Литература и лекции / Аналитическая геометрия и линейная алгебра

1)коммутативность A +B =B +A ;

2)ассоциативность (A +B ) +C =A +(B +C ) ;

3) существует нулевая матрица O [m ×n ] такая, что A +O =A для любой матрицы O [m ×n ].

3. Умножение матриц на число. Матрица C = λ A называется произведением числа λ на матрицу A[m ×n ], если для каждого элемента

матрицы C [m ×n ] справедливо соотношение

cij = λaij (i =1,2,...,m ; j =1,2,...,n ) .

Очевидны свойства этой операции:

1) ассоциативность относительно умножения на число:

(λμ)A = λ(μA ), где μ =const

2)дистрибутивность относительно сложения матриц:

λ(A +B ) = λA + λB

3)дистрибутивность относительно сложения чисел:

(λ + μ)A = λA + μA .

Заметим, что здесь B [m ×n ] – матрица.

4. Умножение матриц. Матрица C [m ×n ] называется произведением матрицы A[m ×r ] на матрицу B [r ×n ], если для любого элемента матрицы C имеет место соотношение

	n
cij =ai 1b1j +ai 2b2 j + ... +air brj	= ∑aikbkj ,(i =1,2,...,m ;j =1,2,...,n ) .
При этом пишут: C =A B .	k =1
Прежде всего отметим, что	из определения произведения матрицы

A[m ×r ] на матрицу B [r ×n ] следует, что умножать матрицу A на матри-

цу B можно лишь в том случае, если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B . Кроме того ясно, что в данном случае, вообще говоря, A B ≠B A , так как если r ≠m , то B A просто не определено, т.е. произведение матриц некоммутативно.

Квадратные матрицы одного порядка называются коммутирующими, если A B =B A . Очевидно, что A E =E A =A , т.е. единичная матрица при умножении матриц играет роль обычной единицы. Можно доказать справедливость и других свойств умножения матриц. Принимая во внимание сказанное, перечислим основные свойства умножения матриц:

1)A B ≠B A (умножение матриц некоммутативно);

2)(A B ) C =A (B C ) (ассоциативность);

3) (A +B ) C =A C +B C (дистрибутивность относительно сложения матриц);

4)A E =E A =A ;

5)A O =O A =O , причем здесь O – нулевая матрица;

6)det(A B ) =detA detB , где A и B – квадратные матрицы.

Пример 1. Вычислить A B , если

81

1		1	2		1		1	0
				, B
A =	0	1			=	1	−1 1		.
			−1			0	1	1

Решение. Заметим, что A[2 ×3], B [3×3]. Т.к. число столбцов матрицы

A совпадает с числом строк матрицы B , то произведение A B определено, причем матрица C =A B должна иметь размер [2 ×3]. Примем во вни-

мание, что cij =ai 1b1j +ai 2b2 j + ... +air brj и, полагая r =3, вычисляем элементы матрицы C :

c11 =1 1 +1 1 + 2 0 = 2 ; c12 =1 1 +1 (−1) + 2 1 = 2 ; c13 =1 0 +1 1 + 2 1 = 3 ; c21 =0 1+1 1+(−1) 0 =1; c22 =0 1+1 (−1) +(−1) 1 = −2; c23 =0 0 +1 1+(−1) 1 =0.

2		2	3
Окончательно имеем: C =	1	−2	0	.

Заметим, что произведение A B удобно вычислять, перемещая левую руку по строке первой матрицы слева направо, а правую – по соответствующему столбцу второй матрицы B сверху вниз.

Пример 2. Вычислить A B , если

1
A =	2	, B = (2 1 1).
	1

Решение. Матрицы, что A[3×1], B [1×3]. Число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй, значит, произведение C =A B опре-

делено, причем C [3×3]. Вычисляя элемент cij						(i	=1,2,3;j =1,2,3), получим
матрицу C :
	1 2	1 1	1 1		2	1	1
					4	2	2
C =	2 2 2 1 2 1			=				.
	1 2	1 1			2	1	1
			1 1

Пример 3. Вычислить C =B A , если

1 B = (2 1 1), A = 2 .

1

Решение. B [1×3], A[3×1], значит произведение B A определено, причем C [1×1].

