книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

517.3	УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ			161
воли фупкция х + |h (х) | монотонна		при 0 < х < л-	Следовательно,	если
кривая	С не имеет точек заострения	и х -f- |h (i) [ <	п при х < я, то	этот

радиус больше единицы. В работах [16, a), 6)J, посвящоппых обобщешио тео­ рии Радона па случаи грапичпых задач плоской теории упругости в областях с нерегулярной границей, рассмотрен случай h{x) = тsin 2 х/2, где т — число, |m I < 1 .

17.5. Рассмотрим функцию (14.1) с достаточно гладкой / (s) и для кривой Су. удовлетворяющей условию Ляпунова. Используя результаты §§ 15,16 и опираясь на упомяпутую в п. 17.1 теорему Рисса о норме линейного функ­ ционала в пространстве непрерывных функций, докажите, что

sup P f [<az (<т)] =	sup ^ |d ю (o) f = К (C) < + * > .
2фС	zeC c

С другой стороны, приведите пример кривой, удовлетворяющей последнему условию, по пе удовлетворяющей условию Ляпунова (такие кривые построе­ ны в [3J).

17.6. Пусть Юр (Л) — функция множеств, определенная формулой (4.14),

11 / (Q) ~ непрерывная •па поверхности F фупкция. Потенциалом двойного слоя с плотностью / вдоль поверхности U называется пптеграл

W (p) = w ] /( Q ) “ p ( rfQ)-	(17.6)
'р

В предположении, что F удовлетворяет условию (4.11), докажите следующц утверждения: 1) в каждой точке Р ф F функция (17.6) непрерывна и удовлет воряот теореме о среднем, следовательно, является гармонической; 2) пре

дельные значения W * (Р) существуют в каждой точке Р €= F п выражаются формулами

w ± (P) = ± f(P) + 4 r [ f W )*р <^)- р е Л

(17-7)

3) интегральный оператор в последней формуле определен и ограничен в про­ странстве непрерывных на F функций (см. [2, а), б)]).

В работе [3] эти результаты обобщены на более широкий класс поверх­

ностей по сравнению с рассмотренным в п. 4.10.			0 с цептром в точке
Пусть Ft (Р) — пересечение F с шаром радиуса е >
Р. Радиус Фредгольма R интегрального оператора в формуле (17.7) определя­
ется из формулы
~7Г — 7ГГlim sup Var сор (Р , (Р)) =		тйг lim sup	\ fo P W )| (17.8)
*	° * е-»0 Р	п е-»0 Р
(см. [14, г)], а также [2, а]), [3]).
17.7.	Исследованию свойств интегральных операторов с ядром Коши
посвящено ряд работ А. Г. Джваршейшвилн. Так, в работе [10, а)] установ­
лено, что сингулярный интеграл с ядром Коши существует почти во всех точ­
ках кривой С: г = z (s), если выполнено хотя бы одно из условий: 1) кривая С
принадлежит классу Ьх в (см. п. 4.11,.формула (4.16)), а плотпость интеграла
суммируема	вдоль кривой С\ 2) кривая С принадлежит классу Lq 0l, q >			1,
а плотность интеграла принадлежит пространству Lp (С), р = g / (g — 1) >				1.
Условие	С 6Е Lq<а, по крайней мере в случае утверждения 2), является

только достаточным и может быть заменено более слабым: интегральный

6 и. и. Даиилюк

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА II КОШИ	[ГЛ. IV
модуль непрерывности (£>р (0, 6) (т. е. супремум интеграла	(4.16) при
|h|< б) обладает свойством
	(17.9)

Ограниченность сингулярного оператора в Lp (С), р > 1, установлена в ме­

нее общих предположепиях: кривая С удовлетворяет условию вида (2.6) н принадлежит классу LT<а, где г = max (р, р /{р — 1), причем (г — 1)/г <

<а < 1.

