Литература и лекции / Аналитическая геометрия и линейная алгебра

a

x

+a

x

+ ... +a

1n

x

n

=b

11 1

12 2

1

a

21x1 +a 22x 2

+ ... +a 2n xn

=b2

.

(1)

. . .

a

x

+a

x

+ ... +a

m n

x

n

=b

m

m 1 1

m 2 2

Система (1) называется однородной, если все ее свободные члены b1,b2 ,...,bm равны нулю; если хотя бы один из свободных членов b1,b2 ,...,bm

отличен от нуля, то система называется неоднородной. В системе (1) число уравнений может быть меньше, равно или больше числа неизвестных.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел c1,c2 ,...,cn , что каждое из уравнений системы (1) обращается в тождество

после замены в нем неизвестных xi соответствующими числами ci (i =1,2,...,n ) . Система (1) может не иметь ни одного решения, может иметь

одно решение, решений может быть и бесконечно много.

Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Совместная система (1) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее существует по крайней мере два решения.

Две системы называются эквивалентными, если любое решение одной из них является решением и другой системы. Заметим, что все несовместные системы являются эквивалентными.

1 Решение системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде

Возьмем систему вида (1) и введем в рассмотрение следующие матрицы:

a		a		...	a	1n				a		a		...	a	1n	b
	11		12								11		12				1
A = a 21		a 22		...	a 2n			, A		= a 21		a 22		...	a 2n		b2		, X
		...		...	...				p			...		... ...			...
...										...
am 1		am 2		...	am n					am 1		am 2		...	am n		bm

x1

=x...2 ,xn

b

B= b...2 .

bn1

Матрица A называется матрицей коэффициентов системы (1), Ap

называется расширенной матрицей коэффициентов системы (1), одно-

столбцовая матрица B называется матрицей свободных членов, одно-

91

столбцовая матрица

A X .

	a11	a12
A X	= a 21	a 22
	...	...
	am 1	am 2

X – матрицей неизвестных. Найдем произведение

... a1n

... a 2n

... ...

... am n

x1

a11x1 +a12x 2 + ... +a1n xn

x

a

x

+a

x

+ ... +a

x

2

=

21 1

22 2

2n

n

.

...

. . .

x

x

+a

x

+ ... +a

x

n

a

m n

m 1 1

m 2 2

n

Очевидно, что в силу системы (1) полученную матрицу можно приравнять матрице B . Следовательно, вместо системы (1) мы можем рассматривать матричное уравнение

A X =B .

Рассмотрим линейную систему, у которой число неизвестных совпадает(2)

с числом уравнений:

a

x

+a

x

+ ... +a

1n

x

n

=b

11 1

12 2

1

a 21x1 +a 22x 2 + ... +a 2n xn

=b2 .

. . .

a

x

+a

x

+ ... +a

nn

x

n

=b

n

n 1 1

n 2 2

Матрица коэффициентов этой системы квадратная, т.е.

a11	a12	...	a1n
A = a 21	a 22	...	a 2n .
	.	.	.
.
an 1	an 2	...	ann

Допустим, что detA ≠ 0 , тогда у матрицы A существует обратная A −1 . Запишем систему в матричном виде A X =B . Умножив левую и правую

части этого уравнения слева на A −1 , получим

A −1 A X =A −1 B => E X =A −1 B .

Итак, решение системы (2) в матричном виде X =A −1 B . Заметим, что это решение – единственное.

Пример 1. Найти решение системы в матричном виде:

2x +y +z = 3 x + 2y −z = 0 . x −y +z = 2

Решение. Обозначим через A матрицу коэффициентов данной матрицы систему, B – матрицу-столбец из свободных членов, X – искомую мат- рицу-столбец.

Ясно, что

92

					2			1 1			3		x
			A =		1				, B		0
								2 −1		=		, X	= y .
					1						2
						−1 1							z
Данная система в матричном виде A X =B , ее решение X =A −1 B .
Найдем обратную матрицу A −1 . Прежде всего
detA =		2	1			1		= 2 2 1 +1 (−1) 1 +1 (−1) 1 −1 2 1 −
		1	2		−1
		1	−1			1

−(−1)(−1) 2 −1 1 1 = 4 −1 −1 − 2 − 2 −1 = −3.

Найдем алгебраические дополнения матрицы A .

