1.3. Задачи, решаемые методами исследования операций

Решение технических и технологических задач тесно переплетается с требованиями и положениями экономики. Сложность решения производственных задач, вытекающая из необходимости учёта многих взаимосвязанных факторов и влияния смежных производств, привела к созданию специальных математических методов и моделей, которые позволяют получать достоверное решение лишь при помощи ЭВМ. Традиционные аналитические методы при решении сложных задач оказываются неприемлемыми из-за недостаточной достоверности результатов (модели для них требуют обычно упрощения).

Среди наиболее часто встречающихся задач, которые успешно решаются методами исследования операций, можно назвать следующие группы:

1. задач управления запасами сырья и продукции;

2. распределения ресурсов;

3. ремонта и замены оборудования;

4. массового обслуживания (задачи теории очередей);

5. упорядочения;

6. сетевого планирования и управления;

7. выбора маршрута (транспортная задача);

8. разработки автоматизированных систем управления технологическими процессами;

9. оптимизации компоновки технологических линий и систем машин;

10. смешанных задач.

Задачи управления запасами составляют самый распространённый и изученный класс задач. Они обладают следующей особенностью: с увеличением запасов увеличиваются расходы на их хранение, но уменьшаются потери из-за возможной их нехватки. Следовательно, одна из задач управления запасами заключается в определении такого уровня запасов, который минимизирует следующий критерий: сумма ожидаемых затрат по хранению запасов, а также потерь из-за их дефицита, штраф за непоставку.

Постановка задачи: какой надо иметь запас реагентов, чтобы издержки были минимальными.

Надо найти функцию суммарных издержек в единицу длины цикла

(1.1)

Очистная станция имеет склад реагентов, и должна работать непрерывно. Минимизация затрат состоит из двух пунктов:

‑ издержки на хранение запаса;

‑ штат склада.

Необходимо своевременно представлять заявку на количество продукта и время поставки.

Исходные данные задачи

Основные виды издержек – это издержки хранения и штраф за дефицит продукции пропорциональны среднему объёму продукции:

• h – издержки хранения одной единицы продукта в единицу времени;

• d – штрафы за дефицит единицы продукции за единицу времени;

• S – постоянные издержки за весь период работы.

Постоянные параметры задачи:

• r – скорость выдачи продукта;

• p – скорость поступления продукта (p>r).

Управляемые переменные задачи надо найти. К ним относятся следующие переменные:

• q – размер партии заказа;

• T – длина цикла;

• y(t) – уровень продукта в момент времени t. Надо найти минимальное Y_min и максимальное Y_max значения. Они будут характеризовать всю ситуацию, т.е. работу всей системы.

Задачи распределения ресурсов заключаются в распределении ресурсы наилучшим образом с целью получения максимальной прибыли.

Исходные данные есть ресурсы и есть организации, заинтересованные в этих ресурсах.

Задача ремонта и замены оборудования появляется в тех случаях, когда работающее оборудование изнашивается, устаревает и по времени подлежит замене. Изношенное оборудование подвергают либо предупредительно-восстановительному ремонту, улучшающему его технологические характеристики, либо полной замене.

Постановка задачи определить сроки восстановительного ремонта и момент замены оборудования модернизированным, при которых минимизируется сумма затрат на ремонт и замену оборудования при его старении за всё время эксплуатации. Оборудование делят на две группы: нестареющее (случайно выходящее из строя) и стареющее.

Исходные данные задачи:

• h – издержки запаса оборудования;

• d – издержки простоя оборудования;

• r – время поломки оборудования (простоя);

•  – промежуток между очередными выходами из строя оборудования;

• f(r) – плотность распределения поломок и отключение на ремонт и замену (случайная величина).

Надо найти оптимальное количество оборудования.

Задача массового обслуживания заключается в изучении и анализе систем обслуживания с очередями заявок или требований. С явлением очередей приходится сталкиваться как в производственной практике, так и в быту.

Типичными примерами являются очереди машин и механизмов, ожидающих вызова на объект; очереди абонентов, ожидающих бригаду по вызову и др. Очереди возникают из-за неуправляемости и случайности потоков. Если количество приборов обслуживания достаточно, то очередь образуется редко. Однако неизбежны простои оборудования. С другой стороны, при малом количестве оборудования и бригад создается значительная очередь и будут большие потери из-за ожидания в очереди. Поэтому возможна следующая постановка задачи: определить какое количество приборов (оборудования и бригад) обслуживания необходимо, чтобы минимизировать суммарные ожидаемые потери от несвоевременного обслуживания и простоев оборудования и бригад организации водопроводно-канализационного хозяйства.