Итак:

82

			1
C =B A = (2 1 1)				2	= (2 1+1 2 +1 1)= (5).
				1
Получили матрицу, имеющую только один элемент c11 =5 .
Пример 4. Вычислить C 1 =A B и C 2 = B A , если
	1	0	1			2	0	0
	1	1		,		1	1	0
A =			1		B =				.
	0	1				2	1	1
			1

Решение.

1 0 1 2 0 0

2 + 0 + 2 0 + 0 +1 0 + 0 +1 4 1 1

1 1 0

2 +1 + 2 0

+1 +1 0 + 0

;

C 1 =A B =

1 1 1

=

+1

=

5 2 1

2 1 1

0 +1 + 2 0

+1 +1 0 + 0

0 1 1

+1

3 2 1

2 0 0

1 0 1 2 + 0 + 0 0 + 0 + 0 2 + 0 + 0

2 0 2

C

1 1 0

1 +1 + 0 0 +1 + 0 1 +1 + 0

2 1 2

2 =B A =

1 1 1 =

=

.

2 1 1

2 +1 + 0 0 +1 +1 2 +1 +1

3 2 4

0 1 1

Заметим, что определены произведения A B и B A , однако A B ≠B A ,

т.е. в данном случае матрицы A и B не коммутируют.

3

Транспонированная матрица

Определение 1.

Матрица AT

называется

транспонированной

по

отношению к данной матрице A , если она получается из матрицы A

путем замены в ней всех строк на соответствующие им столбцы.

Пусть

a11	a12	...	a1n			a11	a 21
A = a 21	a 22	...	a 2n		=>AT	= a12	a 22
	.	...	.				.
.						.
am 1	am 2	...	am n			a1n	a 2n

... am 1

... am 2 .

... .

... am n

Свойства транспонированных матриц (без доказательства)

1) (AT )T =A ;

2) (λA + μB )T = λAT + μB T ;

3) (A B )T =B T AT ;

4) ET =E .

AT	Определение 2. Матрица A , для которой выполняется условие
	=A , называется симметрической.
4	Обратная матрица

83

Определение 3. Матрица A −1 называется обратной по отношению

к квадратной матрице A n -го порядка, если A A −1 =A −1 A =E , где

E – единичная матрица n -го порядка.

Теорема. Для того чтобы у матрицы A существовала обратная матрица

A −1 , необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденная (неособая), т.е. чтобы определитель матрицы A был бы отличен от нуля.

Доказательство.

Необходимость. Пусть существует обратная матрица A −1 , т.е. A A −1 =E , но тогда

det(A A −1 ) =detE =1 => detA detA −1 =1=> detA ≠ 0 .

Достаточность. Пусть = detA ≠ 0 .				Обозначим через Aij алгебраиче-
ские дополнения элементов aij матрицы A .
Рассмотрим матрицу
A11			A 21	...	An 1
			A 22		An 2
A12				...
B =						.
		.		.	.
.
			A 2n		Ann
	A1n			...

Докажем, что B =A −1 , для чего нужно доказать, что A B =B A = =E . Не уменьшая общности доказательства, проведем его для случая n = 3 .

Найдем

					a	11	a12		a13				1	A	11		A 21	A31
C =A B = a						21	a 22		a	23				A12			A 22	A		32	=
							a 32		a								A 23	A
					a 31					33				A13						33
	1	a11A11 +a12A12						+a13A13					a11A 21 +a12A22						+a13A 23
=		a A			+a A			+a A					a A				+a A		+a A
				11			12				13					21		22				23
			21			22			23					21			22				23
		a A		11	+a A		12	+a A			13		a A			21	+a A	22	+a A			23
			31			32			33					31			32				33

a11A31 +a12A32 +a13A33 a 21A31 +a 22A32 +a 23A33 a 31A31 +a 32A32 +a 33A33

На главной диагонали стоят разложения определителя по элементам первой, второй и третьей строк соответственно, а все другие элементы представляют собой сумму попарных произведений элементов какой-то строки определителя на алгебраические дополнения другой строки. Следо-

вательно				0	0
	1
C =A B =		0			0 =E .
			0	0

Аналогично можно доказать, что и B A =E .

