книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости
..pdf§ 7] ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ И ПОЛНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ
|
51 |
х0 = t\ получим |
|
| Ф ( 0 К ^ ‘< |
о < * < 1 . |
Из формул (6.12) следует, что |
при z = t функции F (х) G (х) |
совпадают с функциями / (*), g (х) соответственно. Поэтому Пре дыдущее неравенство для функции (6.14) дает
= I j / (*>г 1к1~‘к‘гт[V (/u;-V |
) J) dv(X) |< |
каковы бы ни были простые функции / (z), |
g (ж), удовлетворяю |
щие условиям (6.11). Снова ссылаясь на формулу (6.6), получаем
IcVIU.v<M1||/Il/eiI1.
Вспомним теперь, что к = к\ lk2y u = u* 1и£. Учитывая также
смысл операторов Uz, V, V , перепишем предыдущее неравенство в виде
($ IКТIV(ДГ>)1Г |
<*»)' < М ,($ I/1./. d t f . |
Et |
Е |
Переходя к пределу при е —»-0, придем к неравенству, экви валентному (6.10). Теорема 6.2 доказана.
Случай теоремы 6.2, когда кг = к2 = 1 , щ = и2 = 1 , соот ветствует теореме М. Рисса. При более частных предположениях теорема 6.2 была установлена в работе [24].
§7. Об ограниченности н полной непрерывности некоторых интегральных операторов
7.1. Пусть оператор U действует из одного линейного норми рованного пространства В{ в другое такое же пространство В2. Если каждое ограниченное в Вх множество преобразуется опе ратором U в компактное множество, то оператор U называется компактным. В частности, единичная сфера пространства В\ отображается компактным оператором U в компактное множест
во, и так как это последнее, очевидно, ограничено, то
sup ||£fo||< + оо. М=х
Если при атом дополнительно предположить, что оператор U аддитивен, то он окажется ограниченным, а следовательно п не прерывным. Аддитивные компактные операторы называются вполне непрерывными.
52 |
ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ |
[ГЛ. Ii |
Чтобы указать простейший вполне непрерывный интеграль ный оператор, рассмотрим функцию К (s, о), определенную и не прерывную в квадрате а a, а ^ b (a, Ь— конечные числа).
Тогда формула
ь
ф (s) = (а, о) <р (б) da== Ку (а) (7.1)
определяет некоторый оператор К, действующий из любого про странства Ьр (а. 6), /? > 1, в пространство С непрерывных функ ций. В самом деле, существование интеграла (7Л) не вызывает сомнения; составляя разность ф (а) — ф (а') и пользуясь неравен
ством Гёльдера |
и |
равномерной непрерывностью ядра К (а, а) |
в квадрате а ^ |
а, а ^ 6, получим непрерывность функции ф (а) |
|
на сегменте а ^ |
а |
6. Больше того, семейство функций ф (а) = |
= Кф (а) приЦфЦ^ |
1 равностепенно непрерывно, и, будучи рав |
номерно ограниченным, согласно известной теореме Арцела, яв ляется контактным в С [о, 6]. Поскольку из сходимости в С [а, 6) на конечном промежутке [а, 61 вытекает сходимость в Ьр (а, 6), то оператор (7.1) вполне непрерывен и как оператор из Lp в С,
икак оператор из Ьр в Lq, q > 1. Рассмотрим, в частности, оператор
ьь
•Коф (*) = ^ |!) : ; ( , ) ф @ Л вш ^ К , (», о) Ф (a) ie . (7.2)
В предположении, что функция а (а) имеет непрерывную на [а, 6] производную а' (а), интеграл в этой формуле понимается в смыс ле Лебега и оператор АГ0ф (а) имеет ядро