Вболее поздней работе [10, б)] был рассмотрен класс кривых С, обладаю­

щий свойством

(17.10)

гдо h (о) — суммируемая на (0, S) функция. Считая по-прежнему, что вы­ полняется условие вида (2.6), было установлено, что сингулярный оператор с ядром Коши существует почти всюду на С и является ограпиченным опера­ тором в обычном пространстве Lp (С), 1 < р < оо.

Покажите, что каждая кривая, удовлетворяющая условию (17.10), об­ ладает также свойством (16.36).

17.8. Как показано в работе [26, а)], сингулярный интеграл Коши — Стилтьеса с п р о и з в о л ь н о й конечной мерой р вдоль спрямляемой кривой С существует почти всюду на С, если это утверждение имеет место для сингулярного интеграла типа Коши с каждой н е п р е р ы в н о й плотно­ стью. Достаточным для этого является условие вида (17.9), в котором подын­

тегральная	функция	заменена		на со* (0, 6)/6. В более поздней работе [26, б)]
было показано, что			если 0 (s) непрерывна и соа (0, 6)/б интегрируема в
окрестности пуля, где			со (0, 6) — обычный модуль		непрерывности, то син­
гулярный	интеграл	с	ядром	Коши представляет	непрерывный оператор в
LP (C ),p >	1.

Принимая во внимание сказанное в начале п.13.10 и проводя рассужде­ ния, как при доказательстве леммы 16.2, убедитесь (см. [26, а)]), что сингу­ лярный оператор с ядром Коши вдоль некоторой кривой не может быть непрерывным в Lp, если кривая не удовлетворяет условию Смирнова (см. и. 11.3). Это утверждение может быть справедливым и для кривых Смирнова, пбо в пх числе существуют такие, что соответствующий интеграл типа Коши пе^преоб|разует даже непрерывные функции в суммируемые (пример построен

17.9. Пусть z(s0) — точка, в которой кривая С имеет касательную, и пусть С (s0, е)обозначает меньшую часть С, ограниченную точками г ($0 — е),

z (s0 +	е).	Очевидно, существует такое е0 >	0, что 2 [ z (s) — z (s0) |> |s — s01,
R e [	z (	s ) — z (s0)]} Ф 0 для всехz (s) е	С (s0, е0),* ф so.
Л. Д. Иванову (см. [11]) принадлежит следующее утверждение (е < е0):

$	1
	М-z (s) — z (so) s — so	ds < 32я* - f
С(и, е»)\С(«», е)	:)1

(17.11)

УПРАЖНЕНИЯ		И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ		ЗАМЕЧАНИЯ	163
Рассмотрим величину
z' (s) — г* (др)		eiO(s)__ег®(»о)
Re z (s )-z (s 0)	= Ие, г (s) _ г {so) |ещв, *оГ =
	2	0(so)— 0(s) .		9(я) + 0 (so)-	Ц (s, so)
=	r*r*)-*'(«o)'|sin------ 2		5111	2

Покажите, прежде всего, что для кривых, удовлетворяющих условию (2.6), в частности для гладких кривых, имеет место оцепка

z'(s) — z'(so)	| _	| O ( s ) - 0 (so)|2 + 2 | 0 (s)-O (s o )lh )(s . s o ) - 0 ( s o)|
Г ' < М ~ М	| < °	-----------------------------~

где Ci — некоторая постоянная, |s — s01— достаточно мал. Затем убедотесь, что для некоторой 0Я= const справедливо также неравенство

1

I Ф (s, S0) K Ог |0 [so + I(S - So)]I dl	(17.13)
о

при достаточно малых |s — s0|. Считая систему координат выбранной так,

что 0 (s0) =	0, н исходя из (17.12), (17.13), покажите, что
	г' (s) — г' (so)		О)2 (0, sp, I s — So I)	0з = const,	(17.14)
	z(s) — z (s0)	< 0 3	I A—SO|
где (о (0, s0,	б) — «модуль непрерывности функции 0 в точке s0»‘.
	ю (0, so, 6) =		sup 10 (so -f- A) — 0 (so) |.

