книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

§ 18]	ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА		171
(48.4)	порядок интегрирования, что приводит к формуле
	T*g(s) = ^	(о) ф (a,s) do ss -Ц Я (о, s)g (a)da, (18.5)

в которой ядро К (ст, s) выражается но формуле (14.12), а интегра­ лы имеют смысл главного значения но Коши.

Покажем сейчас, что в формуле (18.5) дифференцирование по $ можно вынести за знак интеграла. С этой целью заметим

сначала, что в каждой точке	а е (О, S) имеем
^ ys ф (s, о) ds = it +	[ф (о, а — 0) — ф(о,б + 0)],	(18.6)
с

причем интеграл понимается как сингулярный. Чтобы в этом убе­ диться, надо в формуле (14.11) положить / = 1 на С, учесть абсо­ лютную непрерывность функцииф (s, а) по s приs e ( 0 , f f - e ) (J U (а + е, 5) и сослаться па формулу (3.8). Опираясь на (18.6), получаем представление

ф(з,о) = ^-|;ф(р,б)<*р-|-ф(0,б),

0 < s < 6 ,

(18.7)

ф($,о) = ^ ф(р,с)йр + ф(0,с) + [ф(б,б + 0)—г|)(б,о— 0)1, б < 5 < 5 ,

о

вкотором второй интеграл имеет смысл главного значения. Рассмотрим теперь функцию

v (s).= ^ф (s,о) dft (б),		(18.8)
и предположим сначала, что d ц (о) = g (о) d а,	где g е	(С),
1 < д < оо. Поскольку в этом случае функция v (s) не меняется
при произвольном переопределении ф (s, о) по	о на множестве

лебеговой меры нуль, можно в силу сказанного в п. 3.5 восполь­ зоваться формулами (18.7) в каждой точке непрерывности угла наклона касательной к С. Обозначая %%(р) характеристическую функцию интервала (0, $) относительно (0, •?), в каждой такой точ­ ке получим

Ф(«, <з) = ^ Ф ( р . о ) ф	+ Ф(0,о) =
о
“ I mS	= Im jj3fr7^Va(p) + 'т °]' (18'9)

Об

172

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. V

Подставляя выражение для ф (5 , 0 ) под знак интеграла (18.8) (при d р (о) = q (a)d о), учитывая ограниченность функции Ха (р) и пользуясь формулой (16.9), получаем

^(«) = 5ф ^ (б)-^ ф (б,р )А 5 + ^g(6)t(6,0)d6.

(18.10)

ос

Отсюда вытекает, что функция v (а) абсолютно непрерывна па [О, S] и почти всюду

(о)•Ts* (°* *)da 53 пГб (s)’	с18-11)
а так как правая часть этой формулы принадлежит Lq (С),		1 <
< q < °°» то из неравенства Гёльдера легко следует,	что	v (s)

удовлетворяет условию Гёльдера по крайней мере с показателем а = 1/р, Р = q (q — 1)

Т е о р е м а 18.1 (см. [17, н)]). Пусть кривая С имеет ограни­ ченное вращение и лишена точек ваострения, и пусть dp, (а) =

= g (0 ) do, где	g e Lq (С), 1 < q <	0 0 . Тогда
(i) Функция	v (s), определенная	формулой (18.8), абсолютно

непрерывна на [О, S], ее производная почти всюду совпадает с функ­ цией пТ* g (s) 6Е Lq (С), а сама она удовлетворяет условию Рёльдера по крайней мере с показателем а = 1/р, р = q/(q — 1).

(ii) Если оператор Т , определенныйформулами (14.11), (14.12), рассматривать в LP(C), 1 < р < оо, тосопряженный'ему оператор Т*, действующий в Lq (С), q = р 1{р — 1), аналитически выра­ жается либо формулой (18.5) как сингулярный интеграл в смысле Коша, либо формулой

(18.12)

Очевидно, что утверждение (i) теоремы может быть сформули­

ровано	еще и так:
(Г)	В условиях теоремы 18.1 оператор (18.8) действует из
L<t (С),	1 < q < оо, в	(С) и непрерывен.

