Литература и лекции / Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Доказательство. Доказательство этой теоремы дает способ отыскания фундаментальной системы решений.

Рассмотрим матрицу A системы (1)

a11

a 21

. A =

ar 1

.am 1

...	a1r	a1 r +1	...	a1n
...	a 2r	a 2 r +1	...	a 2n
						(2)
.	.	.	.	.
					.
...	arr	ar r +1	...	arn
.	.	.	.	.
...	am r	am r +1	...
				am n

Как и прежде, не умаляя общности, предположим, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы A . Тогда, по теореме о базисном миноре строки с номерами от r +1 до m представимы в виде линейных комбинаций базисных строк. Значит, пользуясь свойствами сложения строк матриц и умножения строк на число, мы можем получить матрицу, у которой строки с номерами, большими r , нулевые. Следовательно, их можно отбросить. Соответствующая ей однородная система эквивалентна исходной, но имеет r уравнений. Запишем ее в следующем виде:

a

x

+a x

+ ... +a

1r

x

r

= −a

x

−... −a

1n

x

n

11 1

12 2

1 r +1 r +1

a

21x1 +a 22x 2

+ ... +a 2r xr = −a 2 r +1xr +1

−... −a 2n xn

.

(3)

. . .

+ar 2x 2

+ ... +arr xr

= −ar

r +1xr +1 −... −arn xn

ar 1x1

Неизвестные x1,x 2 ,...,xr

назовем базисными, а остальные n −r

неиз-

вестных xr +1,xr +2 ,...,xn – свободными.

Если свободным неизвестным придать какие-либо фиксированные значения, то из системы (3) базисные неизвестные можно найти единственным

образом, поскольку A * – квадратная матрица системы, ее элементы обра-

зуют базисный минор (detA * ≠ 0).

Придадим свободным неизвестным следующие наборы значений:

1			0			0			0
	0			1			0			0
		;			;			; … ;
	0			0			1			0 .
	...			...			...			...
0			0			0			1

В каждом i -ом наборе все элементы, кроме одного, равны 0, а отличный от нуля (единица), стоит на i -ом месте. Всего таких наборов n −r . Подставим поочередно эти наборы значений переменных xr +1,...,xn в систему (3),

решим ее относительно x1,x 2 ,...,xr и получим следующие решения:

101

x	11			x	12			x	1n −r
x	12		;	x 22			; ...;	x 2n −r		.
...				...				...
	1				2				n −r
xr				xr				xr

Теперь объединим соответствующие решения и получим такую совокупность решений системы (3), а значит и (1):

	x11
		M
	x1
X		r		; X 2
	1 =	1
		0
		M
		0

x12
	M
x 2
	r		; ...; X n −r
=	0
	1
	M
	0

x	1n −r
	M
x n −r
	r
=	0	.
	0
	M
	1

Покажем, что эта система решений будет фундаментальной. Для этого надо проверить два условия из определения.

1) Проверим линейную независимость столбцов X 1,X 2 ,...,X n −r . Рассмотрим матрицу, составленную из столбцов X 1 , ..., X n −r

	x11		x12 ...	x1n −r
			x 22 ...	x 2n −r
	x12
	... ... ...			...
			xr2 ...	xrn −r
	xr1					.
		1	0 ...	0
		0	1 ...	0
	... ... ...			...
		0	0 ...	1

Минор порядка n −r , образованный последними n −r строками, отличен от нуля. Следовательно, ранг данной матрицы равен n −r , и по теореме о базисном миноре все столбцы линейно независимы, что и означает линейную независимость решений X 1,X 2 ,...,X n −r .

2) Возьмем произвольное решение однородной системы (1)

102

				x	1
			X	= x 2		.
				...
				xn
Рассмотрим одностолбцовую матрицуY :
		Y =X −xr +1X 1 −xr +2X 2 −... −xn X n −r .						(4)
По свойствам однородных систем Y					– решение системы (1). Выполнив
все	действия	в	правой	части		равенства	(4),	получим

Y = (y1,y 2 ,...,y r ,0,0,...,0)T .