|
|
1 |
|
|
|
|
£ 0(s,o) = |
$<x'[o-H (a-6)]d|, |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
очевидно, непрерывное в квадрате а ^ |
а, а ^ |
6. Следовательно, |
|||
в этом предположении оператор (7.2) |
действует из Lp (а, |
6) в |
|||
Lq (а, 6) при любых р, q > |
1 и вполне непрерывен. |
из |
|||
Предположим |
теперь, |
что а (а) — только |
ограниченная |
||
меримая функция на сегменте [а, 6]. Тогда интеграл (7.2) |
о п- |
||||
р е д е л я е т с я |
по формуле |
|
|
|
|
а |
|
а |
|
а |
|
(7.2')
§ ’ 1 |
ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ И ПОЛНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ |
53 |
в правой части которой стоит сингулярпый интеграл в смысле |
||
Коши: |
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
Я |
|
s+e |
|
|
|
|
<7-2'> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Воспользуемся важным утверждением, принадлежащим М. Рис- |
|||||||||||||||
су, согласно которому сингулярный оператор |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
s,K*)=S |
|
|
|
|
|
|
(7-3> |
||
(так |
|
называемое |
преобразование |
Гильберта) |
как |
|
функция |
от |
|||||||
s е |
[я, Ь] существует почти всюду для каждой суммируемой функ |
||||||||||||||
ции ф (s), а как оператор в пространстве |
Lv |
(я, Ъ) действует и |
|||||||||||||
непрерывен при 1<Г р <Г <»• Отсюда следует, что и оператор (7.2) |
|||||||||||||||
преобразует каждую |
функцию |
ср ($) е |
Lp (а, Ь), р > |
1, в конеч |
|||||||||||
ную |
почти |
всюду |
функцию АГ0ф (s) |
(поскольку sup |
vrai |a(s)|, |
||||||||||
по |
предположению, |
конечен) |
и |
иепрерывен |
как |
оператор в |
|||||||||
Ьр(а, |
Ь) при 1 <* р <С оо. |
|
|
|
|
вполне |
непрерывных |
||||||||
7.2. |
Пусть |
{£7П} — последовательность |
|||||||||||||
операторов, действующих из Bi в В2. Если она равномерно схо |
|||||||||||||||
дится |
к оператору U: \\Un — |
U\\-> 0 при п |
оо, |
то, |
как изве |
||||||||||
стно, |
U тоже вполне |
непрерывен |
(см., папример, |
[9], |
гл. |
IX, |
|||||||||
§ 2). Это замечание позволило С. Г. Михлину (см. [13, г)] уста |
|||||||||||||||
новить полную |
непрерывность |
интеграла |
(7.2) как |
оператора |
|||||||||||
в Lp(a, b), |
1 |
р <С оо, при одной только |
непрерывности функ |
ции a (s).
В самом деле, в этом случае существует последовательность непрерывно дифференцируемых функций лп (s), равномерно на [я, Ъ] сходящихся к функции а (а). Обозначая через Кп оператор, отвечающий, согласно (7.2), функции ап (s), получаем
(А'п - К0) ф (s) = К (s) - a (s)] ■- jj Ф (a) da. (7.4)
Обозначим через Ap норму оператора (7.3) в Lp (a, b); тогда из (7.4) легко получим
fl (Кп— А 0)'Ф||ь_(я. ь) < '2 0<S<I>шах |otn(*) — a (s) |Ар|ф|L <а, ь),
V
откуда следует, что ||АП— Кй\-> 0 при п -»-0. Как отмечено вы ше, оператор Кп вполне непрерывен при любом п. Тем самым до казано следующее утверждение:
54 |
ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ |
|
|
[ГЛ . II |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Л е м м а |
7.1 (С. Г. Мйхлин, см. [13, г)].. Пусть а (s) — произ |