18.3.Перейдем теперь к рассмотрению пространства Д» (С).

Вэтом случав оператор Т по-прежнему можно определять форму­ лами (14.11), (14.12) как сингулярный интеграл в смысле Коши. Покажем, что этот оператор можно определить и при помощи клас­

сического интеграла Лебега —'Стилтьеса.			?5R
Зафиксируемпроизвольную точку 0 е	(О, S), отличную'от'точек
разрыва функции 0 (0 ). В этом случае функция ф„ (а) =			ф ($, 0 )
относительно s е [О, £] непрерывна в	силу	соотношений (3.6).
Используя затем представление непрерывной		функции	ограни­

■§ 18] ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА 173

ченной вариации в виде суммы абсолютно непрерывной и сингу­

лярной функций (см., например, [31], гл.		IX, § 6) и опираясь
на то, что на множестве	(0, с — е ) (J (а +	е, S) сама функция
ф« (а) абсолютно непрерывна при любом достаточно малом е О,
убеждаемся, что ф0 (а) абсолютно непрерывна на [О, S]. Исполь­
зуя функцию ф0 (а), 0 <	а < 5, построил! меру Лебега — Стилть-
еса ф0 (Е) = ф (Е\ а) на	открытом сегменте (О, S) (см., напри­
мер, [19], гл. III, § 5, п. 16). .Фупкция ф„ (Е) будет определена
на каждом множестве Е CZ (0, 5), измеримом относительно меры

mes, и будет даже абсолютно непрерывной относительно этой последней (см. там же, гл. IV, § 12, п. 2). Поступая как в п. 18.1 с мерой mes,‘ получим меру на С, определенную па ст-алгебре всех измеримых относительно меры mes подлшожеств кривой С, рав­ ную нулю на каждом подмножестве Е, mes Е = 0. Сохраняя обоз­ начение ф0 (Е) и для этой люры на С, получим однопараметри­ ческое семейство мер, которое будет, согласно следствию 14.1, равномерно относительно о ограничено.

Каждая функция					/ e i » (с)		измерима относительно меры
фя (Е) для всех указанных						выше а е= (О, S) и, будучи ограничен­
ной,	может быть проинтегрирована но ней. Разделив промежуток
I— М, ЛЯ, М =				sup vrai |/ (s) |,			на п равных частей точками
УГ- — М = у0<			ух <		уг <	. . . <	уп =	М, получим (deф (гг, о) =
= Ф № ;		а))
				Л			п	1=0
	Г/(а) =		4	\/		(s,с) =	^		(18.13)
				С
где	Ei =	{a: y t <		f ($). <		yi+1}, i ^ 0,		1, . . ., и, упП = M + 1
(см., например, [21], гл. VI, П: 4.2). Учитывая абсолютную непре­
рывность		по s	функции фа О?) для отмеченных выше значений
а е	(0, S), убеждаемся, что определение (18.13) в рассматривае­
мом случае, эквивалентно						определению (14.11), (14.12) и даже бо­

лее точно описывает те о, для которых функция Tf (о) существует. Их формулы (18.13) и из следствия 14.1 легко получаем, что опе­

ратор Т действует в			(С) и ограничен.
Зафиксируем произвольное йзмерилюе относительно меры mes
множество Е с		С,	и рассмотрим числовую функцию ф (Е;		о)
относительно	о*.	Вспоминая		процесс построения меры ф (Е;	а)
и принимая	во	внимапие,		что применяелше при этом операции

не выводят за пределы лшожества измеримых относительно меры mes функций, убеждаемся, что ф (Е\ а) измерили по о. Она опре­ делена почти всюду на (0, S), точнее, вне лшожества точек разры­ ва функции 0 (а).

