- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •1. Элементы высшей алгебры
- •1.1. Матрицы
- •1.2. Определители
- •1.3. Системы трех уравнений первой
- •Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы Рассмотрим снова систему уравнений
- •1.5. Метод гаусса
- •Векторная алгебра
- •2.1. Скалярные и векторные величины
- •Проекция
- •2.3. Линейные операции над векторами
- •3. Основные свойства линейных операций.
- •4. Теоремы о проекциях векторов.
- •Скалярное произведение векторов
- •1. Определение и основные свойства скалярного произведения.
- •2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение
- •2 . Основные свойства векторного произведения.
- •4. (Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
- •5. (Свойство распределительности относительно суммы векторов).
- •3. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение трех векторов
- •В силу тождества (1) смешанное произведение можно обозначить более простым символом .
- •2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •Расстояние между двумя точками.
- •Площадь треугольника.
- •3.2. Полярные координаты
- •3.3. Линии первого порядка
- •6. Общее уравнение прямой.
- •Умножая данное уравнение на μ, получаем нормальное уравнение
- •3.4. Линии второго порядка
- •1. Эллипс.
- •3. Парабола.
- •3.5. Общее уравнение линии второго порядка
- •1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Уравнение плоскости
- •Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
- •4.2. Уравнение прямой
- •4.3. Поверхности второго порядка
- •5. Предел последовательности
- •5.1. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •5.2. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы , где есть бесконечно малая.
- •5.3. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •6.1. Классификация функций
- •6.2. Предел функции
- •6.3. Теоремы о пределах функции
- •6.4. Два замечательных предела
- •2. Второй замечательный предел
- •6.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •6.6. Сравнение бесконечно малых
- •6.7. Неопределенные выражения
- •6.8. Непрерывные функции
- •6.9. Классификация точек разрыва
- •Определение и классификация точек разрыва функции.
- •6.10. Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцирование
- •7.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •7.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •7.3. Дифференциал функции
- •Правила дифференцирования.
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •7.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Параметрическое задание функции
- •Применение дифференциального
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.2. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя.
- •8.3. Формула тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •8.4. Исследование поведения функций
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Ответы к п.П. 2.1 2.4
- •Задачи к п. 2.5
- •Ответы к п. 2.5
- •Задачи к п. 2.6
- •Ответы к п. 2.6.
- •Задачи к п.П. 3.1 – 3.3
- •Ответы к п.П. 3.1 – 3.3
- •Задачи к п.П. 3.4 – 3.5
- •Ответы к п.П. 3.4 – 3.5
- •Задачи к п.П. 4.1 4.2
- •Задачи к п. 4.3
- •Ответы к п. 4.3
- •Задачи к п.П. 5.1 6.4
- •Ответы к п.П. 5.1 6.4
- •Задачи к п.П. 6.5 6.9
- •Ответы к п.П. 6.5 6.9
- •Задачи к п.П. 7.1 – 7.6
- •Ответы к п.П. 7.1 – 7.6
- •Задачи к п.П. 8.1 – 8.3
- •Ответы к п.П. 8.1 – 8.3
- •Задачи к п. 8.4
- •Ответы к п. 8.4
- •Вопросы к экзамену
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •7. Дифференцирование ……..…………………………..125
- •8. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций………...……………………….…..150
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
6.9. Классификация точек разрыва
Определение и классификация точек разрыва функции.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f (x), если f(x) в точке х0 не является непрерывной.
Разрывы функций классифицируются следующим образом.
Р а з р ы в 1-го р о д а. Точка х0 называется точкой разрыва 1-го рода функции f (x), если в этой точке функция f (x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы:
Пример. Для функции f(x) = sign x точка х = 0 является точкой разрыва 1-го рода, так как
У с т р а н и м ы й р а з р ы в. Точка х0 называется точкой устранимого разрыва функции f (x), если в этой точке функция f (x) имеет конечные, равные друг другу правый и левый пределы:
Пример. Для функции точка х = 0 является точкой устранимого разрыва.
Р а з р ы в 2-го р о д а. Точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода функции f (x), если в этой точке функция f(x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Пример. Для функции f (x) = точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода, так как
2. Кусочно-непрерывные функции. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [а, b], если она
Рис. 44
непрерывна во всех внутренних точках [а, b], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы
в точках а и b. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке.
Пример. Функция f(x) = [x] кусочно-непрерывна как на любом отрезке, так и на всей числовой прямой. Напомним, что символ [x] обозначает целую часть числа x. График функции f(x) = [x] изображен на рис. 44, функция [x] в точках х = п ( п = 0, ±1, ±2, ...) непрерывна справа и разрывна слева. Во всех других точках она непрерывна как справа, так и слева.
6.10. Основные свойства непрерывных функций
Теорема 1 (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция f(х) непрерывна в точке х0 и f(х0) 0. Тогда существует > 0 такое, что для всех функция f(х) имеет тот же знак, что f(х0).
Теорема 2 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка с (а, b), в которой f(c) = 0.
Сформулированная теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, границей которой является ось абсцисс, в другую пересекает эту ось.
Теорема 3 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], причем f(а) = А, f(b) = B. Пусть, далее, С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на отрезке [а, b] найдется точка с такая, что f(c) = С.
Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.
Теорема 4 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а, b], то она ограничена на этом отрезке.
З а м е ч а н и е. Теорема неверна, если отрезок [а,b] заменить интервалом (а,b). Так, например, функция f(x) = непрервна на (0,1), но не ограничена, так как
Теорема 5 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она достигает на этом отрезке по меньшей мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения m.
Теорема 6. Пусть функция z = (x) непрерывна в точке х0 , а функция y = f(z) непрерывна в точке z0 = (х0). Тогда сложная функция y = f((x)) непрерывна в точке х0 .
Теорема 7. Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке X и пусть Y множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функция x = (y) однозначна, строго монотонна и непрерывна.