.

84

	Свойства обратной матрицы
1)	(A −1 )−1 =A ;
2)	(A B )−1 =A −1 B −1 ;
3)	(A −1 )T = (AT )−1 .
Пример 5. Найти обратную матрицу A−1 , если
	1	2	1
	A = 0	1	1	.
	1	1	2

Решение. Прежде всего вычислим определитель матрицы A :

detA =	1	2	1
	0	1	1	=1 1 2 + 0 1 1 +1 1 2 −1 1 1−1 1 1− 2 0 2 = 2 .
	1	1	2

Найдем алгебраические дополнения матрицы A :

A11	= (−1)1+1	1	1	=1; A 21	= (−1)2+1	2	1	= −3; A31	= (−1)3+1	2	1	=1;
		1	2			1	2			1	1

A12

= (−1)1+2

0 1

=1;

A 22

= (−1)2+2

1 1

=1;

A32

= (−1)3+2

1

1

2

1

2

0

A13

= (−1)1+3

0 1

= −1;

A 23

= (−1)2+3

1 2

=

1;

A33

= (−1)3+3

1

1

1

1

1

0

Сформируем теперь обратную матрицу

1

A11

A 21

A31

−1

A

=

A12

A22

A32

,

detA

A23

A33

A13

11 = −1;

12 =1.

получим											1		− 3	1
				1		−3 1					2		2 2
			1
A	−1	=			1	1	−1		=		1		1	−	1
			2								2		2		2		.
					−1	1	1
												1	1	1
											−
												2	2	2

Убедимся в том, что найденная матрица действительно является обратной. Должно быть A A −1 =A −1 A =E . Имеем:

85

								1		−	3 1							1	+		1 −		1	−	3	+		1 +			1 1		−1+			1
			1 2 1					2			2 2							2					2		2						2 2					2
A A	−1	=		0 1 1				1		1		−	1			=			1		−	1			1		+		1			−	1	+	1			=
								2		2			2						2 2						2 2								2 2
				1 1 2					1 1			1						1			1				3			1				1		1
								−											+			−1		−		+				+1			−
									2 2			2						2			2				2				2			2		2	+1
												1				0		0
														0		1		0
												=								.
														0		0		1
Нетрудно убедиться, что совершенно аналогично A −1 A =E . Убедитесь
в этом самостоятельно.
5 Ортогональная матрица
Определение 4.					Квадратная матрица A																называется ортогональной,
если ее обратная матрица A −1												совпадает с матрицей,																транспонированной
по отношению к матрице A , т.е. если A −1 =AT .
Свойства ортогональных матриц
1) Определитель ортогональной матрицы равен 1 либо																													−1.
Действительно, из A −1 =AT => det(AT A ) =1 => (detA )2 =1 =>
												detA = ±1.

2)Сумма квадратов элементов каждой строки или столбца равна единице.

3)Сумма попарных произведений элементов двух различных строк или столбцов равна нулю.

Доказательство. Докажем для случая n = 3 .

								a11			a 21		a 31		a11
				AT A =E => a					12		a 22		a 32		a	21
											a 23		a
								a13						33	a 31
			a112 +a 212 +a 312					a11a12 +a 21a 22 +a 31a 32
=	a a		11	+a a	21	+a a	31			a	2 +a	2	+a 2
		12		22		32					12	22		32
	a a			+a a	21	+a a	31	a a		12	+a a		22	+a a		32
		13	11	23		33		13			23				33

a12	a13
a 22	a 23	=
a 32	a 33

a11a	13	+a 21a 23		+a 31a 33
a12a	13	+a 22a 23		+a 32a 33	.
	a	2	2	2
		13	+a 23 +a 33

Аналогично, рассматривая A AT =E , получим точно такие же соотношения для элементов строк.

