Литература и лекции / Аналитическая геометрия и линейная алгебра

	b
	a			b	a −b
−b	a −b −b				a
		а)	Рис. 2.1.4		б)

§2 Линейная зависимость и независимость векторов. Базисы на плоскости и в пространстве. Прямоугольная декартова система координат.

1 Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть имеется n векторов a1 , a2 , …, an и n постоянных коэффициентов c1 , c 2 ,…,cn . Выражение c1a1 +c 2a2 + ... +cn an называется линейной комбинацией векторов a1 , a2 , …, an .

Определение 1. Векторы a1 , a2 , …, an называются линейно зависи-

мыми, если существуют числа c1 , c 2 ,…,cn , из которых хотя бы одно

отлично от нуля, такие, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю:

c1a1 +c 2a2 + ... +cn an = 0 .

Определение 1*. Векторы a1 , a2 , …, an называются линейно зависи-

мыми, если хотя бы один вектор из этой системы можно выразить в виде линейной комбинации остальных.

Можно доказать, что определения 1 и 1* эквивалентны, т.е. из 1 следует 1* и наоборот.

21

Определение 2. Векторы a1 , a2 , …, an называются линейно незави-

симыми, если линейная комбинация c1a1 +c 2a2 + ... +cn an = 0 лишь при ус-

ловии c1 =c 2 = ... =cn .

Определение 2*. Векторы a1 , a2 , …, an называются линейно незави-

симыми, если ни один из этих векторов нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.

Можно доказать, что определения 2 и 2* эквивалентны.

Заметим, что если один из векторов a1 , a2 , …, an является нулевым, то

совокупность векторов линейно зависима.

Пример 1. Доказать, что коллинеарные векторы линейно зависимы. Действительно, поместим векторы a и b на одной прямой (рис. 2.2.1), тогда можно найти такое λ , при котором a = λb => 1 a +(−λ) b = 0 , а это и озна-

чает, что a и b линейно зависимы.

Пример 2. Доказать, что любые три вектора a, b и c, лежащие в плоскости, линейно зависимы.

Действительно, поместим начало всех трех векторов в общую точку (рис.2.2.2). Очевидно, тогда можно подобрать единственную пару чисел λ1

и λ2 , так что будет c = λ1a + λ2b , а это и означает, что векторы a, b и c линейно зависимы.

b	c
a	b

a

Рис. 2.2.1	Рис. 2.2.2
Определение 3. Ненулевые векторы	a1 , a2 , …, an называются ком-

планарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Из сказанного выше следует, что три компланарных вектора линейно зависимы.

Пример 3. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы. Действительно, можно подобрать, причем единственным образом, такие

числа λ1 , λ2 , λ3 , что будет d = λ1a + λ2b + λ3c (рис. 2.2.3).

d

c

b

a

λ3c

λ1a 22

2 Базисы на плоскости и в пространстве

Определение 1. Совокупность любых двух линейно независимых векторов, принадлежащих данной плоскости, называется базисом на этой плоскости. Если e1 , e2 – базис на плоскости, то для любого век-

тора a , лежащего в этой плоскости, можно найти единственным образом такие числа x1 и x 2 , что будет a =x1e1 +x 2e2 . Числа x1 и x 2 называются координатами вектора a в данном базисе.

Определение 2. Совокупность любых трех линейно независимых векторов e1 , e2 , e3 в пространстве называется базисом в простран-

стве. Если a – произвольный вектор, то всегда можно найти единственным образом числа x1 ,x 2 , x3 такие, что будет иметь место пред-

ставление: a =x1e1 +x 2e2 +x3e3 . Коэффициенты x1 ,x 2 , x3 в разложении

данного вектора по базису называются координатами вектора a в бази-

се e1 , e2 , e3 .

3 Прямоугольная декартова система координат

Из всех возможных базисов (e1 , e2 , e3 ) в пространстве выберем такой, чтобы все векторы, входящие в этот базис, были попарно ортогональны

) =

π , (i , j =1,2,3)) , далее умножим каждый базисный вектор на

(т.е. (e ,e

j

i

2

1

ei

λi =

, т.е.

разделим каждый вектор ei

на его длину. Обозначимei0 =

.

ei

ei

Получим базис e10 , e20 , e30 . Такой базис называется ортонормирован-

ным.