Пусть со (0, 6) = sup со (0, s0, б) —	обычный модуль непрерывности функции
0 (s). Предполагая, что функция со8	(0, 8) / б интегрируема в окрестности нуля
и исходя из оценок (17.11), (17.14), докажите утверждение (аналог леммы
16.3) об эквивалентности весов (16.14), (16.27).

17.10. Как было отмечено в конце п. 16.8, результаты пн. 16.5 —16.G, касающиеся обобщения теоремы М. Рисса об ограниченности сингулярного оператора на случай взвешенных пространств Lp, были получены автором в работе [8, б)]. Уже после ее наппсанпя он познакомился со статьей [5], посвя­ щенной в первой своей части тем же вопросам. В обеих этих работах в слу­ чае единичного круга метод М. Рисса получил одно и то же обобщенно, а до­ казанные с его помощью результаты идентичны, хотя и сформулированы в

разных терминах.
В более ранних работах	[27], [1]	рассмотрен случай р (s) = |s |“ , где
— 1 < а < р — 1.		функция внутри области <?+, ограни­
17.11, Пусть U — гармоническая
ченной кривой Жордана 0 ,	а / (s) =	U* — граничные значения этой функ­
ции па 0 . Пусть V — сопряженная к		U гармоническая функция, обращаю­

щаяся в нуль в некоторой внутренней точке z0 £ С+. Предполагая, например, что U непрерывна в G+ + 0 , легко убедимся, что для спрямляемых кривых 0 почти всюду существуют предельпые значения V+ функции V. Формула Nf (*) = U + iV определяет оператор,который в случае единичного круга при го = 0 совпадает с классической формулой Шварца. Еслп той же буквой N

6*

164	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА II КОШП	[ГЛ. IV

обозначить оператор, сопоставляющий граличпому значению / (s) продель­ ные значения Nf+ (s) функции Nf (г), получим Nf (s) = / (s) + iSf (s), где S — оператор, обобщающий сингулярный оператор с ядром Гильберта

- i - ctg ~~2~~ • Ито установил (см. [12]), что оператор N (илп S) ограничен

в Lp (С), 1 < р < оо, если кривая С — гладкая. - 17.12. Введем в рассмотрение ядро

	4—0
Ф (» - «) =	| 5 «• (0; fl) db |,	(17.15)
	о

где а (6; 5) — модуль непрерывности функции 6 (s). Из рассуждений, при­ водящих к оценке (17.11), вытекает неравенство (см. [16, а)])

(	e«*W	i	1
Reh	( .) - « ( .)	- 7 —	)< ♦ ( * -

Используя результаты § 16, а также сказанное в п. 17.9, убедитесь, что если ядро (17.15) порождает ограниченный в Lp (р2; С) оператор, то в условиях тео­ ремы 16.4 оператор Re {2л iKf [z (о)]} ограничен в том же пространстве, какова бы ни была гладкая кривая С, для которой со2 (0; 6)/6 интегрируема в окрестности нуля. Покажите затем, что в этих же условиях оператор Kf [z (о)] ограничен в Lp (рх; С) одновременно с оператором Nf [z (а)] (см.

п.17.11).

17.13.В статье [4] изучаются вопросы настоящей главы для того слу­ чая, когда линия интегрирования С представляет всю вещественную ось.

Граничные вопросы интегралов типа Коши, которым был посвящен § 15, в этом случае изучены удовлетворительно при самых общих предположениях о плотности этих интегралов (см., например, [24]), поэтому основное внима­ ние автор упомянутой статьи уделяет вопросам ограниченности сингуляр­ ных интегральных операторов во взвешенных пространствах. Сформулируем основные утверждения статьи [4] в этом направлении.