Обозначил! через Ъа (С, mes) совокупность всевозлюжных ве­ щественных аддитивных (априори не обязательно счетно-аддитив­ ных) скалярных функций р, определенных на совокупности всёх

174			КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ							[ГЛ. V
измеримых		относительно mes подмножеств кривой						С,	причем
р (Е) = 0 каждый раз, когда mes Е = 0.						Под нормой			элемента
р е= Ьа (С, mes) понимается полная вариация V (р; С), и все										нор­
мы ji ^ ba (С, mes)			конечны. Множество			ba (С, mes) является
банаховым		пространством.		Как известно		(см.,	например,			[19],
гл. IV, § 8, п. 16, или [21], гл. VI, п. 4.4), формула (18.3) уста­
навливает		изометрический		изоморфизм		между	пространством
(С),	сопряженным L® (С), и пространством ba (С,							mes).		что
Из	сказанного в		двух	предыдущих абзацах вытекает,
ф (Е, а) измерима			относительно		любой	меры	р е	Ьа (С, mes)
и, будучи ограниченной, может					быть проинтегрирована по р:
			v(i?)= ^ф(Я;б)dp(б).						(18.14)
				с

Так построенная функция множеств v (Е) принадлежит, как нетрудно убедиться, пространству ba (С, mes). Следовательно, по мере (18.14) может быть проинтегрирована каждая функция /ЕЕ L„ (С), а ее интеграл может быть получен по формуле вида (18.13).

Обозначим через / п (а) сумму из формулы (18.13). Представляя

ее в виде интеграла от простой функции fyn(s) =		2	(S)
и опираясь на следствие 14.1, убеждаемся, что / п (а)		i= 0	х
		стремится
к Tf (о) при п -»■ оо равномерно	относительно с. Отсюда		легко
получить, что /„(о) стремится к	Tf(a) и по мере р еЕ Ьа(С, mes),

а поскольку она ограничена, то к ней применима теорема о почлен­ ном интегрировании (см. [19], гл. III, § 3, п. 6). В силу сказан­ ного получаем

I/ (s)v (ds) = lim 2 У& (Ei) = lim \ 2 р*ф(#*; a) dp (о) =

Вспоминая общий вид (18.3) линейного функционала в L » (С) и соотношение вида (18.4), определяющее сопряженный оператор, приходим к выводу, что аналитически он может быть записан в в виде формулы

? > ( £ ) = Д = (18.16)

где р — любой элемент ba (С, mes), а Е — произвольное измери­ мое относительно меры mes множество на С.

§ 18J				ЗАДАЧИ			ДИРИХЛЕ		И НЕЙМАНА		175
	Покажем, наконец, что мера (18.14) абсолютно непрерывна от­
носительно			меры Лебега mes. Поскольку v (Е) = 0, как только
mes Е — 0,			то достаточно установить, что мера (18.14) счетпо-
аддитивна (см., например,							[19], гл. III, § 4, п. 13, или [37], гл. I,
§ 13).		(2?{) — произвольная последовательность									mes-изме­
Пусть
римых попарпо				не пересекающихся множеств на С. Рассуждая,
как	при	выводе		равенств				(18.15),	и пользуясь тем,		что мера
ф (Е; ст), очевидно,					счетно-аддитивна при всех а, последовательно
получаем
2	v (E i) =		lim	2	v (E i) =			lim J 2	^ (■£«; 3) Ф О3) =
= i							n-°° Ci=l
			= [ lim		2	Ф (Я» б) d\i(G) = jj ф ( 2 ;o) d\y(o) = v (E),
			c ,l-°° i=i						a	i=i
где	E =	2	Это и означает, что мера v счетно-аддитивна.
Функция			(18.8)		определена и имеет ограниченную вариацию
на [0, 5], какова бы ни была ( i £ k									(С, mes). Если Е обозначает
конечную		сумму		непересекающихся интервалов произвольного
вида, a v (Е) — меру						такого		множества,		построенную	по функ­
ции	(18.8),		то нетрудно				убедиться, что			v (Е) = v (Е). Отсюда
следует,		что мера v может						быть	продолжена на совокупность

