Литература и лекции / Аналитическая геометрия и линейная алгебра

^	(a,b)								axbx +ayby	+a zbz
(a,b) = arccos		a				b		= arccos			.
									ax2 +ay2 +az2	bx2 +by2 +bz2

Отсюда нетрудно получить условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов в координатной форме: axbx +ayby +azbz = 0 .

5 Механический смысл скалярного произведения

Если F – сила, действующая на перемещении S, то работа A этой силы

на указанном перемещении, как известно, равна F S cos(F,S) , т.е.

A = F S (рис. 3.5.1).

F

θ

Рис. 3.5.1

S

Пример 1.

Даны

три

точки

A (2,3,5), B (1,2,2),

C (3,5,4) .

Найти

uuuur

uuur

прBuuuurC A B и направляющие косинусы вектора A B .

uuuur

={−1,−1,−3} ,

uuur

Решение. а) A B

B C ={2,3,2}

uuuur

uuuur

uuuur^uuuur

uuuur

uuuur

A B

B C

(−1) 2 +(−1) 3 +(−3) 2

11

прBuuuurC A B =

A B

cos

(A B ,B C ) =

uuuur

=

= −

.

17

B C

22

+32

+ 22

б) cosα =

−1

; cos β =

−1 ;

cosγ =

−3 .

11

11

17

π

Пример 2. Дан вектор a =m +n ,

m

n

=

= 2 , m,n

=

. Найти длину век-

тора a .

3

Решение. Найдем скалярный квадрат вектора a :

a2 = (m +n) (m +n) .

Раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения:

(m +n) (m +n) = m2 + n m + m n + n n = m2 + 2m n + n2 =

31

= m 2 + 2 m n cos(m,n) + n 2

= 4 + 2 2

2

cos π

+ 4 =8 +8 1

=12 .

a

= a2

3

2

=

12 .

Пример 3. При каком значении α векторы a = i + 2j +k и

b = 2i +αj + 2k

ортогональны.

Решение. Принимая во внимание условие ортогональности двух векто-

ров axbx +ayby +a zbz = 0 , получим 1 2 + 2 α +1 2 = 0 . Следовательно

α = −2 .

§6 Векторное произведение и его свойства.

1 Определение векторного произведения

Определение. Векторным произведением a ×b ненулевых векторов a и b называется такой вектор c , который удовлетворяет трем условиям:

1.c = a b sin(a,b), т.е. длина вектора c = a ×b численно равна площади параллелограммаr , построенного на этих векторах.

2.Вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a

иb .

3.Тройка a , b , c – правая (рис. 2.6.1).

Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то по определению a ×b = 0 . Заметим, что иногда векторное произведение двух векторов a и b обозначается символом [a;b].

c

b

a

Рис. 2.6.1

32

Свойства векторного произведения

1) коммутативность: a ×b = −b ×a .

Это очевидно, так как при перестановке векторов изменится ориентация тройки.

2)ассоциативность относительно числового множителя λ :

λ(a ×b) = (λa) ×b = a ×(λb) .

(без доказательства)

3) дистрибутивность относительно сложения векторов: a ×(b +c) = a ×b +a ×c .

Следствие. (a +b) ×(c +d) = a ×c +b ×c +a ×d +b ×d .

То есть скобки можно раскрывать, как при обыкновенном умножении, не переставляя при этом местами сомножители.

2 Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов

Теорема. Для того чтобы два ненулевых вектора a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.

Доказательство.

Необходимость. Пусть векторы a и b коллинеарны, тогда они лежат на

одной прямой, следовательно, sin(a,b) = 0 =>		a ×b		= 0 . Значит, a ×b = 0
Достаточность. Пусть векторное произведение				a ×b = 0 . Так как		a		≠ 0 ,

b ≠ 0 , то значит sin(a,b) = 0 , т.е. (a,b) = 0 или (a,b) =π , а это означает, что

векторы a и b коллинеарны.

