Литература и лекции / Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Определение 1. Линейное пространство L называется метрическим, если любым двум элементам этого пространства x и y постав-

лено в соответствие неотрицательное число ρ(x,y) , называемое расстоянием между x и y , (ρ(x,y) ≥ 0) , причем выполняются условия (аксиомы):

1)ρ(x,y) = 0 Ù x = y ;

2)ρ(x,y) = ρ(y,x) (симметрия);

3) для любых трех векторов x , y и z этого пространства

ρ(x,y) ≤ ρ(x,z) + ρ(z,y).

Замечание. Элементы метрического пространства обычно называют точками.

Очевидно, что евклидово пространство En – метрическое, причем в качестве расстояния между векторами x En и y En можно взять x − y .

Так, например, в пространстве одностолбцовых матриц, где

x1			y1
x = x 2		,	y = y 2		,
...			...
xn			y n

получим

x − y = (x1 −y1 x 2 −y 2 ... xn −y n )T ,

следовательно,

ρ(x ,y ) = (x1 −y1 )2 +(x 2 −y 2 )2 + ... +(xn −y n )2 .

Определение 2. Линейное пространство L называется нормированным, если каждому вектору x из этого пространства поставлено в со-

ответствие неотрицательное число, называемое его нормой x . При этом выполняются аксиомы:

1)x ≥ 0 x ; x = 0 Ù x = 0 ;

2)λx = λ x для x L и любого числа λ ;

3)x + y ≤ x + y для x L и y L (неравенство треугольника).

Нетрудно видеть, что нормированное пространство является метрическим пространством. В самом деле, в качестве расстояния между x и y

можно взять x − y . В евклидовом пространстве En в качестве нормы любого вектора x En принимается его длина, т.е. x = x .

Нетрудно убедиться, что все аксиомы нормы выполняются для выбранной таким образом нормы евклидова пространства En .

Итак, евклидово пространство En является метрическим пространством

и более того, евклидово пространство En является нормированным пространством.

121

5 Угол между векторами

Заметим, что из неравенства Коши-Буняковского следует, что

	(x,y)							≤1 ( x ≠ 0 , y ≠ 0 ).
	x				y

Определение 1. Углом между ненулевыми векторами a и b евкли-

дова пространства En называют число ϕ [0,π], для которого

	cosϕ =	(a,b)			.
		a		b

Определение 2. Векторы x и y евклидова пространства E называются ортогональными, если для них выполняется равенство (x,y) = 0 .

Если x и y – ненулевые, то из определения следует, что угол между ними равен π2 . Заметим, что нулевой вектор по определению считается

ортогональным любому вектору.

Пример. В геометрическом (координатном) пространстве R3 , которое является частным случаем евклидова пространства, орты i , j и k взаимно

ортогональны.

6 Ортонормированный базис

Определение 1. Базис e1,e2 ,...,en евклидова пространства En называ-

ется ортогональным, если векторы этого базиса попарно ортогональ-

ны, т.е. если (ei ,ej ) = 0 (i ≠ j ; i =1,2,...,n ; j =1,2,...,n ) .

Определение 2. Если все векторы ортогонального базиса e1,e2 ,...,en единичны, т.е. ei =1 (i =1,2,...,n ) , то базис называется ортонормированным, т.е. для ортонормированного базиса

0, i ≠ j	(i =1,2,...,n ; j =1,2,...,n ) .
(ei ,ej ) =
1, i = j

Теорема (о построении ортонормированного базиса).

Во всяком евклидовом пространстве En существуют ортонормированные базисы.

Доказательство. Докажем теорему для случая n = 3 .

Пусть E1 ,E2 ,E3 – некоторый произвольный базис евклидова пространства E3 . Построим какой-нибудь ортонормированный базис e10 , e20 ,e30 в этом

пространстве.