всех измеримых относительно меры mes множеств и, вследствие

единственности	такого продолжения		(см.		[19], гл.	III,	§ 5,
пп. 14—17), совпадает с мерой v. Поскольку					эта последняя		аб­
солютно непрерывна относительно		меры		mes, то это		возмож­
но только тогда, когда функция		(18.8)		абсолютно непрерывна
на ГО, 5].	18.2 (см. [17, н)]).		Предположим, что С —
Т е о р е м а
произвольная кривая ограниченного		вращения.			Тогда
(i) Какова бы пи была мера р, ^		Ъа {С, mes), функция (18.8)
определена и абсолютно непрерывна на ГО,				5];	функция множеств

(18.14) принадлежит пространству Ъа (С, mes), счетно-аддитивпа и абсолютно непрерывна относительно меры mes на С. При этом

	v (Е) =	$ф (Е; о) d\L (о) = v (Я)		(18.17)
для каждого mes-измеримого множества Е на С.				пространстве
(ii)	Пусть Т — оператор,		действующий в
La, (С) согласно формуле		(18.13).	Тогда сопряженный ему опера­
тор	Т* действует п непрерывен в пространстве			ba (С, mes) и

176	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	[ГЛ. V
аналитически задается	либо формулой (18.16), либо формулой
К (<fc)=i-ds $ф (*,. о) djx(б) = i v (*).		(18:18)

Как известно, пространство Ъа (С, mes) содержит подпростран­ ство baa{C, mes), состоящее иэ абсолютно непрерывных относи­ тельно меры mes функции множества и изометрически изоморфное пространству L (С) (см., например, [211, гл. VI, п. 4.6). Тогда утверждение (i) теоремы 18.2 может быть сформулировано еще

и так:

(i') Оператор Т*, определенный либо формулой (18.16), либо

формулой (18.18),		действует из пространства Ьа (С, mes) в		его
подпространство		baa (S,	mes) и непрерывен.	Т рас­
18.4.	Перейдем,		наконец, к случаю, когда опер!атор
сматривается в пространстве непрерывных на С функций. Сопря­
женное	пространство в		этом случае есть совокупность rca (С)
всех регулярных счетно-аддитивных вещественных скалярных
функций множества |х, определенных на системе всех борелов-

ских множеств на кривой С. Норма элемента р. определяется, как ее полная вариация на С, и все ji ее тса (С) имеют конечные нормы. Согласно теореме Ф. Рисса (см., например, [19], гл. IV, § 6, п. 3), общий вид линейного функционала в рассматриваемом случае

задается формулой (18.3), в которой р, е			тса (С), соответствие
(18.3)	взаимнооднозначно. и устанавливает		изометрический* изо­
морфизм: функционал I и мера р имеют равные нормы.
При кажом фиксированном s ЕЕ [0, 5] доопределим функцию
ф6 (о) =	ф (s, о).в точке	о = s по формуле ф? ($) = Ф (s, s, - f 0);
в точках непрерывности		функции 9 (з) функция фв (о)'непрерыв­

на по о на всем сегменте	[0, 5].	Каждая функция ф5 (о) будет,
очевидно, измеримой по	Борелю,	и так как ф4 (о) ограничена,
то функция (18.8) определена на сегменте [О, S] для любой меры

р. ЕЕ тса (С). Из следствия 14.1 вытекает, что. v (з) имеет ограни­ ченную вариацию на [0, 5]. В силу же того, что ф (|, о) ограничена и ф4п (о) = ф(о, sn) ф (о, « + 0) при з* з 0 и всех сг е ГР, «S'],

можно применить теорему Лебега о почленном интегрировании

(см.,	например,		[19],. гл. III,		§ 6, п. 16).			Следовательно, v (з)
непрерывна		справа. Следуя			классической			схеме, по		функции
v (s)	можно	построить		единственную			регулярную		меру	Бореля
на кривой С, т. е. элемент пространства rca (С).									sn — S		на n
Разделим		[0, S] точками 0 = s0 <• 3j <						. . . <
равных частей и рассмотрим					последовательность интегральных
				п-1
сумм Стилтьеса			/ п(а) =	2 / (si) 1Ф («i+u о) — ф (3it о)] для любой не-
				i=o		/ (з).	Поскольку		в этом		случае
прерывной па [0, 5] функции
/„ (о)	являются		ц-измеримыми			для	любой	ц е	тса (С),		а при

