1.6.2. Интерполяционный полином Ньютона для неравностоящих узлов интерполяции
Составление полинома основано на разложении функции в ряд Тейлора:
f(х+х)= f(х) + f’(х) х + f”(х) х2/2+ f’’’(х) х3/3+… . (1.4)
Если функция задана таблицей, эта функция дискретна и у неё нет возможности найти производную в силу отсутствия непрерывности. В этом случае производные в формуле (1.4) заменяются разделёнными разностями, построенными на результатах узлов таблицы:
‑ разделённая разность I порядка заменяет производную первого порядка, она строится на двух смежных аргументах узлов таблицы и соответствующих им функциях
(1.5)
‑ разделённая разность II порядка заменяет производную второго порядка, строится на трёх аргументах таблицы и соответствующих им функциях
(1.6)
‑ разделённая разность III порядка заменяет производную третьего порядка, строится на четырёх аргументах таблицы и соответствующих им функциях
(1.7)
Полином Ньютона представляет собой разложение функции в ряд Тейлора (1.4) с заменой производных соответствующими разделёнными разностями по формулам (1.5) – (1.7).
N3(x) = f(x1)+f(x1, x2)(x-x1)+ f(x1, x2, x3)(x-x1) (x-x2)+ + f(x1, x2, x3, x4)(x-x1) (x-x2) (x-x3). (1.8)
Пример
Построить полином Ньютона по следующим данным f(1)=1, f(2)=2; f(3)=2; f(5)=4.
Отыскание разделённых разностей удобно выполнить в виде табл. 2.
Таблица 2
Расчётная таблица для определения коэффициентов полинома Ньютона
xi |
f(xi) |
f(xi, xi+1) |
f(xi,xi+1,xi+2) |
f(xi,xi+1,xi+2,xi+3) |
|
x1 |
1 |
1 |
|
|
|
x2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||||
x3 |
3 |
2 |
|
|
|
x4 |
5 |
4 |
|
|
|
Теперь выписывается полином Ньютона. Степень полинома устанавливается порядком последней разделённой разности.
N3(x)
= 1 + 1(x-1)+(-
)
(x-1)(x-2)+
(x-1)(x-2)(x-3). (1.9)
Для проверки правильности полинома в формулу (1.9) подставляется значение x4=5. Расчёт должен привести к результату N3(5) = f(5)=4. В этом случае полином Ньютона составлен верно, и его можно использовать в поиске значения функции для любого промежуточного аргумента.
N3(5) = 1 + 1(5-1)+(- ) (5-1)(5-2)+ (5-1)(5-2)(5-3)=1+4-6+5=4.
N3(4) = 1 + 1(4-1)+(- ) (4-1)(4-2)+ (4-1)(4-2)(4-3)=1+3-3 + 5/4 = 2,25.
Если теперь рассчитать значение функции по линейной интерполяции, то значение функции получится отличное от значения полинома Ньютона, так как функция нелинейная. f(4)=2+2/2(4-3)=3. Различие видно на рис. 9. Кривая 1 соответствует функции, а прямая 2 – линейной интерполяции. |
Рис. 9. График функции, построенный по заданным узлам таблицы |