Положим e1 = E1 , e2 = E2 +αe1 , где α – некоторое вещественное число, которое выберем таким образом, чтобы было (e1 ,e2 ) = 0 , тогда получим

122

(E ,E +αE ) = (E ,E ) +α(E ,E ) = 0 => α = −							(E1,E2 )	,
1	2	1	1	2	1	2	(E1 ,E1 )
причем очевидно, что α = 0 , если E1					и E2
						ортогональны, т.е. в этом случае
e2 =E2 , а E2 ≠ 0 , т.к. это базисный вектор.
Далее, определим вектор e3				равенством e3 =E3 + β1e1 + β2e2 , причем чис-

ла β1 и β2 определяется из условия ортогональности вектора e3 с вектора-

ми e1 и e2 , т.е.
(e3 ,e1 ) = 0	=>	(e1 ,E3 ) + β1(e1 ,e1 ) + β2 (e1 ,e2 ) = 0
									.
(e3 ,e2 ) = 0		(e2 ,E3 ) + β1(e1 ,e2 ) + β2 (e2 ,e2 ) = 0
Учитывая, что (e1,e2 ) = 0 , получим
β = −			(e1,E3 )	; β	2	= −	(e2 ,E3 )	.
	1		(e1 ,e1 )				(e2 ,e2 )
Очевидно, что β1 = β2 = 0 , если e1				и e2 ортогональны с вектором E3 , т.е.
в этом случае следует взять e3 = E3 . Вектор E3 ≠ 0 , т.к.									E1 , E2	и E3 линейно
независимы, следовательно e3 ≠ 0 .									что e3	нельзя пред-
Кроме того, из приведенного рассуждения следует,

ставить в виде линейной комбинации векторов e1 и e2 , следовательно векторы e1 ,e2 ,e3 линейно независимы и попарно ортогональны, следовательно,

их можно взять в качестве базиса евклидова пространства E3 . Остается только пронормировать построенный базис, для чего достаточно каждый из построенных векторов разделить на его длину. Тогда получим

e 0

=

e1

; e

0

=

e2

; e 0

=

e3

.

1

e1

2

e2

3

e3

Итак, мы построили базис e 0

,e 0

,e 0

–

ортонормированный базис. Тео-

1

2

3

рема доказана.

Примененный способ построения ортонормированного базиса из произвольного базиса называется процессом ортогонализации. Заметим, что в процессе доказательства теоремы мы установили, что попарно ортого-

нальные векторы линейно независимы. Кроме того, если e10 ,e20 ,..., en 0 – ор-

тонормированный базис в En , тогда для любого вектора x En имеет место единственное разложение

x =x1e10 +x 2e20 + ... +xn en 0 , (1)

где x1 ,x 2 ,...,xn – координаты вектора x в этом ортонормированном базисе. Так как

0	0	0,i ≠ j	(i =1,2,...,n ; j =1,2,...,n ),
(ei	,ej	) =
		1,i = j

123

то умножив скалярно равенство (1) на ei 0 , получим

x	i	= (x	,e0 ) (i =1,2,...,n ) .
		i	i

В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные базисы, а потому для простоты их записи нолики сверху у базисных векторов

ei 0 мы будем опускать.

§3 Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора.

1 Линейный оператор, матрица линейного оператора

Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x L ставит в соответствие вектор y L, то говорят, что в линейном пространстве L задан оператор A , при этом пишут:

y = A x .

(1)

Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x1 L и x2 L и произвольного числа α выполняются условия:

1)A (x1 + x2 ) = A x1 +A x2 ,

2)A (αx) =αA x .

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве En	базис e ,e	2	,...,e	, и
	1		n
пусть в этом пространстве определен линейный оператор A : y =A x .
Разложим векторы x и y по базису e1,e2 ,...,en :
x =x1e1 +x 2e2 + ... +xn en ,				(2)
y =y1e1 +y 2e2 + ... +y n en ,				(3)
В силу линейности оператора A можно написать
A x =x1A e1 +x 2A e2 + ... +xn A en .				(4)
Заметим, что каждый вектор A e En (i =1,2,...,n ) ,	следовательно,			его
i

также можно разложить по базису e1,e2 ,...,en , т.е.

A ei =a1i e1 +a 2i e2 + ... +ani en (i =1,2,...,n ) .

А тогда

y=A x =x1(a11 e1 +a 21 e2 + ... +an 1 en ) +

+x 2 (a12 e1 +a 22 e2 + ... +an 2 en ) +

+. . . . . . +

+xn (a1n e1 +a 2n e2 + ... +ann	en ) =	(5)

124

= (a11x1 +a12x 2 + ... +a1n xn )e1 + +(a 21x1 +a 22x 2 + ... +a 2n xn )e2 +

+. . . . . . + +(an 1x1 +an 2x 2 + ... +ann xn )en .