A11	= (−1)1+1						2 −1						=1,					A 21			= (−1)2+1				1							1				= −2 ,						A31	= (−1)3+1							1 1										= −3,
				−1					1																	−1						1																		2					−1
A12	= (−1)1+2						1 −1				= −2 ,							A 22			= (−1)2+2								2 1					=1,								A32	= (−1)3+2											2 1						= 3,
							1	1																					1		1																							1	−1
A13	= (−1)1+3				1 2						= −3,							A 23			= (−1)2+3						2 1									= 3,						A33	= (−1)3+3									2 1						= 3 .
					1			−1																			1				−1																					1			2
Получаем обратную матрицу A−1																																					1		2
																																			−							1
																			1		−2		−3														3 3
																		1
											A			−1		= −				−2 1 3											=					2		−		1		−1		.
																		3																		3				3
																				−3 3 3
																																				1 −1						−1
Вычислим X =A −1 B
															−		1		2													−			1		3 +		2		0 +1 2
								x									3 3				1		3												3				3								1
																2				1												2						1
	X =							y					=			3		−		3	−1		0							=		3				3 −		3		0 −1			2			=	0	.
								z								1			−1				2												1 3 −1 0							−1 2					1
																					−1

Итак, получим решение данной системы в матричном виде

93

x			1
			0
y		=		.
			1
z

От такой записи решения можно перейти к более привычной форме записи: x =1, y = 0 , z =1.

2 Правило Крамера 1

Для простоты выкладок рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, положив n = 3

a11x1 +a12x 2 +a13x3 =b1a 21x1 +a 22x 2 +a 23x3 =b2 .a 31x1 +a 32x 2 +a 33x3 =b3

Пусть определитель этой системы отличен от нуля, т.е. можно записать решение этой системы в матричном

= detA .

x1x 2 =x3

1	A11		A 21		A31		b1						1	b1A11	b2A 21
	A		A		A				b			=		b A	b A
		12		22		32				2						22
														1 12	2
	A	13	A	23	A	33	b			3				b A	b A	23
														1 13	2

detA ≠ 0 . Тогда виде, положив

b3A31 b3A32 . b3A33

Следовательно,

b A

+b A

+b A

1

b1

a12

a13

x1 =

1 11

2 21

3 31

=

b2

a 22

a 23

;

b3

a 32

a 33

b1A12 +b2A 22 +b3A

1

a11

b1

a13

x 2 =

32

=

a 21

b2

a 23

;

a 31

b3

a 33

b1A13 +b2A 23 +b3A

1

a11

a12

b1

x3 =

33

=

a 21

a 22

b2

.

a 31

a 32

b3

Полученные формулы для вычисления x1,x 2 ,x3 называются формулами Крамера, а соответствующее правило – правилом Крамера. Итак, если

определитель системы		n	линейных алгебраических уравнений с n	неиз-
вестными	отличен	от	нуля, то по формулам Крамера: xi	=	xi

* Крамер Г. (1704 – 1752) – швейцарский математик.

94

(i =1,2,...,n ) ,

где определитель

xi получается из определителя системы

путем замены i -го столбца столбцом из свободных членов.

Пример 2. Найти решение системы

2x +y +z = 3

x + 2y −z = 0

x −y +z = 2

по формулам Крамера.

Решение. Вычислим определители

,

x ,

y

и

z .

2

1

1

3

1

1

=

1 2 −1

= −3 ,

x =

0 2 −1

= −3,

1

−1

1

2

−1

1

2

3

1

2

1

3

y =

1 0 −1

= 0 ,

z =

1 2 0

= −3 .

1

2

1

1

−1

2

Имеем x =

x = −3 =1;

y =

y = 0 ;

z =

z =

−3

=1.

−3

−3

Итак, решение данной системы: x =1,

y = 0,

z =1.

3 Метод Гаусса2

Отметим, что формулы Крамера (так же как и решение систем в матричном виде) имеют ограниченное применение, потому, что уже для систем выше 4-го порядка приводят к громоздким вычислениям.

Кроме того, формулы Крамера применимы, если число уравнений совпадает с числом неизвестных и при этом определитель системы ≠ 0 .

Для исследования систем m алгебраических уравнений с n неизвестными в последнее время, особенно в связи с развитием вычислительной техники широкое применение получил метод Гаусса.

Итак, рассмотрим систему m алгебраических уравнений с n неизвест-

ными, причем a11 ≠ 0 .

a

x

+a

x

+ ... +a

1n

x

n

=b

11 1

12 2

1

a

21x1 +a 22x 2

+ ... +a 2n xn

=b2

.

(1)

. . .

a

x

+a

x

+ ... +a

m n

x

n

=b

m

m 1 1

m 2 2

Заметим, что условие a11 ≠ 0

нетрудно выполнить.

Действительно,

для

этого достаточно переставить уравнения таким образом, чтобы в первом

* Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) – великий немецкий математик.