||||||
вольная непрерывная на конечном интервале [а, &] функция. Тогда |
|||||||
оператор (7.2) действует в пространстве Lp (а, |
Ъ) при любом |
||||||
1 <Т р <" оо и вполне непрерывен. |
|
|
|
только |
предполо |
||
7.3. |
Рассмотрим оператор (7.1) при одном |
||||||
жении, что ядро К (s, а) при почти всех $ измеримо по а, и будем |
|||||||
понимать интеграл в смысле главного значения по Коши |
|
|
|||||
|
6—с |
Ь |
|
|
|
|
|
|
Я<р(s) = lim ( |
^ ) К (s, а) ф (б) da. |
|
(7.5) |
|||
|
« |
«+« |
|
|
|
|
|
Если интеграл в (7.1) существует как обычный интеграл |
Лебе |
||||||
га, то предел (7.5) существует и совпадает с интегралом (7.1). |
|||||||
Предположим, в частности, что существует такая конечная |
мо |
||||||
нотонно возрастающая (в широком смысле, |
вообще говоря) |
функ |
|||||
ция о (s), s (= [с, 6], что для почти всех а, а из квадрата |
а |
s, |
|||||
а Ъимеет место оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
1К {s, о) |< .Ко{s, о) = |
s— c |
s |
. „ . |
|
(7.6) |
|
|
|
’ |
' |
|
|
|
|
Учитывая, что оператор |
|
|
|
|
|
|
|
Я 0ф($) = Н т ( 5 + 5 |
|
|
|
|
(7.7) |
||
|
*+е |
|
|
|
|
|
представляет конечную почти всюду функцию Каф (а) и преобра зует неотрицательные функции в неотрицательные, легко убедить ся, что в предположении (7.6) предел (7.5) существует и конечен почти всюду для каждой суммируемой функции, а оператор К ф непрерывен в Lp (а, Ь)'при 1 < р < оо. Ниже (гл. IV, § 14) будет рассмотрен потенциал двойного слоя вдоль кривой ограничен ного вращения {оператор Радона) и будет показано, что для его ядра существует оценка вида (7.6) (см. [6]).
Оператор К, действующий из Lp в Lq, называется регулярным, если Кф = К+ф — K jf для любой ф ^ Lp, где К±ф — опера торы из Lp в Lq, преобразующие неотрицательные функции в
неотрицательные. Для |
интеграла (7.1), |
понимаемого |
в |
смысле |
Лебега, существование |
оценки вида (7.6): \К (s, а)| < |
К9 (s, о), |
||
где оператор, порожденный ядром К0(а, |
о), действует |
из Ьр в |
Lq, необходимо и достаточно для того, чтобы оператор К был ре гулярным (см., например, [10], гл. 2, § 4). В соответствии с этим оператор (7.1) назовем а-регулярным, если для его ядра сущест вует оценка вида (7.6).
Л е м м а 7.2. Каждый а-регулярный интегральный опера тор^ .1) определен и непрерывен в пространстве Lp (а, Ь) при
1 < р < о о .
g 7] |
|
ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ И |
ПОЛНОЙ |
НЕПРЕРЫВНОСТИ |
55 |
||||
1 |
7/i. Пусть |
оператор |
К0 действует |
из Lp, 1 < р < |
оо в Lq, |
||||
q <С со» и вполпе непрерывен. Покажем, что для любого се |
|||||||||
мейства измеримых множеств |
е С [а, 6], mes <?-*•(), справедливо |
||||||||
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
lim |
sup |
^|tfoq>(s)|3<fe = 0. |
|
(7.8) |
|
|
|
|
mcse->oMLp(a.b)<le |
|
|
|
|||
Если бы это было не так, то для некоторого е |
0 нашлась бы по |
||||||||
следовательность |
{<р„} С |
Lp (a, 6) в единичном шаре (||срп||ьр ^ 1, |
|||||||
л = 1 , 2 , . . . ) |
и |
последовательность множеств |
{е„}, mes еп -+■ О |
||||||
при п |
оо, для которых |
|
|
|
|
$|Я„ФП(* )| « & > 6 > 0 .