Замечание. Заметим, что если два вектора a(ax ,ay ,az )

коллинеарны, то существует такое		число				λ ,		при котором
ax i +ay j +a z k = λ(bx i +by j +bz k) =>
ax = λbx			a			ay			a
=> ay = λby		=>		x	=			=		z .
							by
az = λbz			bx						bz

и b(bx ,by ,bz ) a = λb , т.е.

Итак, мы доказали, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

3 Векторное произведение векторов, заданных своими координатами

Заметим, что i ×i = j× j = k×k = 0 . Далее очевидно, что i × j = k , j×k = i , k ×i = j, j×i = −k , k × j = −i , i × j = −j .

Применяя свойство 3, перемножим векторно векторы a =ax i +ay j +az k и b =bx i +by j +bz k

33

a ×b =(ax i +ay j +az k)×(bx i +by j +bz k) =axbx i ×i +aybx j×i +a zbx k ×i +

+axby i × j +ayby j× j +azby k × j +a xbz i ×k +a ybz j×k +a zbz k ×k =

	i	j	k
= (aybz −azby )i−(axbz −azbx ) j+(axby −aybx )k =	ax	ay	a z	.
	bx	by	bz

4 Механический смысл векторного произведения

Если сила F поворачивает тело вокруг оси l , то момент M силы F , как известно, равен M = r ×F (рис. 2.6.2).

l	c = AB × AC
F	c0	С
0 r
	A
	−c0	B
Рис. 2.6.2		Рис. 2.6.3

Пример 1.

1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках

A(−1,1,2) , B (2,3,2) и C (1,2,−1) ;

2.Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки A , B и C .

Решение.

uuuur

uuuur

1. A B (3,2,0) , A C (2,1,−3) ,

uuuur

uuuur

i

j

k

1+1

2

0

1+2

3

0

1+3

3

2

A B

×A C

=

3

2

0

= (−1)

i

1

−3

+(−1)

j

2

−3

+

(−1)

k

2

1

=

2

1

−3

= −6i+9 j−k

uuuur

uuuur

=

(−6)2 +92 +(−1)2 =

118 .

A B

×A C

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, по-

uuuur uuuur		118
строенного на векторах A B и A C , следовательно S A B C	=		.
		2
			uuuur	uuuur
2. В силу определения векторного произведения вектора c =A B				×A C ,

два вектора

34

±c0 = ± −6i +9j −k

118

удовлетворяют поставленной задаче (рис. 2.6.3).

§7 Смешанное произведение трех векторов.

1 Определение смешанного произведения

Определение. Смешанным произведением ненулевых векторов a , b , c называется скалярное произведение вектора a и векторного произведения вектора b на вектор c , т.е. выражение a (b ×c) .

2 Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов

Теорема. Для того чтобы ненулевые векторы a , b и c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство.

Необходимость. Пусть векторы a , b и c компланарны. Тогда их можно поместить в одной плоскости, и вектор b ×c окажется перпендикулярным вектору a , следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е. a (b ×c) = 0 .

Достаточность. Пусть a (b ×c) = 0 . Так как векторы ненулевые, то мо-

жет быть:

1) b ×c = 0 , тогда b = λc , следовательно, векторы a , b и c можно поместить в одной плоскости, т.е. они компланарны;

2) b ×c ≠ 0, но a (b ×c) = 0 => a (b ×c). Это значит, что вектор a лежит в одной плоскости с векторами b и c.

3 Геометрический смысл смешанного произведения

Предположим, что векторы a , b и c некомпланарны. Построим параллелепипед на этих векторах, принимая за основание параллелограмм, построенный на векторах b и c (рис. 2.7.1).