95

уравнении при первой неизвестной коэффициент был бы отличен от нуля, в противном случае система не содержала бы переменной x1 . Оставляя те-

перь неизменным первое уравнение, преобразуем остальные уравнения таким образом, чтобы коэффициенты при неизвестной x1 обратились бы в

нуль (для этого достаточно ко второму уравнению прибавить первое урав-

	нение, умноженное на −a 21 , к третьему уравнению – первое, умноженное
			a 31	a11
	на	−		, и т.д., к m -му уравнению прибавить первое, умноженное на
			a11

−am 1 ).

a11

Врезультате получим систему, эквивалентную системе (1), в виде:

a	x	+a x	2	+ ... +a	1n	x	n	=b
	11 1	12						1
		a 22′x 2 + ... +a 2n ′xn						=b2′
								(2)
		a 32′x 2 + ... +a 3n ′xn						=b3′ .
		. . .
		′			′			′
	am 2 x 2 + ... +ann				xn			=bn

Потребуем, чтобы в системе (2) был бы отличен от нуля коэффициент a 22′, чего можно опять-таки добиться с помощью перестановки уравнений.

Если же после первого шага во всех уравнениях, кроме первого, коэффициенты обратятся в нуль, то приступают к следующему шагу, а именно: повторяя алгоритм Гаусса, аннулируем далее коэффициенты при x 2 во всех

уравнениях, начиная с 3-го. Причем, после какого-то шага число уравнений может уменьшаться (это имеет место, если какие-то уравнения являются линейными комбинациями других уравнений, т.е. не являются независимыми).

После последнего шага мы можем придти к таким ситуациям:

1) Число неизвестных совпадает с числом уравнений, и матрица систе-

мы приведена к треугольному виду (an*n ≠ 0) :

a	x	+a x	+ ... +a	1n	x	n	=b
	11 1	12 2					1
		a 22* x 2 + ... +a 2*n xn					=b2*
			. . .				.
			*				*
			ann xn				=bn

Теперь можно из последнего уравнения выразить

(3)

x = b*

n n , подставить

an*n

найденное xn в предыдущее уравнение, найти xn −1 и идти далее восходя-

96

щим ходом к первому уравнению, находя шаг за шагом xn −1 ,xn −2 ,...,x 2 ,x1 . Очевидно, что в этом случае ранг матрицы

a11	a12	...	a1n
	a 22	...	a 2n
A = a 21
	...	...	...
...
am 1	am 2	...	am n

совпадает с рангом расширенной матрицы

		a		a		...	a	1n	b
			11		12				1
A		= a 21		a 22		...	a 2n		b2		,
	p			...		... ...			...
		...
		am 1		am 2		...	am n		bm

т.е. r (A ) =r (Ap ) =n .

Действительно, матрица системы (3) получена с помощью элементарных преобразований над строчками исходной матрицы. В этом случае система имеет единственное решение.

2) Число неизвестных меньше числа уравнений, т.е. система имеет вид:

a

x

+a x

+ ... +

a

1k

x

k

+ ... +

a

1n

x

n

=b

11 1

12 2

+ ... +

1

a * x

2

+ ... +a *

x

k

a * x

n

=b*

22

2k

2n

2

. . .

. . .

,

an*kxk

+ ... +

an*n xn

=bn*

0 xk

+ ... +

*

0 xn =bn +1

. . .

0 xk

+ ... +

0 xn

=br*

причем bn* +1,bn* +2 ,...,br*

отличны от нуля. В этом случае ранг матрицы систе-

мы меньше ранга ее расширенной матрицы, т.е. r (A ) <r (Ap ) , тогда неко-

торые из уравнений системы противоречат остальным, т.е. система несовместна.

3) Число уравнений меньше числа неизвестных, т.е. система имеет вид:

a	x	+a x	+ ... +	a		x		+a	x	+ ... +
	11 1	12 2			1k		k		1 k +1 k +1
		a 22* x 2 + ... +a 2*kxk						+a 2* k +1xk +1 + ... +
										.
					*				*	+ ... +
				akkxk				+ak k +1xk +1

a1n xn =b1

a 2*n xn =b2* .

. .

akn* xn =bn*

97

Примем xk +1,xk +2 ,...,xn за параметры, т.е. будем считать, что они принимают любые значения, тогда систему можно записать в виде:

a

x

+a x

+ ... +

a

x

=b −a

x

−... −a

x

11 1

12 2

1k

k

1

1 k +1 k +1

1n

n

a 22* x 2 + ... +a 2*kxk

=b2* −a 2* k +1xk +1 −... −

a 2*n xn

.

. . .

*

*

*

*

akkxk

=bn −ak k +1xk +1 −... −akn xn

Система имеет бесчисленное множество решений, r (A ) =r (Ap ) <n .