еп
В силу полной непрерывности оператора К9последовательность фп (s) = /^офп (s) можно считать сходящейся (в смысле метрики Lq (а, b)) к некоторому элементу ф (s) £Е Lq (a, b). Тогда, соглас но неравенству Минковского, имеем
($ I * о?» w |* * ) “ * < ( S I ^<,ф» w - ф («) г * Г + ( $ i t W I* * |
Г • |
||
п |
п |
п |
|
Первое слагаемое в правой части стремится к пулю при п |
оо, |
||
ибо оно пе |
превосходит |
величины ||.йГ0фл — ФНь, ->-0, п ->■ оо; |
второе слагаемое стремится к нулю при п -> оо в силу условия mes еп->-0 и абсолютной непрерывности интеграла Лебега. Прихо дим к противоречию с предыдущим неравенством, что и доказывает равенство (7.8). Это равенство означает, что вполне непре рывный оператор преобразует ограниченное в Lp (a, b) множе ство в множество функций с равностепенно абсолютно непрерыв ными нормами в Lq (а, Ь). Второв необходимое условие полной непрерывности оператора К0 означает компактность относи тельно сходимости почти всюду, каждое ограниченное множество отображается оператором К 0в множество, из которого можно вы делить последовательность, сходящуюся почти для всех $ €Е [а, 61. Чтобы получить такую последовательность, достаточно в соответ ствии с полной непрерывностью оператора выделить последова тельность, сходящуюся в смысле метрики Lp (а, 6), и поскольку такая последовательность, очевидно, сходится и по мере, соглас но теореме Ф. Рисса, из пев можно выделить подпоследователь ность, сходящуюся почти всюду (см., например, [15], гл. IV, § 3).
Обратно, как следует из теоремы Витали (см. там же, гл. VI, § 3) о предельном переходе под знаком интеграла, каждый опе ратор, преобразующий ограниченное множество из Lp в компакт ное относительно сходимости почти всюду множество функций с
56 |
ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ |
ГГЛ. II |
|
|
равностепенно абсолютно непрерывными нормами в Lq, является
вполне непрерывным оператором.
Предположим теперь, что К — «-регулярный интегральный оператор, а К0 — мажорирующий его оператор вида (7.2). Соглас но лемме 7.1, оператор К0 вполне непрерывен, если функция а (,?) непрерывна, а в силу вышесказанного
lim |
sup |
$ | Д Г ф ( * ) | « * < |
lim |
SUP |
^ [Л^о (|ф|) (я))'уг7.ч = 0 . |
mes f*-»oMLp(a, lo^ 1 e |
mes e~*° Мьр(л, l»)^1 e |
Следовательно, для доказательства полной непрерывности опера тора К достаточно установить его компактность относительно сходимости почти всюду. Покажем сейчас, что этим последним свойством обладает каждый (^регулярныйинтегральный оператор.
7.5. Как уже отмечалось, сингулярный интеграл (7.7) для лю бой ф е Lr, 1 р оо, почти всюду существует и конечен. В частности, почти всюду конечна функция
(7.9)
Обозначим через Е множество точек s GE [а, Ь\, где © (s) Ф ± оо. Исходя из определения (7.7), легко установить формулу
lim |
a(s) — ct(q) do = |
0, |
|
(7.10) |
е-»о |
s— с |
|
|
|
в которой интеграл по множеству s — е < |
а < |
s + е понимается |
||
как сингулярный. |
|
|
из Д», т. е. функция, |
|
Пусть ф (s) — произвольная функция |
||||
для которой ПфЦс = |
sup vrai I ф (s) |< |
+ |
оо- |
В каждой точке |
|
а<з<Ь |
|
|
|
s е Е значение интеграла (7.5) тоже конечно. Следовательно, формула Fa(ф) == Кар (s) при каждом S G £ определяет некото рый функционал в пространстве Ь„. Аддитивность и однородность этого функционала очевидны, а его непрерывность вытекает из оценки
IF. (Ф) | = \Kq> (s) | < to (s) |M|Le. |
(7.11) |
Покажем сейчас, что множество функционалов {F8}t s €= Е, се парабельно в сопряженном пространстве zLДля этого убедимся, что {^«} содержится в замыкании множества линейных функцио налов, порождаемых в А» функциями из Lx (а, Ь).