Определение 1. Три некопланарных вектора a , b и c , взятых в указанном порядке и приложенных к одной точке называют тройкой векторов.

Определение 2. Тройка векторов a , b , c называется правой, если

при наблюдении с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b происходит против движения часовой стрелки.

Ограничимся выбором правой тройки базисных векторов e10 , e20 , e30 .

Поместим далее начало векторов, входящих в выбранной базис, в общую точку 0 и из этой точки проведем оси O x , O y , O z , направления которых

совпадают с направлениями векторов e10 , e20 , e30 .

Получим так называемую пространственную прямоугольную правую декартову систему координат O xyz Причем принято орты обозначать

23

так: e 0	= i , e	0 = j, e 0	= k (рис. 2.2.4). Ось O x называется осью абсцисс,
1	2	3
ось O y	– осью ординат, ось O z – осью аппликат.

Если базис состоит из двух векторов i и j, получим прямоугольную правую декартову систему координат на плоскости – систему O xy .

z k

x	i	y

§3 Проекция вектора на ось. КоординатыРис. 2.2.4 вектора. Компоненты

вектора.

1 Проекция вектора на ось.

Пусть вектор AB лежит на некоторой оси l . Направление орта l0 соответствует направлению оси (рис. 2.3.1).

24

B

				A
l	0	A	B	l0
			l	′	B	′	l
				A
		Рис. 2.3.1		Рис. 2.3.2

Определение 1. Проекцией вектора, лежащего на оси, на эту ось на-

зывается число, по абсолютной величине равное длине вектора и взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если они противоположны.

Пусть вектор AB не лежит на оси l . Из точек A и B опустим перпендикуляры на ось l . Получим соответственно две точки A ′и B ′ (рис. 2.3.2).

Вектор A′B′называется компонентой вектора AB по оси l .

Определение 2. Проекцией вектора, не лежащего на оси l , на эту ось называется проекция его компоненты по оси l на эту же ось. Проек-

ция вектора на ось обычно обозначается так: прl AB . Очевидно, если вектор AB лежит на оси l , то можно написать: AB = (прl AB) l0

2 Компоненты вектора по координатным осям и координаты точки

Поместим начало вектора a в начало декартовой системы координат

O xy z (его конец – точка A ).
Спроектируем точку A на координатные оси.							Получим соответственно
три точки A1 , A 2 , A3 (рис. 2.3.3). uuur						uuur uuur
Как было отмечено, векторы O A1 , O A 2 , O A3 , лежащие на координатных
осях O x ,		O y и O z , являются компонентами вектора a по координатным
осям. Обозначим через ax , ay					и az	– проекции вектора a на координатные
				uuuur		uuur		uuuur
оси.	Ясно,		что	O A1	=ax i ,	O A 2 =ay	j,	O A3 =az k ,	т.к.
uuur	uuuur	uuuuur	uuuur	uuuur	uuuur	uuuur
O A	=O A1	+A1A 2′	+A 2′A	=O A1 +O A 2 +O A3 , то a =ax i +ay j +az k .

Такое представление вектора a называется разложением его на компо-

ненты, или составляющие по координатным осям. Нетрудно заметить, ur

что вектор a лежит на диагонали параллелепипеда, следовательно, можно найти его длину, т.е. a = ax2 +ay2 +az2 .

Проекции вектора a на координатные оси, т.е. числа ax , ay и az , являют- r

ся координатами вектора a и записываются так: a = a(ax ,ay ,az ) или a ={ax ,ay ,a z }.

25

z	A3				z
	k	A			rz k		M
					k	r
0		A2
	j	rx i	y		0		j ry j	y
i					i
A1		A2′			rx i
				x
x Рис. 2.3.3					Рис. 2.3.4				uuuur
Рассмотрим теперь некоторую точку M в пространстве. Вектор r									=O M
называется радиус-вектором точки M				(рис 2.3.4). Проекции rx ,				ry ,	rz ра-

диус-вектора точки M на координатные оси называются координатами точки M в данной системе координат, и при этом их обозначают просто x , y и

z , т.е. точка M имеет координаты x , y и z , записывают так: M (x ,y ,z ).