Пусть Wp_обозначает класс комплекснозначных функций р (х), опреде­ ленных на всей вещественной оси (—оо, оо) и почти всюду отличных от пуля

и бесконечности, причем ecxuf е Гр (— оо, оо), р > 1 , и если черезТ обозна­ чено преобразование Гильберта функции /, те. е. сингулярный интеграл вдоль вещественной оси с ядром Коши (х — у)-1 , — ос ^ х, у ^ + оо, то имеет место аналог неравенства Рисса

$ |Р ( * ) / ( * ) J |р(х) f(x)\Pdx,

где А — не зависящая от f постоянная. Пусть Ьр обозначает класс функций вида (х+ 0Ф+ (*), гдеф+ (х) — граничные значения аналитической в верх­

ней полуплоскости у > 0 функции ф (г), удовлетворяющей аналогу усло­ вия (10.1)

	sup \ \ n x + 'i y ) \ P d x <	+ oo.
Наибольшей	общностью обладает утверждение леммы 4 из [4]: если
р £ Lp и для некоторых констант vlt v2, v, —		•< я, имеет место условие
vi К Р arg р (х) ^	vlf то (по крайней мере для целых четных значений р)

§ 17]	УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	165
вес р принадлежит классу Wp. Доказательство было получено		при помощи
естественного обобщения того метода, которым доказывается неравенство
Рисса в классическом случае р = 1 па вещественной осн (см., например, [24],
гЛ. X). Переходя от верхней полуплоскости к единичному кругу, убедитесь,
что сформулированная лемма и результаты и. 16.5, по существу, эквивалент­

ны. Еще одним интересным результатом реферируемой статьи является ут­ верждение, эквивалентное теореме 16.5: веса вида (16.43) в условиях (16.44) принадлежат Wv (см. [4], лемма 9).

ная,	17.14.	Пусть z0 = z ($0) £ С	- точка,	в которой		существует касатель­
	и пусть	в обозначениях п.	15.2 z1 =	z0 +	it exp	£ (0 (s0) +	ф),
га =	z0 — is exp	i (0 (s0) + ф). Исключая из формул			(15.3)	интеграл	по
С \	С (z0, |г — z0J) и обозначая

					ei°Cs.)	Г	1	1 1	(№16)
	h (». *>: * Ы) = -Щ -					„ 7_ -„
убедитесь в справедливости					предельного соотношения
			lim \ Lt (s, so: ф (so)) dp (s) =					р' (s0)	(17.17)
			е-»0 "
почти для всех s0 е			[0, 5]. Исходя отсюда, докажите утверждение: для того
чтобы интеграл		типа		Коши — Стилтъеса (15.1) обращался					в интеграл
Коши — Стилтъеса			(т.	е.	чтобы	предельное		соотношение	F+ [z (s)] =
= р ' (s) exp	{— 10 («)} имело место почти всюду), необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись аналогичные (13.3)						условия
		(	s*(«)dp(*) = 0,			/t =	0 , 1 , 2 , . . .
Относительно обобщений остальных утверждений из п. 13.5 см., например,
[21,6)], гл.	III,	§	10).
В статье [20] показано, что выражение (17.16) удовлетворяет условиям,
которые накладываются на ядра так						называемых сингулярных интегралов
в теории аппроксимации функций (см., например, [18], гл. X). Это позволило
установить, что в случае гладких кривых С для абсолютно непрерывных мер
р, dp (s) = /	(s) ds, предельное соотношение (17.17) имеет место в смысле мет­
рики Lp (С), если / ^ L p (С).
17.15.		В заключение отметим работы [14, б), в)], посвященные изучению
плоских кривых и применению к теории потенциала двойного слоя. Главное

утверждение статьи [14, в)] можно сформулировать следующим образом:

для того чтобы потенциал двойного слоя (14.1) с произвольной непрерывной плотностью / допускал непрерывное продолжение на замыкание G+ С обла­ сти G+, необходимо и достаточно, чтобы кривая С удовлетворяла плоскому аналогу условия (4.20)