В силу единственности разложения по данному базису мы можем приравнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (3) и (5); тогда получим:

y1 =a11x1 +a12x 2 + ... +a1n xn ,

y 2 =a 21x1 +a 22x 2 + ... +a 2n xn ,					(6)
.	.	.	.	.

y n =an 1x1 +an 2x 2 + ... +ann xn .

Итак, линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

	a11	a12	...	a1n
						(7)
	A = a 21	a 22	...	a 21
						,
		.	...	.
	.
	an 1	an 2	...	ann

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец кото-

рой состоит из координат вектора A ei (i =1,2,...,n )						относительно данного
базиса. Отметим, что матрица A оператора A					зависит от выбора базиса
e ,e	2	,...,e	n	пространства Ln .
1
Введем теперь в рассмотрение одностолбцовые матрицы
				X = (x1 x 2 ... xn )T иY = (y1	y 2	... y n )T ,

соответствующие векторам x En и y En . Тогда соотношения (6) в мат-
ричном виде можно записать так:
Y = A X .	(8)
Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A	в евклидовом

пространстве En соответствует матрица A ; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e1 ,e2 ,...,en .

Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие

операторы, матрицы которых имеют обратную A−1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определенному

соотношением (1), отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство:

125

X = A−1 Y .

126

2 Примеры линейных операторов

e2	r2	M 2 (x 2 ,y 2 )
		M 1	(x1	,y 1 )
	α
		r1

ϕ

O		e1
1. Возьмем в пространстве	E	2Рис.5.3.1	e1 ,e2	и рас-
		ортонормированный базис
смотрим в этом базисе вектор	r1 =x1e1 +y1e2 (или точку M 1(x1 ,y1 )) (рис.
5.4.1).

Повернем вектор r1 вокруг начала координат на угол α против часовой стрелки. Он займет положение r2 =x 2e1 +y 2e2 , а точка M 1 перейдет в точку M 2 (x 2 ,y 2 ) , т.е. r2 = A r1 , где A – оператор поворота против часовой стрелки на угол α относительно точки 0.

Очевидны равенства
x 2	=r cos(ϕ +α) =x1 cosα −y1 sinα ,
y 2	=r sin(ϕ +α) =x1 sinα +y1 cosα .
Или в матричном виде

x 2	= cosα	−sinα		x1		.
y 2	sinα	cosα			y1
Здесь матрица
	A = cosα	−sinα
	sinα	cosα

является матрицей поворота.

2. Тождественным называется преобразование, определяемое соотношением Ex = x, x En . В частности Eei = ei (i =1,2,...,n ) .

Матрица тождественного линейного оператора в любом базисе имеет вид

	1		0	0	...	0
					...
	0		1	0		0
E =		0	0	1	...	0
							.
	.		.	.	...	.
		0	0	0	...	1

3 Действия над операторами

127

1. Сложение линейных операторов. Пусть x En , A и B – два ли-

нейных оператора в этом пространстве.

Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в En назы-

вается оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x –

любой вектор из En .

Очевидно, что сумма линейных операторов является линейным оператором, причем его матрица C = A + B , где A и B – матрицы линейных операторов A и B .

2. Умножение линейного оператора на число. Пусть x En , линей-

ный оператор A определен в En , α – некоторое число.

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число

αназывается оператор αA , определяемый равенством

(αA ) x =α (A x), x En .

Очевидно, что αA является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением ее на число α , т.е. она равна α A .

3. Умножение линейных операторов. Пусть x En , y En , z En и

кроме того в En определены линейные операторы A и B таким образом, что

y = Bx, z = A y .

Определение 3. Произведением A B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .

Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .

Рассмотрим матрицы-столбцы:

x1
X = x2	; Y
...

xn

y1

=y...2 ; Zyn

z1

=z...2

⎝zn

и обозначим через A , B и C – соответственно матрицы линейных операторов A , B и C. Тогда очевидно, что Z = A (B X ) = (A B) X = =C X ,

таким образом, C = A B , т.е. произведение матриц линейных операторов также является матрицей линейного оператора.

Действительно,

a) (A B )(x + y) = A (B (x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A B ) x + (A B ) y

б) (A B )(αx) = A (B (αx)) = A (αB x) = αA (B x) = α(A B )x

Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.

§4 Замена базиса.

128

1 Матрица преобразования координат.

Возьмем в пространстве En два различных базиса e1 ,e2 ,...,en и

E1 , E2 ,..., En .

Рассуждение проведем для случая n = 3 . Очевидно, что один и тот же вектор x относительно различных базисов имеет различные координаты.