Кроме того, Y является решением системы (3), которая равносильна системе (1). Нулевому значению свободных неизвестных соответствует (единственное) нулевое решение системы (3). Значит, Y = 0 . Подставив это значение в равенство (4), получим X = =xr +1X 1 +xr +2X 2 + ... + +xn X n −r , то есть произвольное решение X однородной системы (1) является линейной комбинацией решений X 1,X 2 ,...,X n −r .

И так очевидно, что X 1,X 2 ,...,X n −r образуют фундаментальную систему решений.

Следствие. Однородная система (1), у которой число неизвестных n совпадает с числом уравнений m , имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы detA = 0 .

§5 Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений представив ее в матричной форме

A X =B .

(1)

Соответствующей ей однородной системой будем называть сис-

тему

где 0	– нулевой столбец.	A X =0,	(2)

1 Некоторые свойства решений неоднородной системы и их связь с решением соответствующей однородной системы

1. Если Y	является решением неоднородной системы, а X – решени-
ем однородной системы, то Z =Y +X – решение неоднородной системы
линейных уравнений		Из условия имеем A Y =B и A X = 0 .
Доказательство.
Найдем	A Y +A X =A (Y +X ) =A Z
С другой стороны		=>A Z =B .
		A Y +A X =B + 0 =B

Тогда Z =Y +X является решением неоднородной системы.

103

2.	Если	Y	и Z	– решения неоднородной системы, то столбец
X =Y −Z		является		решением соответствующей однородной системы.
Доказывается аналогично свойству 1.
3.	Любое решение Z неоднородной системы представимо в виде сум-
мы Z =Y +X , где столбец Y – частное решение неоднородной системы,
а столбец X			– решение однородной системы, соответствующей системе
(1).	Пусть X 1,X 2 ,...,X n −r фундаментальная система решений однород-
4.

ной системы (2), аY – частное решение неоднородной системы. Тогда все множество решений неоднородной системы представимо в виде

Z =Y +c1X 1 +c 2X 2 + ... +cn −r X n −r ,

(3)

где r – ранг матрицы системы; c1 ,c 2 ,...,cn −r – произвольные постоянные.

При этом выражение (3) называют общим решением системы. Доказательство. По свойству 3 всякое решение неоднородной систе-

мы представимо в виде Z =Y +X , а любое решение однородной системы в виде X =c1X 1 + ... +cn −r X n −r по теореме о фундаментальной системе ре-

шений.

Пример 1. Решить однородную систему

x1 + 2x 2 +x3 = 02x1 +x 2 −3x3 = 0 .3x1 +3x 2 − 2x3 = 0

Решение. Однородная система всегда совместна и имеет единственное тривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы A этой системы равен числу неизвестных. Вычислим ранг матрицы A , совершая линейные преобразования над строчками

1 2 1				1 2 1					1 2				1
	2	1	−3			0	−3	−5			0	−3 −5
A =					~					~				.
	3	3	−2			0	−3	−5			0	0	0
Очевидно, что rgA = 2 , т.е.				ранг матрицы меньше числа неизвестных и

значит система имеет бесконечное множество решений. Исходная система эквивалентна такой:

x	1 + 2x 2 +x3 = 0	или	x	1	+ 2x 2 = −x3	.
	−3x 2 −5x3 = 0				3x 2 = −5x
						3

Полагая, например, x3 =1, получим систему

x	1	+ 2x 2	= −1	,
		3x 2	= −5
решая которую находим x 2 = −5/ 3 ,		x1 = −1 − 2x 2 = 7 / 3 .

Т.е. получим ненулевое частное решение x1 = 7 / 3 , x 2 = −5/ 3 , x3 =1.

104

Полагая x3 =c ( c – любое действительное число) получим общее решение

x1 =	7c , x	2	= −	5c , x	3 =c (c ).
	3			3

Пример 2. Найти фундаментальную систему решений и общее решение

данной однородной системы

x1 + 2x 2 + x3 −x 4 = 0

.

2 −3x

3 +x 4 =

0

2x1 +x

Решение. Вычислим ранг матрицы A этой системы,

приведя ее к тра-

пециевидной форме

1 2 1 −1

1 2 1 −1

A =

−3 1

~

−3

−5 3

.

2 1

0

Очевидно, что rgA = 2 . Данная система эквивалентна такой

x1 + 2x 2

+ x3 − x 4 = 0

.

