Литература и лекции / Аналитическая геометрия и линейная алгебра

																																			1
						t
																																				2
Имеем γ			(1)		=																									(10)			=
							0 , нормируем этот вектор, получим γ																												0			.
																																			1
						t
																																				2
2. λ2 = 6 . Аналогично
−5 0 2								γ1(2)					0					−5γ1(2) + 2γ3(2) = 0
	0 0 0							γ	(2)						=>												γ	(2)			=γ			(2)			= 0, γ			(2)	=t
									2	=			0					2γ	(2)		−5γ		(2)	=	=>			1						3						2
	2 0 −5								(2)				0						1				3		0
								γ
									3
γ (2) = (0 t						0)T , γ (20) = (0 1 0)T .
3. λ3 = −1. Имеем
	2 0 2				γ1(3)						0							(3)	+ 2γ			(3)
	0 7 0						(3)						=>			2γ1						3	= 0		=>
				γ			2		=		0							7 γ		(3)		= 0
							(3)													2
	2 0 2				γ						0
							3
	(3)		(3)						(3)						(3)								T		(30)					1							1 T
γ	1	= −γ3			= −t , γ2						= 0;γ						= (−t 0					t )		, γ		=	−						0						.
																														2
																																						2

Возьмем теперь координаты единичных собственных векторов в качестве матрицы преобразования координат

		1				0		−		1
		2											2
						1				0
T =		0														.
		1								1
						0
		2								2
Преобразование X = T X ′ дает:
		1					1
x =			x		′	−						y	′
		2					2
							y =y ′ .
		1					1
					′								′
z =		2 x				+		2 z

141

Ясно, что при таком преобразовании совершается поворот координат-

ных осей вокруг оси O y на угол α = π4 . Относительно новых координат

O x ′y ′z ′ квадратичная форма Φ(x ′,y ′,z ′) = 3x ′2 + 6y ′2 −z ′2 .

Следовательно наша поверхность относительно новой системы координат имеет уравнение 3x ′2 +6y ′2 −z ′2 = 0 . Ясно, что это конус (рис. 5.9.1), вытянутый вдоль оси Oz ′.

z

z ′

π

4

0	y

y ′

π

4

x

x′

Рис. 5.9.1

142

Литература

[1]Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной ал-

гебры. М.: Физматлит, 2007.

[2]Беклемешева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Физматлит, 2006.

[3]Ильин В.А., Позняк Э.Т. Аналитическая геометрия. М.: Физмат-

лит, 2006.

[4]Ильин В.А., Позняк Э.Т. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2006.

[5]Геворкян П.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.:

Физматлит, 2007.

[6]Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 1, 2, 3. М.:

Дрофа, 2007.

[7]Сборник задач по математике для втузов / Под редакцией А.В.

Ефимова и А.С. Поспелова. Ч. 1. М.: Физматлит, 2004.

[8]Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. СПб.:

Лань, 2008.

[9]Соловьев И.А., Шевелев В.В., Червяков А.В., Репина А.Ю. Практи-

ческое руководство к решению задач по высшей математике.

СПб.: Лань, 2008.

[10]Боревич З.И. Определители и матрицы. СПб.: Лань, 2008.

[11]Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 1,2,3. М.:

Дрова, 2007.

[12]Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т 1, 2. М.: Физматлит, 2006.

[13]Никольский С.М. Курс математического анализа. Москва, 2001.

[14]Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. СПб.: Лань, 2006.

[15]Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1, 2.

СПб.: Лань, 2008.

143

[16]Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Ч. 1,2.

М.: Физматлит, 2005.

[17]Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по мате-

матическому анализу. М.: Физматлит, 2005.

[18]Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1, 2. М.: МЦНМО, 2007.

[19]Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. СПб.: Лань, 2007.

[20]Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. СПб.: Лань, 2008.

[21]Файншмидт В.Л. Дифференциальные и интегральные исчисления функций нескольких аргументов. СПб.: БВХ, 2007.

[22]Файншмидт В.Л. Дифференциальные и интегральные исчисления функций одного аргумента. СПб.: БВХ, 2007.

[23]Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анали-

за. М.: МФТИ, 2000; М.: Физматлит, 2007.

[24]Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления.

Т. 1,2. М.: Интеграл-пресс, 2001.

[25]Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов /

Под редакцией Б.П. Демидовича. М.: Астрель, 2003.

144

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Кафедра высшей математики (ВМ) была организована в 1930 году. Первым заведующим кафедрой был профессор Г.Д. Гродский. С конца 1936 года кафедрой ВМ заведовал профессор И.П. Натансон. С 1944 по 1973 г. кафедрой заведовал В.А. Тартаковский — выдающийся математик и замечательный педагог.

Вразное время на кафедре ВМ преподавали академик В.И. Смирнов, член-корреспондент АН СССР Д.К. Фаддеев, проф. И.С. Соминский, проф. Ф.И. Харшиладзе, проф. А.Ф. Андреев, проф. Ю.В. Аленицьн, проф. И.А. Молотков.

В1979 году кафедру возглавил доктор технических наук, профессор В.Г. Дегтярев, специалист по теории движения космических аппаратов. С 1997 года кафедрой руководит доктор физико-математических наук, профессор И.Ю.Попов, в область научных интересов которого входят теория рассеяния, теория операторов, моделирование сложных физических систем.

Кафедра ВМ осуществляет обучение студентов всех специальностей университета по дисциплине «Высшая математика» и читает ряд специальных дисциплин математического цикла. Кафедра ВМ является самой многочисленной кафедрой в университете по числу преподавателей. В настоящее время на кафедре ВМ работают такие выдающиеся ученые как профессора В.В. Жук, А.П. Качалов, Г.П. Мирошниченко, А.Г. Петрашень, В.П. Смирнов, В.М. Уздин, В.Ю. Тертычный — член Нью-Йоркской академии.

На кафедре ВМ сложилась научная школа по математическому моделированию сложных физических систем; активно развиваются направления, связанные с нанофизикой и нанотехнологиями, квантовыми компьютерами

иквантовыми технологиями. Сложилось тесное сотрудничество с крупными научными центрами как в России, так и за рубежом.

145

Лариса Ивановна Брылевская Иван Александрович Лапин Лариса Семеновна Ратафьева

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Учебное пособие

Под общей редакцией Ларисы Семеновны Ратафьевой

В авторской редакции
Компьютерный набор и верстка	Д.В. Ермашев
Дизайн обложки	Д.В. Ермашев
Редакционно-издательский отдел СПбГУ ИТМО
Зав. РИО	Н.Ф. Гусарова
Лицензия ИД №	Заказ №
Подписано к печати
Тираж	Отп. на ризографе

146