§ 16]	ЗАДАЧИ	ДИРИХЛЕ II НЕЙМАНА		177
л —> оо	они стремятся к интегралу Стилтьеса (см., например,
121], гл.	VI, п. 3.2), то из формулы (18.8) и уже упоминавшейся
теоремы	Лебега получаем
■J- 5 / М dv(') = J,™ 1Г|		Мdp.(о) = ±	| limU(о)dp(о) =
Внутренний интеграл Стилтьеса от~/			по ф0 (s) служит в.рас­

сматриваемом случае определением интеграла (14.8), следователь­ но, сопряженный оператор Т *, действующий из гса (С?) в гса (С), аналитически задается той же формулой (18.18). Наконец, рас­ суждая, как в п. 18.3, убеждаемся, что мера (18.14) счетно-адди­ тивна и в случае р е тса (С) и что сопряженный оператор Т* может быть определен и при помощи формулы (18.16).

Т е о р е м а 18.3 (см. [17, н]). Предположим, что С — произволънал кривая ограниченного вращения, а р —г произвольная мера

из rca (С). Тогда		определена па сегменте ГО, 5]	и имеет там
(i) Функция (18.8)
ограниченную вариацию. Функция множеств (18.14)			есть элемент
пространства тса (С)		и совпадает с регулярной мерой Вореля—
Стилтьеса v (Е), построенной по функции (18.8)			(те. е. равен­
ство	(18.7) имеет место для каждого борелевского множества
Е а	С).	щ

(ii) Пусть Т — оператор, определенный какинтегралСтйлтьеса (14.8) и действующий в пространстве непрерывных на С'функ­ ций. Тогда сопряженный ему оператор Т* действует и. непреры­

вен в пространстве rca (С) и	аналитически выражается либо
формулой (18.16), либо формулой (18.18).		, •«
В заключение заметим, что меры v (Е), v (Е) не изменяются,
если функцию фв (о) в точке	a =.s определить	произвольно,

лишь бы значение ф, (в) находилось между ф (s,s — 0) и ф ($, $ + 0). Бели же кривая С не имеет угловых точек, то] одновременно,.? ф (Е; о) абсолютно непрерывными (относительно меры mes на б) будут и меры v (Е), v (Е).

18.5.Пусть / (s) — некоторое решение однородного уравне­

ния (18.2) (срх = 0). Построим. кусочно-аналитическую функцию

ф » = - ^ ь<	5> ттР Ь --	<18л3)
исчезающую на бесконечности.	Если Я = 1 и / е	Lp (С), р > 1,

то функция и = Re Ф (z) гармонична вне липни С, а ев1пре­ дельные значения на С изнутри области G+ почти всюду суще­

178 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V

ствуют и равны нулю, как это следует из соотношений вида (15.11).

Предположим теперь, что	/ (а) непрерывна на С или даже
принадлежит пространству L„	(С). Тогда функция к, как следует
из теоремы 14.1, ограничена	в G+. Отображая конформно G+

на единичный круг и опираясь на результаты § 9 и теорему 11.1, убеждаемся, что » г О в G+. Следовательно, Ф (z) = const при z еЕ G+, и так как в силу соотношений (15.11) имеем Ф+ [z (s) 1—

— Ф- [z (а)] = / (а) почти для всех			s е (0, а), а / (а) веществен­
на, то почти всюду на С имеем v~ =			const.
Отобразим теперь круг		) £ |< 1	на G~ при помощи аналити­
ческой	функции z = © (£),	со (0) =	оо, и рассмотрим функцию
Y (£) =	вФ [и (Q] — — v +	Ш. Снова опираясь на теорему 14.1,

убеждаемся, что гармоническая функция й ограничена в круге |£ |< 1, следовательно, как функция S, так и ей сопряженная функция — v принадлежат классу hp при любом конечном р > 1 (см. § 12). Отсюда вытекает (см. теорему 9.3), что функция (— D)