1) Пусть a , b , c – правая тройка. Тогда угол между векторами a и (b×c) острый, т.е. векторы a и (b×c) лежат в одном полупространстве относительно плоскости, которая проходит через векторы b и c.

b ×c

h a

c

b

35

^	Рис. 2.7.1
Очевидно, что a cos(a , (b×c)) = прb×c a = h дает нам высоту параллеле-

пипеда, следовательно, a (b ×c) есть не что иное, как объем параллелепи-

педа, построенного на векторах a ,b , с.
2) Если a , b , c – левая тройка,	то векторы a и (b×c)			будут лежать в
	^
разных полупространствах, а тогда		a	cos(a , (b×c)) = −h,	следовательно,

a (b ×c) будет равно объему параллелепипеда, взятому со знаком минус. Итак, объем параллелепипеда v = ±a (b ×c) или v = a (b ×c) .

Вывод. Абсолютная величина смешанного произведения трех ненулевых векторов дает нам объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Свойства смешанного произведения

1) a (b ×c) = b (c ×a) = c (a ×b) .

То есть смешанное произведение не меняется при циклической перестановке перемножаемых векторов.

Действительно, каждое произведение имеет один и тот же модуль в силу геометрического смысла смешанного произведения. Знаки их также совпадают, так как ориентация тройки не меняется при циклической перестановке векторов.

2) a (b ×c) = −a (c ×b) .

Действительно, при перестановке двух соседних векторов модуль смешанного произведения не меняется, а знак меняется на противоположный, так как тройка меняет свою ориентацию.

3) a (b ×c) = c (a ×b) = (a ×b) c .

Действительно, в силу первого свойства:		a (b ×c) = c (a ×b) . С другой
стороны,	c (a ×b) = (a ×b) c , откуда	и следует окончательно:

a (b×c) = (a×b) c . Поэтому иногда смешанное произведение обозначают

(a, b, c) .

4) Если a = (ax ,ay ,a z ), b = (bx ,by ,bz ) , c = (cx ,cy ,cz ), то

36

ax ay

(a,b,c) = bx by cx cy

Действительно, a (b×c) =(ax ,ay ,az ) by

cy

=a

x

by

bz

−a

y

bx

bz

+a

z

bx

cy

cz

cx

cz

cx

az bz . cz

b

;−

b

b

;

b

b

=

c

z

c

x

c

z

c

x

c

y

z

x

z

x

y

by

ax

ay

az

=

bx

by

bz

.

cy

cx

cy

cz

37

§8 Двойное векторное произведение.

Определение. Двойным векторным произведением трех ненулевых векторов a , b и c называется вектор a ×(b ×c) ; если хотя бы один из

def

векторов a , b или c равен нулю, то a ×(b ×c) = 0 .

Итак, мы видим, что двойное векторное произведение представляет собою векторную величину. Заметим, что объекты типа a ×(b ×c) часто встре-

чаются в физике и механике. Выведем простую форму для вычисления двойного векторного произведения.

Итак, допустим, что нам известны координаты векторов, т.е.

a =ax i +ay j +az k , b =bx i +by j +bz k , c =cx i +cy j +cz k .

Вычислим a ×(b ×c) .

Обозначим v = b ×c , u = a ×(b ×c) = a × v .

Найдем вектор v . Известно, что вектор v =b ×c выражается через координаты векторов b и c так:

	i	j	k
v =	bx	by	bz	= (bycz −bzcy )i +(bzcx −bxcz )j +(bxcy −bycx )k ,
	cx	cy	cz

то есть

vx =bycz −bzcy , vy =bzcx −bxcz , vz =bxcy −bycx .

В свою очередь, аналогично

u = a × v = (ay vz −az vy )i +(az vx −axvz )j +(axvy −ay vx )k .