Пусть
Кс (s, а) = К (s, о), если |а — s\ > е,
$ 7] |
ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ И ПОЛНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ |
57 |
И
Kt (s, о) = 0, если |s — а | < е.
Учитывая оценку (7.6), убеждаемся, что функция Кг (s, о) огра ничена, следовательно, принадлежит Lx (а, Ь). Порождаемый ею функционал
ь
Ft, л(Ф) = $ (s, о) ф (о) da
принадлежит Д»; кроме того,
|Р.(Ф )-Р...(Ф )1 = |
| 5 х (^ в )ф (< о * | < | ф Ь . 5 |
|
|||
|
Is—о|<е |
|
|
|s-o|<e |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
| Л - ^ .. . 1 < |
[ |
a(8i Z |
“ W f c |
(7-12) |
|
|
|
|s—о[<е |
|
|
|
Если s e Е, то из |
формул |
(7.12), |
(7.10) |
вытекает, что |
Ftj8 -+FS |
при в -v 0 в смысле метрики ZrL. Поскольку пространство Lx(a, b) сепарабельно, то сепарабельным будет и семейство функционалов {Fs}, sf= E . Используя диагональный процесс, легко установить, что пространство £ « является Т^-слабо компактным: иэ каждой сферы пространства La, можно извлечь последовательность ф„, на которой сходится числовая последовательность Fs(ф„) при любом s. Иными словами, при почти всех s (Е la, Ыпоследователь ность
ь
|
фя(«) = |
IК (.?, с) фп(с) da= |
£<рп(s) == F, (фп) |
|||
сходится. Следовательно, |
a-регулярный оператор К преобразует |
|||||
ограниченные множества |
из L » в множества, компактные отно |
|||||
сительно сходимости |
почти всюду. |
Поскольку, в |
силу оценки |
|||
(7.11) |
и принадлежности функции |
(7.9) любому |
пространству |
|||
Lp (а, |
Ь) при 1 |
р < |
сю, это множество имеет равностепенно аб |
солютно непрерывные нормы в Lv, то оператор К вполне непре рывен..
Л е м м а 7.3. Каждый ос-регулярный оператор действует из Loo (a, Ь) в Lp (a, 6), 1 p < oo, и вполне непрерывен.
7.6.Согласно лемме 7.2 каждый a-регулярный оператор дей
ствует и непрерывен в Lp (a, 6) при любом р, 1 < р < |
оо. |
Он бу |
|
дет непрерывным (в силу конечности меры множества |
(а, Ь)) |
||
и как оператор, действующий из |
Lp (a, b), 1 <[ р < |
оо, в наибо |
|
лее широкое пространство Lx (a, |
b). Как известно, существует и |
58 |
ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ |
[ГЛ. И |
непрерывен сопряженный к К оператор К*, действующий из
Leo = Zj в Lq =L*P, q = р/ (р — 1) |
(см., например, [9], |
гл. IX , |
§ 3). Докажем сейчас, что сопряженный оператор X * действует |
||
по формуле |
|
|
ь |
|
|
Х*ф (s) = IК * (s, о) ф (о) da, |
К* (в, б) = К (б, s), |
(7.13) |
а |
|
|
в которой интеграл понимается как предел вида (7.5) (в случае ограниченных ядер К (s, о) эта формула, как известно, справедли ва). Поскольку ядро K0(s, о), фигурирующее в оценке (7.6), сим метрично, то интеграл в (7.13) почти для всех s е= 1а, 5] сущест вует н конечен одновременно с интегралом (7.5) и непрерывен как оператор в Lp (a, b), 1 < р < оо. Учитывая общий вид функцио нала в Ьр (а, Ъ), 1 <^р <С °о (см., например, [9], гл. VI, § 2), и оп ределение сопряженного оператора (там же, гл. IX, § 3) К* ф (ф) = = ф (Хф), достаточно установить равенство
ьь
ф (£ф) = Jф ф Хф (s) ds = J ф(s) Г*ф (s) ds = К*ф(ф). (7.14)
аа
Заменим в (7.14) оператор К, порожденный ядром К (s, а), опе ратором Kt, порожденным (ограниченным) ядром Кг (s, а) (см. выше, п. 7.5). Для функций ф, ф из L«, (а, Ь) равенство (7.14) в этом случае есть простое следствие теоремы Фубини:
ь |
ь |
______ |
$ф(5)Кеф (s)ds = jjф(s)К\ф (s)ds.