представима		интегралом Пуассона — Лебега через			свои	гранич­
ные значения на круге |£ |=				1, следовательно, функция 'F (£)
в	единичном	круге	|£ |< 1	представима интегралом		Шварца
через (— Ъ+) (см. построения п. 10.10). Поскольку					v+ почти всю­
ду	равна некоторой		постоянной, отсюда следует,		что	¥ (£) =
=	const при	J£ |<	1, поэтому Ф (z) = const при		z е	G~. Так
как Ф (оо) =		0, то Ф (z) = 0 в G~. Теперь получаем /				= Ф+ —

— Ф~ = const почти всюду, а если подставить эти значения в од­ нородное уравнение (18.2) (при Я = 1) и воспользоваться форму­

лой (3.8), то получим / (а) = 0 почти всюду. Если /	(а) непрерыв­
на, то это равенство имеет место всюду, а если / е	(С), то / (s)
эквивалентна нулю.

Опираясь на геометрический смысл функции сог (а) или исходя из формул (15.11) применительно к функции (18.19), непосредст­ венно убеждаемся, что при Я = — 1 однородное уравнение (18.2) (<рх = 0) имеет решение / (а) = 1.

Л е м м а 18.1. Какова бы пи была кривая ограниченного вра­ щения С, однородное уравнение (18.2) (<рх = 0) при Я = 1 имеет только нулевое решение в пространстве £«> (С). Если же Я = — 1, то вто уравнение имеет по крайней мере одно ненулевое решение

/ (а) == 1 в пространстве £ « (С).

18.6.Пусть р — произвольный элемент из rca (С). Вводя обоз­

начение Еа = {о: 0 < с г < а}, построим на интервале (0, а) функцию точки р (а) .= р (Ев). Очевидно, эта функция будет иметь на (0, а) ограниченную вариацию в том смысле, что условие вида

(1.5)	будет иметь место	при произвольном выборе точек а0 <С
<	< . . . < ап из (0, а). Пусть а0 6Е (0, s) и последовательность
{sn),	монотонно убывая,	стремится к а0. Принимая во внимание

§ 181	ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА	179
непрерывность	меры р (см., например, [19], гл. III, § 4, п. 9)

и сходимость монотонной последовательности {Е^ \ Ен) к пустому множеству ф, получаем

О = р (Ф) = Р (lim (ЕВп \ EJ) = lim р (Е^ \ Е„)= lim [р (sn)-p (s 0)].

Иными словами, функция р (s) непрерывна справа в каждой точке

из	(0, s).		Полгал а0 = О,			Е Sit= ф1 аналогично получаем, что
р (0 +		0)	= 0 .	Если	же	последовательность	{$„},		монотонно
возрастая, стремится к					S, то соответствующая последовательность
множеств			{i?s}i монотонно			возрастая, стремится		к	множеству
(О,	S).	Следовательно,			р ((О, S)) = р (lim #^)		=	lim р (ЕЯл) =
=	lim р ($„) =			р (S — 0). Поскольку мера борелевского множества

на (0, s) и мера его образа на С, по определению, совпадают, то

р (5 -	0) =	р ((0, s)) =	р (С \ {z (0)}) = р (С) - р ({* (0)}). В част­
ности,	если р (С) = 0,		имеем р (S — 0) = — р ({а (0)}).
Обратно,		предположим, что на (замкнутой) кривой С задана

вещественная функция р (s), непрерывная справа в каждой точке. Пусть эта функция имеет ограниченную вариацию в том смысле, что условие вида (1.5) имеет место при произвольном выборе точек

s0 < sx <	. . . < sn из полуоткрытого				интервала [0, S). Полуот­
крытому	интервалу		(s, о] С [0, $),		а также множеству (z (s),
z (о)] а	С	припишем	меру	р (о) — р (s), мерой же множества
вида (z (s),		z (5)] при s <		S будем считать число р (0) — р (а).