2л

	sup Vе (z) = sug ^ рс (z, a) de <	4- 001
еде	рс (z, а) — число точек множества { i : s £ [0,	5], z (s) ф z, z (s) — z =
=	|z (s) — z |exp la).

l(jfi	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА П КОШИ		ГГЛ. IV
ЛИТЕРАТУРА
1. Б а б е н к о '		К. И., О сопряжеппых функциях, ДАН 62, №	2 (1948),
157-160.		10. Д., М а з ь я В. Г., С а п о ж н п к о в а В. Д., а) О по­
2. Б у р а г о
тенциале двойного слоя для нерегулярных областей, ДАН			147, № 3
(1962), 523-525.
б)	К теории потенциалов двойного п простого слоя для областей с нере­

гулярными границами, Сб. «Проблемы матем. анализа. Краевые задали

и интегральные уравнения», Изд-во ЛГУ,. 1966.

3.Б у р а г о Ю. Д., М а з ь я В. Г., Некоторые вопросы теории потенциа­ ла и теории функции для областей с нерегулярными границами, «Наука» (Ленпнгр. отд.), 1967.

4.	В и д о м	X. (W i d о m Н.), Singular integral equations in		Lp,	Trans.
5.	Amer. Math. Soc. 97, № 1 (1960), 131-160.			сопряжен­
	Г а п о ш к и п В. Ф., Одно обобщение теоремы М. Рисса о
	ных функциях, Матем. сб. 46 (68), № 3 (1958), 359—372.				пере­
6. Г о л у з и н Г . М.,			Геометрическая теория функции комплексного
	менного,	«Наука»,	1966.

7.Д а в ы д о в Н. А., Некоторые вопросы теории граничных значении аналитических функций, канд. диссертация, МГУ, 1949.

8. Д а н и л ю к И. И., а) О задаче Гильберта с измеримыми коэффициента­ ми, Сиб. матем. ж. 1, № 2 (1960), 171—197.

б) Лекции по краевым задачам для аналитических функций и сингуляр­ ным интегральным уравнениям, Изд-во Новосиб. ун-та, 1964.

в) Об ограниченности сингулярного интегрального оператора в простран­ ствах Lp с весом, Тр. Тбилисск. матем. ин-та 33 (1967).

г) Про обмежешеть в эваженнх просторах Lp потенщалу подпшпого шару^вздовж лши з обмеженим обертанням, ДАН УРСР, сер. А, № 9 (1968),

9. Д а н и л ю к И. И., Ш е л е п о в В. 10., а) Об ограниченности в Lp сингулярного оператора с ядром Коши вдоль кривой ограниченного вра­ щения, ДАН 174, 3 (1967), 514-517.

б) Про обмежешеть в зшикепих просторах Lp сипгулярнпх штегральпих оператор1в вздовж лшш з обмежепим обертанням, ДАН УРСР, сер. А.,

№ 3 (1969), 199-203.

10.Д ж в а р ш е й ш в и л и А. Г., а) Об особом интеграле, Тр. Тбилисск. ун-та, сер. мех.-матем. наук 84 (1962), 161—184.

б) Сингулярный интеграл и его некоторые применения, Тр. Тбилисск. матем. пн-та. 31 (1966), 71—90.

	в) О функциях,		аналитических	в	полуплоскости, Тр. Тбилисск.
11.	матем. ин-та 31 (1966), 91—109.
	И в а н о в	Л. Д., О гипотезе Данжуа, УМН 28, вып. 4 (1963), 147— 149.
12.	И т о (Ito	W. Й.),	On coniugate	functions, Bull. Amer. Math. Soc. 57,
13.	№ 6 (1951), 469.		Л. В., А к и л о в		Г. Пм Функциональный анализ
	К а н т о p о в и ч

в нормированных пространствах, Физматгиз, 1959.

