически, найти
29.
30.
31. .
32.
Найти производные второго порядка следующих функций:
33. 34.
35. 36.
Найти производные второго порядка следующих функций заданных параметрически:
37.
38.
Написать уравнение касательной и нормали к графику функций в данной точке, если:
39.
40.
41.
42.
43. В какой точке кривой касательная перпендикулярна к прямой
44. Составить уравнение нормали к параболе в точке пересечения с биссектрисой первого координатного угла.
45. Закон движения материальной точки по прямой имеет вид
а) В какие моменты времени точка находится в начале координат?
б) В какие моменты времени направление ее движения совпадает с положительным направлением оси Ох?
в) В какие моменты времени ее ускорение равно нулю?
46. Тело массой 4 движется прямолинейно по закону Определить кинетическую энергию тела в момент времени t = 5.
47. Радиус шара изменяется со скоростью v. С какой скоростью изменяются объем и площадь поверхности шара?
48. Доказать, что для линейной функции приращение и дифференциал dy совпадают.
49. Найти приращение и дифференциал dy функции соответствующие значению аргумента и двум различным значениям аргумента
50. Найти приращение и дифференциал dS площади S квадрата, соответствующие приращению стороны x. С помощью рисунка геометрически истолковать и разность .
Найти дифференциал указанных функций при произвольных значениях аргумента х и при произвольном его приращении
51. 52.
53. 54.
55. Вычислить приближенно: а) б) в)
56. Обосновать приближенную формулу и вычислить по этой формуле
57. Найти приближенное значение функции при х = 1,2.