−3x

2 −5x

3 +3x 4 = 0

Фундаментальную систему

получим,

если

положить сначала x 3 =1,

x 4 = 0 а потом x 3 = 0 , x 4 =1.

Для первого случая будем иметь

x

1

+ 2x 2

= −1

,

−3x 2 = −5

решая которую, находим x 2 = −5/ 3 ,

x1 = 7 / 3 . Т.е.

7 / 3

X

1

=

5/ 3 .

1

0

Для второго случая получим систему

x1 + 2x 2 =1

,

x 2 =

1

решая которую находим X 2 = (−1 1

0

1)T .

Итак, фундаментальная система решений имеет вид

X 1 = (7 / 3 5 / 3 1 0)T , X 2 = (−1 1 0 1)T .

Общее решение X получаем, составляя линейную комбинацию фундаментальной системы:

X =c1 X 1 +c 2 X 2 .

105

Т.е. общее решение имеет вид

			7 / 3
X	=c	1		5 / 3		+c	2
				1
				0

или в координатной форме

−1

101

		=	7	c1 −c 2
x1			3
				5
		= −			c		+c		(c1 ,c 2 ).
x 2				3		1		2
x	3	=c1
		=c 2
x 4

106

Пример 3. Решить неоднородную систему

x1

− 2x 2 + x3 −3x 4 + x5 = 0

+ x 2 − 2x3

+ x 4 − x5 = 2

2x

1

− x 2 + x3 − x 4 + x5 =14 .

x1

2x

1

− 3x

2

+

2x

3

− 4x

4

+

2x

5

=14

− x 2 − x3

− 2x 4

= 2

3x1

Решение. Обозначим через A и A r

соответственно основную и расши-

ренную матрицы системы

1 −2 1

−3 1

1

−2 1 −3 1

0

2

2

1 −2 1 −1

2

1 −2 1 −1

A =

1

−1 1 −1 1 , A r =

1

−1 1 −1 1

11 .

2

−3 2 −4 2

2

−3 2 −4 2

14

3

−1 −1

−2 0

3

−1 −1 −2 0

2

Сначала надо определить, имеет ли эта система решения и сколько. Для

этого приведем расширенную матрицу A r и трапециевидной форме, совершая элементарные преобразования над строками

			1		−2	1	−3	1		0
				0	1	0	2	0		14
												%r
A	r	~		0 0		−4	−3 −3			−68			.
												=A
				0	0	0	0	0		0
				0	0	0	0	0		0
При этом матрица A						~	. Очевидно,				что rgA =rgA			r	= 3, т.е.
			перейдет в A

ранги матриц A и A r совпадают и меньше числа неизвестных. Значит система совместна и имеет бесчисленное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной системы и какоголибо частного решения неоднородной.

Чтобы найти решения однородной системы, запишем эквивалентную

~
систему с матрицей A :
x	1 − 2x 2 + x3 −3x 4 + x5 = 0
	x 2	+ 2x 4	=14 .
		4x3 +3x 4 +3x5 = 68

~

За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом углу матрицы A , т.е. минор, составленный из коэффициентов перед неизвестными x1 , x 2 и

x 3 . Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных переменных x 4 и x 5 так, чтобы в каждом наборе одна

переменная равна 1, а другая 0. Взяв x 4 =1, x 5 = 0 из системы

107

x	1 − 2x	2 +x3 = 3
		x 2	=12 ,
		4x3	= 65

получим x3 = 65 / 4 , x 2 =12 , x1 = 43/ 4 .

Аналогично, взяв x 4 = 0 , x5 =1, получим x3 = 65/ 4, x 2 =14 , x1 = 59 / 4 . То есть получим фундаментальную систему

X 1 = (43/ 4 12 65 / 4 1 0)T , X 2 = (59 / 4 14 65 / 4 0 1)T .

Общее решение однородной системы имеет вид

X =c1 X 1 +c2 X 2 ,

где c1 и c 2 – произвольные числа.