Замечание. При исследовании систем методом Гаусса систему обычно не выписывают, а работают с расширенной матрицей системы A p , выпол-

няя элементарные преобразования, соответствующие алгоритму Гаусса. Пример 3. Исследовать систему методом Гаусса

2x + y +z = 3 x + 2y −z = 0 . x − y +z = 2

Решение. Запишем расширенную матрицу коэффициентов данной системы и приведем ее к треугольному виду:

				2 1	1				3				1 −1			1				2
A p	=			1 2 −1					0			→		2	1	1				3		→
				1 −1	1				2					1 2		−1				0
	1			−1	1		2					1 −1				1				2
→		0		3 −1			−1						0		3	−1
											→									−1 .
		0		3 −2			−2						0		0	−1				−1

Вернемся теперь обратно к системе, записанной в привычном виде:

x − y +z = 2 3y −z = −1 .

−z = −1

Теперь следует применить восходящий ход алгоритма Гаусса и выписать решение: −z = −1 => z =1, подставим z =1 во второе уравнение, тогда получим y = 0 ; и, наконец, подставим y = 0 и z =1 в первое уравнение, по-

лучим x = 0 −1+ 2 =1. В результате имеем решение данной системы: x =1,y = 0,z =1.

Пример 4. Исследовать систему методом Гаусса

98

x

1 − x 2 + x3 + 2x 4 − x5 = 0

+ x 2

+ 2x3 − x 4 + x5 = 2

x

1

− x 2

− x3 + x 4 + 2x5 = −1

x1

3x1 − x 2 + 3x3 − x 4 + 4x5 = 1

Решение.

1 −1 1 2 −1

0

1 −1 1 2 −1

0

1 1 2 −1 1

2

0 2 1 −3 2

2

→

→

1 −1 −1 1 2

0 0 −2 −1 3

−1

−1

3 1 3 −1 4

1

0 4 0 −7 7

1

1 −1 1 2 −1

0

1 −1 1 2 −1

0

→

0 2

1 −3 2

2

→

0 2 1 −3 2

2 .

0 0

−2 −1 3

0 0 −2 −1 3

−1

−1

0 0 −2 −1 3

−3

0 0 0 0 0

−2

Вывод: система несовместна.

Из приведенных рассуждений с очевидностью вытекает теорема.

Теорема Кронекера-Капелли 3

Для того, чтобы линейная система

a x		+a	x	+ ... +a	1n	x	n	=b
	11 1		12 2					1
a	21x1 +a		22x 2 + ... +a 2n xn					=b2
				. . .

am 1x1 +am 2x 2 + ... +am n xn =bm

была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы Ap этой системы был равен рангу матрицы ее коэффициентов A , т.е.

r (A ) =r (Ap ) (без доказательства).

§4 Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений.

Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений

* Л. Кронекер (1823-1891) – немецкий математик, А. Капелли (1855 – 1910) – итальянский математик

99

a	x	+a x	2	+ ... +a	1n	x	n	= 0
	11 1	12
a	21x1 +a 22x		2	+ ... +a 2n xn				= 0	(1)
				. . .
am 1x1 +am 2x 2 + ... +am n xn = 0

или в матричной форме A X = 0, где 0 – нулевой столбец.

Свойства однородной системы

1)Однородная система совместна, поскольку всегда имеет нулевое (тривиальное) решение.

2)Пусть

α1				β1
X =	α2		иY =		β2
	...				...
	αn				βn
– два решения однородной системы				(1). Линейная комбинация этих ре-

шений λX + μY , где λ, μ R , также является решением системы. Более того, линейная комбинация любого конечного числа решений однородной системы (1) также является решением этой системы.

3) Если система (1) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Определение. Совокупность решений X 1 ,X 2 ,...,X k однородной систе-

мы (1) называется фундаментальной системой решений, если

1)X 1,X 2 ,...,X k – линейно независимы,

2)любое решение системы X представимо в виде линейной комбина-

ции X 1,X 2 ,...,X k , т.е. c1,c 2 ,...,ck R не все равные нулю, такие, что

X =c1X 1 +c 2X 2 + ... +ckX k .

Определение. Решение системы (1) вида X =c1X 1 +c 2X 2 + ... + +ckX k , где X 1,X 2 ,...,X k – фундаментальная система решений; c1 ,c 2 ,...,ck – про-

извольные действительные постоянные, представляющее всевозможные решения системы (1) называют общим решением однородной системы.

4. Теорема (о фундаментальной системе решений)

Если ранг r матрицы A однородной системы (1) меньше числа неизвестных n , то система имеет фундаментальную систему решений, состоящую из n −r решений.

100