14.К р а л И. (Krai J.), a) On the logarithmic potential, Comment. Math. Univ. Carolinae 3 (1962), 1, 3—10.

б) Some inequalities concerning the cyclic and radial variations of a plane

path-curve, Чехосл. матем. ж. 14 (89) (1964), 271—280.

в) On the logarithmic potential of the double distribution, Чехосл. матем. ж. 14 (89) (1964), 306-321.

г) The Fredholm radius of an operator in potential theory, Чехосл. матем. ж. 15, № 3,4 (1964), 454-473, 565-588.

д) О потенциале двойного слоя в многомерном пространстве, ДАН 159, № 6 (1964), 1218-1220.

ЛИТЕРАТУРА	167

15.Л о п а т и 11 с к и й Я. Б., а) Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа

12§СГ 151^ПЫМ МптегРалышм Уравнениям, Укр. матем. ж. 5 Ns 2 (1953),

б) Про один тип сингулярных !птегралышх р1вняпь, Теор. i прикл. матем., вип. II, Львовой, уп-т, 1963, 53—57.

16. М о г п а р а д в е	Л. Г., а)	Основные задачи плоской теории упругостп
для коптуров с угловыми точками, ДАН 16, Л? 3 (1937),			157—161.
б) К решепию основных задач плоской теории упругости для коптуров
с угловыми точками, ДАН 19, № 9 (1938), 673—676.			уравнения,
17. М у с х е л н ш в п л н	II. И.,	Сингулярные интегральные
«Наука», 1968.

18.Н а т а и с о п И. П., Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат, 1957.

19.П а р а с ю к Е. Н., Об одном классе сингулярных интегральных урав­ нений, капд. диссертация, Львопск. ун-т, 1964.

20. П р е о б р а ж о л с к и й С. П.,

О сингулярных интегралах

И. И. Привалова, Сиб. матем. ж. IX , № 2 (1968), 340—347.

21.П р и в а л о в И. И., а) Иптеграл Couchy, Саратов, Изв. Ун-та, физ.- матем. ф-т, 11, 1 (1918).

б) Граничные свойства аналитических функций, Гостсхиздат, 1950.

22.Р а д о й И. (Radon I.), Ober die Randwertanfgaben beim logarithmischen Potential, Sitzungslericbte Acad. Wiss. Wien 128 (1919), 1123—1167; есть русск. перевод: О краевых задачах для логарифмического потенциа­ ла, УМЫ 1, вып. 3 - 4 (13-14) (1946), 96-124.

23.	С и м о и с п	к о	И. Б., а)		Краевая задача Римана				с непрерывным
	коэффициентом,		ДАН 124,		№ 2		(1959), 278—282.
	б) Краевая	задача		Римана	с	измеримым		коэффициентом, ДАН 135,
	№ 3 (1960), 538-541.
	в) Краевая задача Римана для п пар функций с измеримыми коэффициен­
	тами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в простран­
24.	ствах Lp свесами, Изв. АН СССР, сер. матем. 28, N° 2 (1964), 277—306.
	Т и т ч м а р ш		Е.,	Введение		в	теорию	интегралов	Фурье, Гостех-
	издат, 1948.

25.У о л ш Дж. Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функ­ циями в комплексной области, ИЛ, 1961.

26.X а в и и В. П., а) Граничные свойства интегралов типа Коши и гар­ монически сопряженных функций в областях со спрямляемой границей,

Матем. сб. 68, (НО), № 4 (1965), 499-517.
б) О непрерывности	в Lp интегрального оператора с ядром Коши, Вест­
ник Ленингр. ун-та,	сер. матем.-мох. 7, вып. 2, (1967), 103—108.		Some
27. Х а р д и и Л п т т л ь в у д . (Hardy		G. Н., Littlewood J. Е.),
more theorems concerning Fourier Series		and Fourier power Series,	Duke

J.Math. 2 (1936), 354-382.