Действительно, ограничиваясь случаем n = 3 , можем написать:

x =x1e1 +x 2e2 +x3e3 ,	(1)
x =x1′E1 +x 2′E2 +x3′E3 .	(2)

Любой вектор второго базиса можем разложить по первому базису, т.е.

E1 =τ11e1 +τ21e2 +τ31e3 ,
E2 =τ12e1 +τ22e2 +τ32e3 ,	(3)
E3 =τ13e1 +τ23e2 +τ33e3 .

Подставим (3) в (2):

x =x ′(τ e +τ e +τ e ) +x ′(τ e +τ e +τ e ) +x ′(τ e +τ e +τ e ) =

=(τ11x1′ +τ12x2′ +τ13x3′)e1 +(τ21x1′ +τ22x2′ +τ23x3′)e2 +(τ31x1′ +τ32x2′ +τ33x3′)e3 .(4)

Всилу единственности разложения по данному базису мы должны при-1 11 1 21 2 31 3 2 12 1 22 2 32 3 3 13 1 23 2 33 3

равнять коэффициенты при векторах e1, e2 , e3 в правых частях формул (1) и

(4). Тогда получим:

x	1	=τ	x ′ +τ x ′ +τ x ′,
			11	1	12		2	13		3	(5)
x	2	=τ	x ′ +τ			x		′ +τ	x ′,
			21	1		22	2		23	3

x3 =τ31x1′ +τ32x2′ +τ33x3′.

Введем в рассмотрение матрицы

	x	1		x1′			τ	11	τ	12	...
					′
	X = x2		;						τ22 ...
				X ′= x2 ; T = τ21
	...				...	.				. ...
	xn					τn1			τn 2 ...
				xn ′

τ

τ2.n .

τnn1n

Тогда соотношения (5) можно записать в матричном виде

X = T X ′.

Матрица T называется матрицей преобразование координат при переходе от старого базиса к новому, т.е. от базиса e1,e2 ,...,en к базису

E1,E2 ,...,En . Причем, столбцами матрицы преобразования координат являются координаты вектора нового базиса E1,E2 ,...,En относительно старого базиса e1,e2 ,...,en .

Если преобразования координат состоит в повороте координатных осей, то матрица T называется матрицей поворота.

Пример. При повороте координатных осей xO y на угол α мы имели

(рис. 5.4.1)

129

x=x1 cosα −y1 sinα .

y=x1 sinα +y1 cosα

Здесь

cosα T = sinα

y

y1

−sinα

cosα – матрица поворота.

M(x ,y )

x1

α

x

Рис.5.4.1

2 Ортогональный оператор и замена базиса

Определение 1. Оператор A , матрица которого относительно дан-

ного ортонормированного базиса e ,e

2

,...,e

n

евклидова пространства En

1

ортогональна, называется ортогональным оператором.

Предположим, что в пространстве En

переход от ортонормированного

базиса

e 0 ,e

0

,...,e

0 к другому ортонормированному базису E 0

,E 0

,...,E 0

1

2

n

1

2

n

осуществляется с помощью преобразования координат X = T X ′. Так как

базис E 0

,E 0

,...,E 0

– ортонормированный, то

1

2

n

(Ei

0 ,Ej

1, i = j

=1,2,...,n ) .

0 ) =

≠ j

(i , j

0,i

Выражая скалярные произведения (E 0 ,E

0 ) (i , j

=1,2,...,n ) через коорди-

i

j

наты этих векторов, получим:

τ

2

+

τ

2

+ ... +τ

2

=1

τ

τ

12

+τ τ

22

+ ... +τ

τ

= 0

11

21

n 1

11

21

n 1 n 2

2

+

τ

2

2

τ11τ13

+τ21τ

23 + ... +τn 1τn 3

τ12

22

+ ... +τn 2

=1

= 0

(6)

,

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

τ

2

+τ

2

+ ... +τ

2

τ

τ

1n

+τ

2,n

τ

2n

+ ... +τ

τ

= 0

1n

2n

nn

=1

1,n −1

−1

n ,n −1 n ,n

Из равенств (6) следует,

что TT

T =E или TT

=T−1 ,

т.е. матрица T ,

осуществляющая переход от одного ортонормированного базиса к другому, ортогональная.

§5 Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Пусть в пространстве En определен линейный оператор A , т.е.
y = A x	(1)

130