§2 Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

1 Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц называются преобразования трех типов:

86

1)перемена мест двух строк или двух столбцов в данной матрице;

2)умножение строки (или столбца) на произвольное число, отличное от нуля;

3)прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Матрицы, полученные одна из другой путем элементарных преобразова-

ний, называются эквивалентными. Эквивалентность двух матриц обозначается с помощью символа следования, т.е. A =>B (иногда A ~ B ).

Пример 1.

1. Найти треугольную матрицу, эквивалентную данной матрице

		1			0	2
			0		−1	1
	A =						.
			3		0	2
2. Найти диагональную матрицу, эквивалентную матрице A .
Решение.
1. Прибавим к третьей строке первую строку, умноженную на (–3), тогда
	1 0 2			1		0	2
	0 −1 1				0	−1 1
		=>						.
	3 0 2				0 0 −4
				1		0	2
					0	−1	1		, выполнив следующие
2. Преобразуем далее матрицу B =
				0		0	−4

элементарные преобразования:

1) к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (–2), оставив

неизменными первый и второй столбцы:
1		0	2		1		0	0
	0	−1 1				0	−1 1			;
					=>
	0	0	−4			0	0	−4
2) к третьему столбцу прибавим второй столбец:
1		0	0		1		0	0
	0	−1 1				0	−1 0
					=>				.
	0 0		−4			0 0		−4

2Ранг матрицы

Рассмотрим произвольную [m ×n ] матрицу

87

	a11	a12	...	a1n
A	= a 21	a 22	...	a 2n	.
		...	...	...
	...
	am 1	am 2	...	am n

Определение 1. Минором k -го порядка матрицы A называется оп-

ределитель порядка k , элементы которого лежат на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы A (k не превосходит наименьшего из m или n ).

Определение 2. Наибольший порядок не равного нулю минора матри-

цы A называется рангом матрицы A (обозначается r (A ) или rang(A ) ).

Следовательно, если r – ранг матрицы A , то у матрицы A имеется хотя бы один отличный от нуля минор r -го порядка, а все миноры (r +1)-го

порядка равны нулю.

Определение 3. Если r – ранг матрицы A , то любой не равный нулю минор r -го порядка, называется базисным минором.

Для нахождения ранга матрицы, вообще говоря, можно проверить равенство нулю всех миноров (любого порядка) данной матрицы, однако такой способ требует большого объема вычислений. Более экономичным является способ, основанный на использовании того факта, что ранги эквивалентных матриц совпадают. Дело в том, что ранг матрицы A совпадает с числом линейно независимых строк (столбцов), а это число не меняется при элементарных преобразованиях. По этому способу матрица приводится к диагональному виду, из которого не равный нулю минор наивысшего порядка находится без затруднений.

Пример 2. Найти ранг матрицы

1		0	1	2	1
	1	1	−1 1		0
A =						.
	2 1		2	1	1

Решение.
		1	0	1 2 1			1	0	1		2 1
A => A1		0	1		=> A 2		0	1						=>
	=			−2 −1 −1		=			−2 −1 −1
		0	1				0	0	2 −2 0
				0 −3 −1
		1	0	0 0 0			1	0	0	0	0
A3		0	1		=> A 4		0	1	0	0	0
	=			−2 −1 −1		=						.
		0	0				0	0	2	0	0
				2 −2 0

A1 получаем из A , вычитая из второй строки первую, а из третьей строки первую, умноженную на –2; из третьей строки вычитаем вторую – полу-

88

чаем A 2 ; подобным образом получаем нули и над главной диагональю. Ясно, что r = 3 .

3 Линейная независимость строк и теорема о базисном миноре

Определение 4. Строка A =(a1,a 2 ,...,an ) называется линейной ком-

бинацией строк A1 =(b11,b12 ,...,b1n ) , A 2 = (b21,b22 ,...,b2n ) , …,

Ak	= (bk1,bk 2 ,...,bkn ) , если для некоторых чисел γ1 ,			γ2 , …, γk справедливо
равенство		A =γ1A1 +γ2A2 + ...γkAk	или	a j =γ1b1j +γ2b2 j + ...γkbkj
(j	=1,2,...,n ) .

