- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •1. Элементы высшей алгебры
- •1.1. Матрицы
- •1.2. Определители
- •1.3. Системы трех уравнений первой
- •Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы Рассмотрим снова систему уравнений
- •1.5. Метод гаусса
- •Векторная алгебра
- •2.1. Скалярные и векторные величины
- •Проекция
- •2.3. Линейные операции над векторами
- •3. Основные свойства линейных операций.
- •4. Теоремы о проекциях векторов.
- •Скалярное произведение векторов
- •1. Определение и основные свойства скалярного произведения.
- •2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение
- •2 . Основные свойства векторного произведения.
- •4. (Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
- •5. (Свойство распределительности относительно суммы векторов).
- •3. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение трех векторов
- •В силу тождества (1) смешанное произведение можно обозначить более простым символом .
- •2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •Расстояние между двумя точками.
- •Площадь треугольника.
- •3.2. Полярные координаты
- •3.3. Линии первого порядка
- •6. Общее уравнение прямой.
- •Умножая данное уравнение на μ, получаем нормальное уравнение
- •3.4. Линии второго порядка
- •1. Эллипс.
- •3. Парабола.
- •3.5. Общее уравнение линии второго порядка
- •1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Уравнение плоскости
- •Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
- •4.2. Уравнение прямой
- •4.3. Поверхности второго порядка
- •5. Предел последовательности
- •5.1. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •5.2. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы , где есть бесконечно малая.
- •5.3. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •6.1. Классификация функций
- •6.2. Предел функции
- •6.3. Теоремы о пределах функции
- •6.4. Два замечательных предела
- •2. Второй замечательный предел
- •6.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •6.6. Сравнение бесконечно малых
- •6.7. Неопределенные выражения
- •6.8. Непрерывные функции
- •6.9. Классификация точек разрыва
- •Определение и классификация точек разрыва функции.
- •6.10. Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцирование
- •7.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •7.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •7.3. Дифференциал функции
- •Правила дифференцирования.
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •7.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Параметрическое задание функции
- •Применение дифференциального
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.2. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя.
- •8.3. Формула тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •8.4. Исследование поведения функций
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Ответы к п.П. 2.1 2.4
- •Задачи к п. 2.5
- •Ответы к п. 2.5
- •Задачи к п. 2.6
- •Ответы к п. 2.6.
- •Задачи к п.П. 3.1 – 3.3
- •Ответы к п.П. 3.1 – 3.3
- •Задачи к п.П. 3.4 – 3.5
- •Ответы к п.П. 3.4 – 3.5
- •Задачи к п.П. 4.1 4.2
- •Задачи к п. 4.3
- •Ответы к п. 4.3
- •Задачи к п.П. 5.1 6.4
- •Ответы к п.П. 5.1 6.4
- •Задачи к п.П. 6.5 6.9
- •Ответы к п.П. 6.5 6.9
- •Задачи к п.П. 7.1 – 7.6
- •Ответы к п.П. 7.1 – 7.6
- •Задачи к п.П. 8.1 – 8.3
- •Ответы к п.П. 8.1 – 8.3
- •Задачи к п. 8.4
- •Ответы к п. 8.4
- •Вопросы к экзамену
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •7. Дифференцирование ……..…………………………..125
- •8. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций………...……………………….…..150
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Ответы к п.П. 2.1 2.4
1. 2. 3. D(9,5,6). 4. C(6,2), D(2,4). 5. 6. M(0,1,0). 7. 7.
8. 9. 4. 10. (1,1/2,1/2). 11. (3,3,3).
Задачи к п. 2.5
1. Вычислить:
а) б) в)
2. Упростить выражения:
а)
б)
в)
г)
3. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах
4. Заданы векторы Найти координаты векторов: а) б) в)
5. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(1, 1, 1), В(2, 3, 4) и С(4, 3, 2).
6. В треугольнике с вершинами А(1, 1, 2), В(5, 6, 2) и С(1, 3, 1) найти высоту
7. Сила приложена к точке А(4, 2, 3). Определить момент этой силы относительно точки О(3, 2, 1).
8. Даны три силы приложенные к точке А(1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки О(2, 3, 1).
9. Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторам образует с ортом тупой угол и
10. Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторам а также удовлетворяет условию
Ответы к п. 2.5
1. a) б) в) 2. а) ; б) ; в) ; г) 3. 3. 4. а) {3,5,7}; б) {6,10,14}; в) {12,20,28}. 5. 6. 5. 7. 8. 9. {6,24,8}. 10. {7,5,1).
Задачи к п. 2.6
1. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и Вычислить
2. Доказать тождество:
3. Вычислить объем тетраэдра OABC, если
4. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(2, 3, 5), В(0,2,1), С(2, 2,3) и D(3,2,4).
5. В тетраэдре с вершинами в точках А(1, 1, 1), В(2, 0, 2), С(2, 2, 2) и D (3, 4, 3) вычислить высоту
6. Доказать, что четыре точки А(1, 2, 1), В(0, 1, 5), С(1, 2, 1) и D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.
Ответы к п. 2.6.
1. 24. 3. 17/2. 4. 6. 5.
Задачи к п.П. 3.1 – 3.3
1. Заданы прямая L и точка М. Требуется:
1) вычислить расстояние (М,L) от точки М до прямой L;
2) написать уравнение прямой проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой L;
3) написать уравнение прямой , проходящей через точку М параллельно заданной прямой L.
Исходные данные: а) L:
б) L: в) L:
В задачах 2 6 исследовать взаимное расположение заданных прямых . Если прямые параллельны, то найти расстояние между прямыми, а если пересекаются косинус угла и точку пересечения прямых.
2.
3.
4.
5.
6.
7. Треугольник АВС задан координатами своих вершин. Требуется:
1) написать уравнение стороны (АВ);
2) написать уравнение высоты (СD) и вычислить ее длину ;
3) найти угол между высотой (СD) и медианой (ВМ);
4) написать уравнения биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине А.
Исходные данные: а) А(1, 2), В(2, 2), С(6, 1); б) А(2, 2), В(6, 1), С(2, 0).
8. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(8,6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.
9. Написать уравнение прямой, параллельной двум заданным прямым и проходящей посередине между ними, если:
а) б)
10. Написать уравнение сторон треугольника АВС, если задана его вершина А(1, 3) и уравнения двух медиан