§4 Теоремы о проекциях вектора.

Определение 1. Углом между вектором a и осью l называется наи-

меньший угол между направлением вектора a и положительным направ-

^

лением оси l , обозначается (a , l) .

Теорема 1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью.

Доказательство. Пусть угол θ острый, тогда прl									AB =	AB	cosθ . Если
же θ тупой (рис. 2.4.1), то ясно, что прl		A′B′ =		AB			cosθ .
B								z
A									γ
B1								0		β
	θ										y
B ′									α
	l
A ′
Замечание (о направляющих косинусах вектора).								Рис. 2.4.2
Косинусы угловРисα , . β2.4и.1γ , которые вектор a					x
					образует с координатными
осями O x , O y и O z соответственно,		называются направляющими коси-
нусами вектора a (рис. 2.4.2). Если ax , ay , az					проекции вектора a на ко-
ординатные оси, то ясно, что имеют место формулы
	26

cosα = a x

ax

=

a

cosα

a

a

ay

=

a

cos β => cos β =

y

=> cos2 α + cos2 β + cos2 γ

=1.

a

az

=

a

cosγ

cosγ =

a

z

a

B

z

a

b

A

A

C

a

ra

B

rb

0

y

l

0

A ′

C ′

l

B ′

x

Рис. 2.4.3

Рис. 2.4.4

Теорема 2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на эту же ось, т.е. прl (a +b) = прl a + прl b .

Доказательство.

A′B′ = (прl AB) l0 ; B′C′ = (прl BC ) l0 ; A′C′ = (прl AC ) l0

С другой стороны (рис. 2.4.3),

A′C′ = (прl a) l0 + (прl b) l0 = (прl a+ прl b) l0 .

Сравнивая правые части равенств (1) и (2), получаем

прl (a+ b) = прl a+ прl b .

Пример 1. Найти координаты вектора AB и его длину, если известны

координаты его начала A (xA ,y A ,z A ) и конца B (xB ,y B ,z B ) – (рис. 2.4.4).

Решение.

Проведем радиус-векторы точек A и B: r1 и r2 .

Ясно, что rA =xA i +y A j +z A k ; rB =xB i +y B j +z B k uuuur

A B = rB −rA = (xB −xA )i+(y B −y A ) j+(z B −z A )k .

Итак, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответственно координаты начала.

Мы получили ранее, что если a = (ax ,ay ,az ),			то		a		=	ax2 +ay2 +az2 . Сле-
	uuuur	= (xB −xA )2 +(y B −y A )2 +(z B	−z A )2 .
довательно,	A B							Заметим, что по

этой формуле удобно вычислять расстояние между двумя точками, если известны их координаты.

Теорема 3. При умножении вектора a на число λ его проекция на ось также умножается на это число, т.е. прl (λa) = λ прl a .

(Без доказательства).

27

Теорема 4. Для того чтобы два вектора были равны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции на любую ось были равны.

(Доказать самостоятельно).

Пример 2. Даны точки A(1, –1,2) и B(3,2,3) (рис 2.4.5)

Найти: 1. Координаты вектора AB ; 2. Длину вектора AB ; 3. Разложение вектора AB на составляющие; 4.Направляющие косинусы вектора AB ;5. Единичный вектор (орт), соответствующий вектору AB .

Решение 1. Принимая во внимание предыдущий пример,							получим:
xB −xA = 2 , y B −y A = 3,			z B −z A =1. Итак AB(2,3,1) .
			ax2 +ay2 +az2 , значит	uuuur		= 22 +32 +12 =
2. Напомним, что	a	=		A B			14 .

3. Так как a =ax i +ay j +a z k , то AB = 2 i+3 j+k .

4. Напомним, что ax = a cosα , ay = a cos β , a z = a cosγ , где α , β , γ – углы, которые вектор AB составляет с координатными осями O x , O y , O z .

Как известно, cosα ,				cos β , cosγ		называются направляющими косинуса-
ми вектора a . В нашем случае
cosα =	2	, cos β =		3	, cosγ =	1	.
	14			14		14

5. Единичный вектор a0 , соответствующий вектору a , равен													a0 =			a			. Та-
																a
ким образом a0 (	2	,	3	,	1	) или a0 =	2	i+	3	j+	1	k . Нетрудно от-
	14		14		14		14		14		14

метить, что координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами.