Определение 5. Строки A1,A 2 ,...,Al называются линейно независи-

мыми, если равенство γ1A1 +γ2A2 + ... +γlAl = 0 возможно лишь в том случае, когда все числа γ1,γ2 ,...,γl равны нулю. В противном случае строки называются линейно зависимыми.

Теорема 1. Для того чтобы строки A1 ,A 2 ,...,Al были линейно зависимы,

необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из этих строк являлась бы линейной комбинацией остальных строк.

Доказательство.

Необходимость. Пусть строки линейно зависимы, т.е. γ1A1 +γ2A2 + ... +γlAl = 0 , где хотя бы одно из чисел γi не равно нулю.

Пусть для определенности γ1 ≠ 0 , тогда, разделив предыдущее равенство

на γ1 , получим: A1

= −

γ2

A 2

−

γ3

A3

−... −

γl

Al , а это означает, что A1 явля-

γ

1

γ

1

γ

1

ется линейной комбинацией A 2 ,A3 ,...,Al .

Достаточность. Пусть одна из строк (например A1 ) является линейной комбинацией остальных строк, т.е.

A1	= μ2A 2 + μ3A3 + ... + μlAl => (−1)A1 + μ2A 2 + μ3A3 + ... + μlAl = 0, т.е. строки
A1 ,A 2 ,...,Al линейно зависимы. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь произвольную матрицу:

	a11	a12	...	a1n
A	= a 21	a 22	...	a 2n		,
		...	...	...
	...
	am 1	am 2	...	am n

и пусть r – ранг матрицы A . Тогда существует не равный нулю минор r -го порядка – базисный минор этой матрицы. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, назовем соответственно базисными строчками и базисными столбцами.

Теорема 2. (Теорема о базисном миноре).

89

Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

Доказательство. Все рассуждения приведем для строк. Независимость базисных строк будем доказывать от противного. Пусть

базисные строки линейно зависимы. Тогда по теореме 1 одна из строк является линейной комбинацией остальных. Но тогда из свойств определителя вытекает, что базисный минор равен нулю, чего не может быть, следовательно, базисные строки линейно независимы.

Докажем теперь, что любая строка матрицы A является линейной комбинацией базисных строк. Не нарушая общности, можно считать, что базисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы A . Рассмотрим определитель (r +1)-го порядка вида:

	a11	a12	...	a1r	a1j
	a 21	a 22	...	a 2r	a 2 j
=	.	.	.	.	.	,
	ar 1	ar 2	...	arr	arj
	ak1	ak 2	...	akr	akj

полученный добавлением к базисному минору частей любой k -й строки и любого j -го столбца матрицы A . Докажем, что = 0 . Если j ≤r или k ≤r ,

то = 0 , так как он содержит два одинаковых столбца или две одинаковых

строки. Если j >r и k >r , то	– есть минор (r +1) -го порядка матрицы
A , а всякий такой минор равен нулю.
Итак, = 0 . Разлагая по элементам последнего столбца и обозначая
алгебраические дополнения	элементов aij буквами ci =Aij , получим

c1a1j +c 2a 2 j + ... +cr arj			+cr +1akj = 0 (j =1,2,...,n ) . Но cr +1 =Akj			равно базис-
ному минору, поэтому cr +1 ≠ 0 . Отсюда, обозначая γ1 = −				c1	, γ2		= −	c 2	, …,
	cr		cr +1				cr +1
γr = −		, из последнего равенства получим:
cr +1
		akj	=γ1a1j +γ2a 2 j + ... +γr arj (j =1,2,...,n ) ,

а это означает, что любая k -я строка матрицы A является линейной комбинация базисных строк. Теорема доказана.

§3 Исследование линейных алгебраических систем.

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными x1,x 2 ,...,xn

90