В процессах очистки природных и сточных вод эта задача может быть связана с выбором необходимого количества сооружений и надёжности работы станции с резервом и без резерва ёмкостей и оборудования. До настоящего времени серьёзно такую задачу никто не решал и количество резервного оборудования принимается по нормативам, заложенным СНиПами.

Постановка задачи: имеется n-приборов и поступают заявки на обслуживание.

I. Приборы вместе с очередью рассматривают как систему:

1. с одним прибором;

2. с многими приборами.

II. Система без приоритетов и с приоритетами.

III. Система с терпеливыми и нетерпеливыми заявками.

IV. Системы без бункера и с бункером. В бункере происходит предварительная обработка заказов.

Задачи упорядочения (задачи календарного планирования или составления расписания). Расписания бывают двух типов:

1. с закреплёнными технологическими процессами;

2. с нефиксированными технологическими процессами.

Имеется m-типов сооружений, на которых в определённой последовательности должны обрабатываться воды с n-ингредиентами. Время обработки на каждом сооружении различное. Найти технологический цикл с минимальной затратой времени и максимальным съёмом загрязнений при минимальных затратах средств.

В задачах сетевого планирования и управления рассматривают соотношение между сроками выполнения операций, например, строительства объекта. Комплекс операций в этом случае можно представить в виде сетевого графика, состоящего из вершин (узлов) и ориентированных дуг. Дуги, входящие в вершину, отвечают операциям, которые должны быть закончены раньше, чем можно будет начать операции, изображенные исходящими дугами.

Каждая вершина называется событием (ВСЁ, ЧТО В ДАННЫЙ МОМЕНТ ПРОИЗОШЛО).

Каждая дуга, соединяющая события, называется работой.

Начало дуги – от начального события к конечному.

Каждой работе ставятся в соответствия числа:

t_ij - время на выполнение данной работы (i, j);

-потребность в k-м ресурсе для выполнения работы (i, j).

Ресурсов может быть сколько угодно.

Чаще всего приходится иметь дело с двумя ситуациями:

1. задано время;

2. задано время и один ресурс.

Под начальным событием понимают такое событие, в которое ни одна работа не входит.

Работы классифицируют на следующие:

1. собственно работа (параметры: время работы и затраты ресурсов);

2. ожидание (параметр – время);

3. эффективная работа (время на выполнение данной работы и потребность в ресурсе для выполнения работы равны нулю).

Сетевой график называют правильным, если выполнены условия:

• график содержит одно и только одно начальное значение;

• график содержит одно и только одно конечное значение;

• график не содержит ни одного замкнутого контура;

• график не содержит параллельных работ (параллельным называются работы, которые начинаются в одной вершине и заканчиваются в одной вершине);

• все события правильно пронумерованы.

Задачи выбора маршрута (транспортные задачи)

Эти сетевые задачи встречаются при расчёте сетей водопровода и канализации. На допустимые маршруты может быть наложен ряд ограничений. Так, вводят запрет на возврат к уже пройденному пункту (узлу сети) и т.п.

Задача о максимальном потоке

Есть некоторая сеть, заданная вершинами и дугами. Среди вершин определена начальная (исходная) вершина – источник и конечная вершина сток. Известная пропускная способность каждой дуги. Требуется определить такой маршрут, по которому из источника в сток поток будет максимальным.

Задачи разработки автоматизированных систем управления технологическими процессами (АСУ ТП)

В зависимости от поступающей с датчиков информации о концентрациях и расходах воды машина должна просчитывать требуемые наилучшие технологические параметры и подавать сигнал на регулирующее оборудование (дозаторы, шиберы, задвижки и т.п.), включение и отключение насосов в насосных станциях по уровням воды и осадков.

Оптимизация компоновки технологических линий и систем машин

Например, для выбора оптимальной схемы (рис. 2) очистки сточных вод при нескольких конструкциях решеток (2.1 – 2.5), песколовок (3.1-3.5), первичных отстойников (4.1-4.4), аэротенков (5.1-5.2), вторичных отстойников (6.1-6.4) и блока доочистки (7) приходится перебирать 55424=800 вариантов.

Рис. 2. Схема выбора конструкций очистной станции сточных вод: 1 – приёмная камера; 2 – тип решётки (дробилки, наклонные, вертикальные, с граблями под углом, круглые); 3 – тип песколовки (вертикальные, тангенциальные, горизонтальные с круговым и прямолинейным движением, аэрируемые); 4 – тип первичного отстойника (вертикальный, горизонтальный, радиальный, отстойник-осветлитель); 5 – тип аэротенка; 6 – тип вторичного отстойника; 7 – блок доочистки

Вручную решать такую задачу долго, и, кроме того, можно упустить некоторые параметры. Решение этой задачи с применением методов оптимизации позволит найти наилучший вариант даже не по одному, а по ряду критериев.