Подставим в правую часть этого равенства полученные выражения для vx , vy и vz и, кроме того, выполним искусственное преобразование, доба-

вив и отняв к правой части выражения axbxcx i , aybycy j, azbzcz k . Получим:

u =a×(b×c) =[aybxcy −aybycx −azbzcx +azbxcz ]i +[azbycz −azbzcy −axbxcy +axbycx ]j+[axbzcx −axbxcz −aybycz +aybzcy ]k +axbxcxi −axbxcxi +aybycy j− −aybycy j+azbzcz k −azbzcz k =bx (aycy +azcz )i +axbxcxi +by (azcz +axcx )j+ +aybycy j+bz (axcx +aycy )k +azbzcz k −[cx (ayby +azbz )i +axbxcxi +cy (azbz + +axbx )j+aybycy j+cz (axbx +ayby )k +azbzcz k]=(bxi +by j+bz k)(axcx +aycy + +azcz ) −(cxi +cy j+cz k) (axbx +ayby +azbz ) =b(a c) −c(a b)

38

(a ×b) ×c

Итак, получили: a ×(b ×c) = b(a c) −c(a b).

Отметим, что справа в скобках стоят числа, равные скалярным произведениям a c и a b ; они являются коэффициентами линейной комбинации векторов b и c , через которые выражается двойное векторное произведение a ×(b ×c) . Нетрудно заметить, что двойное векторное произведение

представляет собою вектор, который лежит в той же плоскости, что и векторы b и c , т.е. векторы a ×(b ×c) , b и c компланарны.

Остановимся теперь на вычислении выражения (a ×b) ×c , которое, во-

обще говоря, также является двойным векторным произведением. Действительно:

(a ×b) ×c = −c ×(a ×b) = −[a(c b) −b(c a)] = b(a c) −a(b c),

т.е. представляет собою вектор, лежащий в одной плоскости с векторами a и b . Очевидно также, что a ×(b ×c) ≠ (a ×b)×c .

Другие свойства двойного векторного произведения нетрудно проанализировать, принимая во внимание свойства скалярного и векторного произведения.

Пример 1. Показать,	что точки A (1,2,1) , B (3,3,3) ,		C (4,1,2) и D (5,4,5)
лежат в одной плоскости.		uuur uuur	uuur
Решение. Найдем координаты векторовA B , A C и A D .
uuuur	uuur	uuur
A B (2,1,2) , A C (3,		−1,1) , A D (4,2,4).
Если точки A , B , C	и D лежат в одной плоскости, то и векторы лежат

в одной плоскости (рис. 2.8.1), а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

B A C

Рис. 2.8.1
Действительно,
( AB , AC , AD ) =		2	1	2
		3 −1 1				= 0,
		4	2	4
т.к. первая и вторая строки определителя пропорциональны.
Пример 2. Доказать, что векторы			a = i + j + 2k , b = 3i + 4j +k и

c = i + 2j −3k линейно зависимы и найти эту линейную зависимость.

Решение.

39

		(a ,b ,c )=			1	1	2
					3	4	1	=0,
					1	2	−3
следовательно, векторы a ,		b и c компланарны, а значит, они линейно за-
висимы, т.е. существуют константы λ ,						μ и ν такие, что λa+ μb+ν c , т.е.
λ(i+ j+ 2k) + μ(3i+ 4 j+k) +ν(i+ 2 j−3k) = 0 ,									откуда	следует:
(λ +3μ +ν)i+(λ + 4μ + 2ν) j+(2λ + μ −3ν)k = 0 , т.к.									i , j, k	– базисные век-
торы, то имеем такую систему для нахождения λ ,									μ и ν :
λ +3μ +ν =0	λ +3μ +ν =0			λ +3μ +ν =0							λ = 2ν
	μ +ν =0									+ν = 0
λ +4μ +2ν =0				μ =−ν				λ −3ν
											μ = −ν
2λ +μ −3ν =0	−5μ −5ν =0

Здесь ν выступает в качестве параметра, и данная система имеет бесчисленное множество решений. Подставим λ = 2ν , μ = −ν в указанную вы-

ше линейную комбинацию: 2νa −νb +νc = 0 . Сократим на ν ≠ 0 . Получим искомую линейную зависимость 2a −b +c = 0 .

40