5.Энергия электромагнитного поля

Вклассической макроскопической теории электричества плотность энергии электромагнитного поля вводится как постулат (см., например: [28, с. 346]). В эфирной интерпретации плотность энергии электромагнитного поля, как и любого другого движения эфира, вычисляется по формуле (12), выведенной из второго закона Ньютона (см. п. 1.4).

5.1.Общие формулы для плотностей энергии и мощности электромагнитного поля

Самое общее эфирное представление для плотности энергии

электромагнитного поля получается преобразованием формулы(12)

7), (5.7-8) из [51], которая

и .

к виду, в котором фигурируют введённые в п. 2.1векторы

Воспользуемся для вектора

теоремой

Гельмгольца (5.7-

вектор на

0

0

= 0

позволяет разложить с точностью до

слагаемого

такого, что

,

достаточно произвольный

имеем

потенциальную,

и вихревую2

компоненты по заданным

дивергенции и ротору (см. [51, с. 178, 173]).

Для вектора , в соответствии с формулами (24), (28), (20),

∙ ( ) = 0

∙ − +

,0

=

−4

+ ∙

+

,

0

,0

где

0

×

( ) =

,

времени.

137

– некоторый начальный момент

В случае установившегося течения (частные производные по времени обращаются в ноль) вместо уравнения (24) можно вос-

пользоваться уравнением неразрывности (22)

и

∙( )

= ,0.

(92)

Тогда вектор

представляется с помощью скалярного по-

тенциала

векторного потенциала

0

Здесь

=

′

′ =

4

|

1

−∞| −

′

∞ ′

× ( ,

′) ( , ′)

4

−∞

| − ′|

,

в неустановившемся случае

+

′

,0

′ =

= 1

∫

∙ −

,

4

∞

0

′

(

′)

|

−

′ |

−∞

′

∞

′

) +

( , )

+ ( ,

)

1

′ ∙ −( ,

′

,0

′ =

|

−

|

4

0

−∞

∞

′

) + ′ ∙

( , ′)

+ ( , ′)

1

−4 ( ,

′

|

,0

′ ,

4

0

−∞

| −

а в установившемся –

138

=

4 ,0

′

|

′.

−∞ | −

вол. Однако до сих пор в

0

имеется некоторый произ-

В выборе векторной функции

разложении (92) не учитывались урав-

нения эфира. Поэтому для определения

к уравнению

2

следует добавить уравнения (22),

(23), (15). Например, если

0

0

=

0

=

(− +

× + 0)/

подставить (92) в (22), (23), то получается система относительно

0

и (с учётом

4

).

= ×

. То есть учёт функции

= ∙ = 0

Подчеркнём, что уравнения эфира (22), (23) могут иметь

( )В= 0

решения

0

и

ненулевые

даже при

может быть существенным.

общем случае для плотности энергии электромагнитного

поля из (12) получаем

( )2

= 2

= ,0 2

=

,0

=

(93)

,0

(−

0)

2

.

и

+ × +

, а непосредственные

и

выражаются через

(или

)

В этой формуле функции

щие в .

,0/

+

сведения об эфире входят только через

множитель

и силу

или источник

, фигурирую-

Данная формула достаточно громоздка, однако при изуче-

нии конкретных процессов можно получить более простые вы-

Например,

плотность

энергии

=

.

только

0

= 0

электромагнитного поля

= 0

2течения

ражения для энергии

установившегося

эфира при

в отсутствие источника

определяется

магнитным полем

(вихрями в эфире)

139

=				( × )2.
		,0
В этом случае зависимость				от имеет квадратичный характер.
Общее выражение	плотности мощности через потенциалы

можно получить, взяв полную производную по времени от плот-

ности энергии (93):			(− + × + 0)2 .
=
		,0

Другое общее выражение для плотности мощности в терминах полей и тока можно найти, преобразовав формулу (16) к виду, содержащему векторы , , . Получим такое выражение.

Имеем = − 2−− ∙∙ −− −− ∙∙ =.

,0

Рассмотрим частную производную по времени в системе ко-

ординат, локальные базисные векторы которой не зависят от времени:

		=			=				+	( )2			=
2	∙			− ( )	2	1		= 2 ∙				2
						2					−		.

Применим формулы (23) и (21)

140

= 2

∙ −( ∙ )( )

+

,0

− 2

=

−

2

Тогда

2 ∙ − +

,0

−

.

= 2

∙ − ,0 + − − ∙

− ,0 2

−

− ∙ =

−2 ,0

∙ − 3 ∙ − ,0

2 + 2 ∙ −

− ∙ .

Вычислим

с помощью

уравнения (15)

− ,0

= ( 2)

+

,0

=

+

,0

=

1

( )

2

( )

2

1

1

2

1

+

+

,0

=

− ( )

2

1

( )

2

−

2

( )

2 =

+ ,0.

Воспользуемся формулой для градиента скалярного произ-

ведения из таблицы 5.5-1 в [51]

=

−

,0

=

( ∙ ) − 2 +

,0

2(

× ×

2

∙ )( ) + 2

( ) −

+ ,0 =

141

2 + × − 2 + ,0.

Заметим попутно, что эта формула устанавливает связь поля силы Лоренца (25) с градиентами давления и плотности эфира, в

которой учитывается уравнение состояния эфира (15):
+ × = 2 2 − ,0 − ,0 .	(94)

В частности, поле силы Лоренца может создавать градиент дав-
Подставим в
ления в эфире.
	= −2 ,0 ∙			+ 6 ,0 ∙ +			× −
3 ,0 2	( ∙ ) − ,0 2 + 2 ∙ − + 2 ∙ .
Учтём, что				.
Итак, из			∙ ( × ) = 0
		формулы (16) получаем следующее общее представ-
ление для плотности мощности течения эфира
				2					(95)
2 ∙ 2 ,0 + + − ,0					3( ∙ ) +			− .

Направление движения плотности энергии в эфире описывается векторным потенциалом, см. п. 2.3.

Электрическая и магнитная энергии и мощность электрической цепи рассмотрены в п. 18.2, 18.7–18.9.

142