Требование аддитивности очевидным образом приводит к опреде­ лению некоторой меры па совокупности всевозможных конеч­ ных сумм непересекающихся интервалов рассмотренного вида. Как известно (см., например, [19], гл. III, § 5, п. 14), эта мера имеет единственное продолжение до регулярной счетно-аддитив­ ной меры р на совокупности всех борелевских подмножеств на С, т. е. до элемента р 6Е тса (С). Представляя С в виде конечной суммы множеств указанного выше вида, убеждаемся, что р (С) = = 0, какова бы ни была исходная функция р с описанными

свойствами. Поскольку		функции,		. отличающиеся на	посто­
янную,	порождают одну	и ту	же	меру, можно считать, что
р(0) =	0.
Рассмотрим теперь уравнение,			сопряженное (18.2):
	р + КТ* р = у,				(18.20)

в котором у — заданный, а р — искомый элемент из некоторого пространства. Пусть, например, у» [if=rca (С). Согласно теореме 18.3, в этом пространстве оператор Т* представим одной из фор­ мул (18.16), (18.18). Рассматривая (18.20) на борелевских мно­ жествах частного вида Es, 0 s <? S, в принятых обозначениях

180			КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ				[ГЛ. V
получим
fr< «)+ -£ ’v (» )» F M			+ * F V « -
	Е (Г(s) +	А | м> (s, 5) — *			(0, 0 )1	dp (о) = т (»).	<18.20')
где v(a) =	v (Е,),	f	(s) = V (Я,).
Считая, как всегда, что в точке z (0) кривая С гладкая, рас
смотрим равенство		(18.20') только			для тох a 6Е (О, S),		которые
отвечают	неугловым		точкам	на	С. В	этом случае	функция
ф (а, а) — ф (0, о)		абсолютно		непрерывна		по а на [0, £]. Пред­

ставим интеграл в формуле (18.20') в виде суммы двух интегралов, распространенных соответственно по {7\{z(0)} и {z (0)}. Интег­ рал по {z (0)} равен [ф (а, 0) — ф (0, 0)] р ({z (0)}). К интегралу же по множеству C \ {z (0)} применим формулу интегрирования по частям (см., например, [19], гл. III, § 6, л. 22), заметив пред­ варительно, что мера р на С\ {z (0)} совпадает с мерой Бореля — Стилтьеса, построенной па (О, S) по функции р (а) = р (Е8). Принимая во внимание формулу (3.8), абсолютную непрерывность

меры йсф.(а, о) в указанных				точках кривой		С, а также отмечен­
ное в	начале	этого	пункта	соотношение		р (5 — 0) =	р (С) —
р ({ z (0)}),		после	несложных		преобразований получим
£(?) -	Р (<0<ЭД> (*. о) = у			(а)	~ ^ р (3) da\1) (0, б)
			- ~ №		M ) - i | > ( 0 ,0 ) ] p ( C ) .		(18.20")

Формула (18.20") дает возможность, опираясь на построения п. 18.5, доказать, прежде всего, что однородное уравнение (18.20) (у = 0) при Я == — 1 в пространстве гса (С) имеет не более одного линейно-независимого решения. В самом деле, если бы существо­ вало два таких решения рх, р2, то при подходящем выборе чисел а и р линейная комбинация р (а) = арх (а) + Рр2 (а) удовлетворя­ ла бы соотношению вида (18.20") с постоянной правой частью при почти всех а е (0, S). Построим функцию (18.19) ‘ е заменой / на р1. Гармоническая функция к = Re Ф (z) была бы ограниченной и имела бы почти всюду на С постоянные предельные значения и+. Отсюда следовало бы, что и, а затем и Ф (z) сводятся к постоян­ ной в G+. Снова пользуясь соотношением Ф+ — Ф~ = р и рас­ суждая, как в п. 18.5, убеждаемся, что Ф (z) = 0 в области G~. Отсюда следует, что р (а) равна некоторой постоянной на множест­ ве полной меры, и так канона непрерывна справа, то р (а) == const всюду. Поскольку р (0 4- 0) = 0, то р (а) = 0 на (0, а), следова­

тельно, 0 = р (S — 0) =	р (С) — р ({z (0)}). Числа, а и р выби-
. рались так, что р. ((7) =	арл (С) + |3р2 (С) — 0, и из сказанного