28.Х в е д е л и д з е Б. В., Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их прило­ жения, Тр. Тбплисск. матем. пп-та 23 (1956), 3—158.

29. Х е л ь с о п и С е г е (Helson	Н ., Szego G.), A problem in prediction
theory, Ann. mat. pura ed appl.,	Serie 4, LI (1960), 107—138.

30.Ш е л е п о в В. IO., О задаче Римана в областях, граница которых имеет ограниченное вращение, ДАН 181, Ns 3 (1968), 565—568.

Г л а в а V

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

Настоящая глава посвящена теории граничных задач. Сначала изложены основные результаты Радона о краевых задачах Дирих­ ле и Неймана в областях, граница которых имеет ограниченное вращение и не имеет точек заострения. Затем исследуется задача линейного сопряжения с одной неизвестной голоморфной функ­ цией. При этом рассуждения следуют классической схеме, а все построения, в том числе и формулы для индекса, носят вполне эффективный характер. Основные предположения сводятся к сле­ дующему: граница области есть либо кривая Ляпунова, либо кри­ вая Радона без точек заострения; модуль коэффициента краевого условия в существенном отграничен от нуля и бесконечности; аргумент этого коэффициента есть сумма непрерывной функции и либо функции ограниченной вариации, либо достаточно малой (по существенному максимуму модуля) измеримой функции. Далее излагается теоретико-функциональный метод И. Б. Симоненко, причем основное внимание уделено обобщению метода на случай задачи линейного сопряжения со многими неизвестными голоморф­ ными функциями из класса Ер, 1 < р < оо . После этого в соответ­ ствующих предположениях строится теория сингулярных интег­ ральных уравнений. В заключение мы приводим дополнительные результаты Радона, некоторые многомерные обобщения, теорию нерегулярных ^ задач Римана — Гильберта, ряд утверждений гомотопической теории рассматриваемых задач и некоторые дру­ гие результаты.

§18. Задачи Дирихле и Неймана

18.1.Обозначим, как обычно, через G+ некоторую односвязную конечную область со спрямляемой границей С и предположим, что наСзадана вещественная функция <р. Внутренняя задача Дирих­ ле состоит в том, чтобы определить однозначную вещественную функцию в, гармоническую внутри области G+ и принимающую

па С предельные значения <р. Точный смысл последнего условия каждый раз должен быть уточнен в зависимости от классов функ­

S 18]

ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

ций, которым принадлежат ф и и. Пусть линия С имеет ограни­ ченное вращение, а функция ф непрерывна. Решение задачи Дирихле будем в этом случае разыскивать в классе непрерывных на G+ + С функций, причем граничные некасательные значения искомого решения должньг совпадать с ф в каждой граничной точке.

Согласно теореме 14.2, всем этим условиям удвлетворяет по­ тенциал двойного слоя

и (л, у) = - ^ / (s)daco2(s),	г = х + iy е <?+,	(18.1)
плотность которого / непрерывна на	С. Вычисляя граничные зна­

чения интеграла (18.1) по формуле вида (14.9) и приравнивая их заданной функции ф, для определения плотности / получаем урав­ нение

Но) + 4	+	W = Ф.(«>.	(18.2)
в котором надо полояшть к = 1,	фх =	ф.
Обозначим через G~ дрполнение к G+ •]- С до всей плоскости

переменного z = х + iy- Внешняя задача Дирихле состоит в том, чтобы определить вещественную однозначную функцию, гармо­ ническую в каждой конечной внутренней точке области G~, огра­ ниченную на бесконечности и принимающую на границе С нека­ сательные предельные значения (—ф). Пусть ф непрерывна на С и пусть решение ищется в классе непрерывных на G~ + С функ­ ций. Потенциал (18.1) исчезает на бесконечности, следовательно, искомое решение надо разыскивать в виде суммы интеграла (18.1) с неизвестной плотностью / и некоторой, тоже неизвестной, вещественной постоянной а. Снова опираясь на теорему 14.2 и ис­ пользуя формулу (14.9) применительно к области G~, для непре­ рывной на С плотности / ползшим уравнение (18.2), в котором надо