Теперь найдем какое-либо решение неоднородной системы. Система,

соответствующая матрице A r , имеет вид
x	1 − 2x 2 + x3 −3x 4 + x5 = 0
	x 2	+ 2x 4	=14
		4x3 +3x 4 +3x5 = 68

и эквивалентна данной. Положим свободные переменные x 4 и x 5															равными
нулю. Тогда x 3 =17 , x 2 =14 ,			x1 =11,						т.е.		получили частное				решение
z = (17 14 11 0 0)T .
Общее решение системы имеет вид X =Y +Z ,т.е.
43			/ 4					59 / 4 11
	12								14				14
X =c1	65		/ 4	+c			2		65 / 4			+ 17		.
		1								0			0
		0								1			0
В координатной форме общее решение запишется так
			=	43	c		+	59		c 2	+11
x1				4		1			4
x		2	=12c1 +14c 2 +14
				65				65
			=		c		+			c 2	+17 ,
x		3		4		1			4
x		4	=c1
			=c 2
x5

108

где c1 и c 2 – произвольные числа.

§6 Альтернатива Фредгольма для линейных систем.

Рассмотрим линейные системы m уравнений сn неизвестными
a	x	+a x	+ ... +a	1n	x	n	=b
	11 1	12 2					1
a	21x1	+a 22x 2	+ ... +a 2n xn				=b2		(1)
		. . .
am 1x1 +am 2x 2 + ... +am n xn =bn
и
a	y	+a y	+ ... +a	m	y		= 0
	11 1	12 2			1	m
a	12y1	+a 22y 2	+ ... +am 2y m				= 0	.	(2)
		. . .
		+a 2n y 2 + ... +am n y m					= 0
a1n y1

В матричном виде эти системы запишутся соответственно так:

A X =B и AT Y = 0 ,

т.е. матрица коэффициентов в системе (2) получается транспонированием матрицы коэффициентов системы (1).

Важную связь между множествами решений этих систем устанавливает так называемая альтернатива Фредгольма. (Альтернатива – это ситуация, когда имеет место одно из двух утверждений. Альтернативами также называют и сами эти утверждения, от латинского alter – другой, один из

двух).	Для всяких систем A X =B и
Альтернативы Фредгольма.

AT Y = 0 справедливо одно из двух утверждений:

1. Система A X = B имеет решение при любом B тогда и только то-

гда, когда система AT Y = 0 имеет только тривиальное (нулевое) решениеY = 0 .

2. Система A X =B при некотором B несовместна и тогда система

AT Y = 0 имеет нетривиальное (ненулевое) решение.

Доказательство.

1. Пусть система (1), т.е. A X =B , имеет решение при любом B (любом наборе b1,...,bm ). В этом случае rgA =m , так как иначе при некотором B rgA оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера-Капелли. Так как rgAT =rgA , то в этих условиях rgA T =m , то есть равен числу неизвестных в системе (2) и эта система имеет только нулевое (тривиальное) решение.

109

2. Пусть теперь система A X =B	при некотором B несовместна.
Следовательно rgA <m , значит и rgAT	<m , т.е. ранг матрицы системы

(2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое (нетривиальное) решение.

Замечание. Альтернативу Фредгольма можно сформулировать и для линейных операторов.

Пример 1. Дана система

x + 2y +3z =b1 .2x + 4y + 6z =b2

Является ли она совместной при любых значениях b1 и b2 ?

Решение. Имеем

rg		1	2	3 =1.
		2	4	6

1

Если же к матрице приписать справа столбец 0 , то у расширенной мат-

рицы ранг окажется равным 2. Согласно теореме Кронекера-Капелли система

x + 2y +3z =12x + 4y + 6z = 0

несовместна. Следовательно ответ на поставленный вопрос отрицательный.

В силу второй альтернативы система однородных уравнений

y1 + 2y 2 = 02y1 + 4y 2 = 03y1 + 6y 2 = 0

должна иметь нетривиальное решение. Действительно, таким решением является, например, y 1 = 2 , y 2 = −1.

Пример 2. Является ли система совместной при любых b1 и b2 ?

x + 2y +3z =b1 .3x + 4y + 6z =b2

Решение. Ранг матрицы этой системы равен 2. Значит и ранг расширенной матрицы не может быть меньше двух (и не может быть больше, чем 2). Значит при любых b1 и b2 ранг матрицы системы равен рангу расширен-

ной матрицы и система совместна. Т.е. ответ на поставленный вопрос положителен.

110