		B (3,2,3)		C
	a0		A	B
	A (1,−1,2)
		uuuur		Рис. 2.4.6
Пример 3.		Рис. 2.4.5			B (1,2,−1) ,
		Дан вектор A B = i+ j+ 2k и координаты точек
		uuur
C (2,2,5) . Найти координаты вектора A C . (рис. 2.4.6)
		uuur	uuur	={1,0,6}.
Решение. Найдем координаты вектора B C :			B C
uuuur	uuuur	uuuur
A C	=A B	+B C = (i+ j+ 2k) +(i+ 6k) = 2i+ j+8k
	uuuur
Итак A C ={2,1,8}.
Пример 4.		Выяснить, при каких значениях параметров λ и			μ вектора
a = λi + 2j +3k и b = i + j + μk коллинеарны.

28

Решение. Напомним, что два вектора a и b коллинеарны, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой, а тогда, как было отмечено выше, они линейно зависимы. Следовательно, существует некая константа c такая, что имеет место соотношение a =c b .

Откуда следует, что λi + 2j +3k =c (i + j + μk) . Значит

(λ −c )i +(2 −c )j +(3 −c μ)k = 0.

Так как векторы i , j, k линейно независимы, ибо они представляют со-

бою базис, то должны обращаться в ноль коэффициенты этой линейной комбинации, т.е.

λ −c = 0 2 −c = 0 . 3 −c μ = 0

Из второго уравнения имеем c = 2 ; подставляя его в первое и третье уравнения, получим значения интересующих нас констант: λ = 2 , μ = 32 .

§5 Скалярное произведение и его свойства.

1 Определение скалярного произведения

Определение. Скалярным произведением a b двух ненулевых векто-

ров a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

a b = a b cos(a,b).

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение этих векторов равно нулю (по определению).

a =b a a = a 2 =

Если , то , так как cos(a,a) 1.

Отсюда следует, что a = a a .

Заметим, что скалярное произведение a a называется скалярным квадратом и обозначается a2 . Следовательно, a2 = a 2 a = a2 . Заметим, что иногда скалярное произведение обозначают (a,b) .

Свойства скалярного произведения

1) скалярное произведение можно определить через проекцию a b = a прa b = b прb a .

Действительно, прab =	b	cos(a,b) , но	a b =	a		b	cos(a,b) =	a	прa b , от-

сюда можно получить также прab = aab .

2) коммутативность:

a b =b a .

29

Это свойство очевидно, так как cos(a,b) = cos(b,a) .
3)	ассоциативность относительно числового множителя λ :
				(λa) b = a (λb) = λ(a b).
4)	дистрибутивность относительного сложения векторов:
						a (b +c) = a b +a c .
Доказательство.
ur	r	r	ur
a	(b	+c ) =	a	прa (b+c) =	a	(прa b+ прa c) =	a	прa b+	a	прa c = a b+a c

Следствие. (a +b) (c +d) =a c +b c +a d +b d .

2 Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов

Напомним, что два ненулевых вектора a и b называются ортогональными, если они образуют прямой угол, т.е.

	π .
(a,b) =
	2

Теорема. Для того чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение обращалось в нуль.

Доказательство.

Необходимость. Пусть векторы a и b ортогональны, тогда

cos(a,b) = 0 => a b = 0 .

Достаточность. Пусть a b = 0 . Так как векторы ненулевые, то отсюда

следует, что cos(a,b) = 0 , а это и означает, что векторы a и b ортогональны.

3 Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами

Пусть a =(ax ,ay ,az ), b =(bx ,by ,bz ) . Очевидно, что i j = j i = 0; i k = k i = 0 ; j k = k j = 0 .

В силу свойства 4 получим

a b =(ax i +ay j +az k) (bx i +by j +bz k) = axbx +ayby

В частности,

a = a2 = ax2 + a2y + az2 .

i2 = j2 = k2 =1;

+azbz .

4Угол между двумя векторами

Если a и b – ненулевые векторы, то, принимая во внимание определе-

ние вектора и п.4, получим такое выражение для угла (a,b) между векторами a и b:

30