положить к = —1 и фх = ф + с.	Lp (с), 1	<
Можно также рассмотреть случай, когда <р ;^
< оо. Пусть Ф (z) = и -f- iv — соответствующая	аналитическая

функция, мнимая часть которой v в некоторой внутренней точке равна нулю. Будем разыскивать решение и задачи Дирихле в классе функций, для которых Ф (z) е Ер (G±), а некасательные предельные значения почти всюду на С совпадают с (±ф) соот­ ветственно. Если кривая С не имеет точек заострения, .то, соглас­ но лемме 16.2, потенциал (18.1) принадлежит требуемому классу, если / Lp (С). Пользуясь формулами вида (15.11) и приравни­ вая предельные значения и± к заданным функциям ( + ф), снова приходим к уравнепшо (18.2) с соответствующими к и фх.

170	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	Lrjl. V
Будем обозначать символом mes меру Лебега на прямой.
Если z — z ($), 0	s < £ ,— параметрическое уравнение	кри­

вой С, отнесенное к длине дуги, то, полагая для каяч-дого измери­

мого по Лебегу множества Е С	(О, S) mes z (Е) =	mes	Е,	полу­
чим меру на С \ {z (0)}. Если	доопределить эту	меру	условием
mes {z (0)} = 0 и требованием аддитивности, то		получим		меру

на С. Будем называть ее мерой Лебега на С и обозначать тем же символом mes.

Рассмотрим теперь пространство Д» (С) ограниченных измери­ мых относительно меры mes функций на С, норма в котором определяется как существенный максимум модуля функции от­ носительно меры mes. Если q> е Д» (С), то решения задач Дирих-. ле будем разыскивать в классе ограниченных гармонических функ­

ций, чьи некасательные предельные значения

почти всюду

на С совпадают с (±<р). На основании теоремы 14.1 потенциал (18.1)

ограничен для любой плотности / е

Д« (С), следовательно, с его

помощью эадачи Дирихле снова редуцируются к уравнению

(18.2)

при \ = ± 1 соответственно.

Займемся исследованием аналитического выражения для соп­

ряженного оператора Т*, когда исходный оператор

Т рассматри­

вается в одном из только что отмеченн ых пространств.

18.2.

Начнем с пространтсва Lp (С , 1 <

р < оо. В этом слу­

чае оператор Т определяется формулами (14.11),

(14.12) как син­

гулярный

интеграл

в смысле

Коши. Сопряженным

к Ьр (С),

1 <

р <

оо, будет пространство Д, (С),

q = pl(p — 1). Общий

вид линейного функционала

в

Lp (С), 1 < р <

о о ,

дается фор­

мулой

l(f) =

[f(s)dp(s),

(18.3)

где

dp, (s) = g (s) ds,

g (s) e

Lq(С)

(см.,

например, [19], гл. IV,

§ 8,

п. 1,

или [21],

гл.

VI,

п. 2.2). Согласно

определению,

Т* g (/)

=

l (Tf) для

всех

/ е

Lp (С),

1 < р <

оо.

Подстав­

ляя в формулу (18.3) вместо / (s) функцию Tf (s), определенную

формулой

(14.11), и

считая,

что

dp (о) = g (a)d о,

получим

П « з 1 (Г 1 ) =

(o)de J *(»,«)/(»)*•

(18.4)

Примем теперь во внимание, что ядро (14.12) есть мнимая часть ядра z' (s)/[z (s) — z (а)] и что в силу теоремы 16.1 формула (16.9) имеет место для произвольных функций / e i p (С), 1 < р < < оо, g g L (С), q = pl(p — 1), если кривая С не имеет точек заострения. На основании этого можно переставить в формуле