аа
Заметим теперь, |
что в |
силу |
(7.10) |
разность К<р (s) — Кь ф (s) |
|||
при е -»-0 почти всюду |
стремится |
к нулю, и так как Kq ($) — |
|||||
— Кг Ф (s) |
не |
превосходит |
функции со (s) ||фЦЬоо е |
Lp (а, Ь), |
|||
р > 1 (см. |
формулы (7.11), (7.9)), |
то |
К%ф сходится |
к К ф($) |
|||
в смысле метрики Lv, 1 |
р < |
оо. |
Из тех же соображений выте |
кает, что и К\ ф (s) |
сходится к Х *ф в смысле] метрики Lp (а, Ь) |
|
при любом р, 1 ^ |
р < оо. Переходя в предыдущем равенстве к |
|
пределу при е -»-0, получим (7.14) в А » (а, |
6). Далее, замечая, |
|
что La, (а, Ь) плотно в Lp при любом р, 1 ^ |
р ^ оо, и что соп |
ряженный оператор К* и оператор, определенный интегралом
(7.13) |
, непрерывны в Lp (а, |
Ъ), |
1 <С £ <С °°» |
получим равенство |
(7.14) |
для любых ф е Lp (а, |
Ъ), |
1 < р < оо, |
и ф е Lq (а, Ь), |
Я^ р/(р — 1). Это доказывает формулу (7.13) и в интересующем нас случае, и в случае, когда К рассматривается как оператор в Lp (a, b), 1 < р <С_ оо. Вспоминая лемму 7.3, приходим к ут верждению:
И ) |
|
у п р а ж н е н и я и д о п о л н и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я |
|
|
|
|
Л о м м а |
7.4. Пусть а-регулярный оператор (7.1) |
рассмат |
||
ривается как оператор из Lp (а, Ъ) в Lq (а, Ь) при 1 < |
р < |
оо, |
|||
1 |
7 |
Р- |
Тогда сопряженный оператор К*, действующий |
из |
Lq (а, Ь) в Lp (а, &), есть снова a-регулярный оператор, определен ный интегралом (7.13). В случае 1 < р < оо каждый а-регу лярный оператор действует из Lp (а, Ь) в Lx (а, Ъ) и вполне непрерывен.
Второе утверждение вытекает из первого утверждения, лем
мы 7.3 |
и того |
известного факта, |
что сопряжеппый оператор |
|
вполне непрерывен одноврсмепно с исходным (см., например, [9], |
||||
гл. IX, |
§ 3). |
|
|
|
7.7. |
Вернемся теперь к о-регуляриому интегральному опе |
|||
ратору (7.1), рассматриваемому как оператор, действующий в |
||||
пространстве Lp (а, Ь) при 1 < р < |
оо. Если одновременно трак |
|||
товать его как оператор из Lp (а, Ъ) в |
Lx (а, &), то в силу леммы |
|||
7.4 он |
будет |
вполне непрерывен. |
|
Следовательно, он обладает |
свойством компактности относительно сходимости почти всюду (см. п. 7.4). Если, кроме того, функция а (а) из оценки (7.7) непре рывна, то в силу сказанного в конце п 7.4 оператор (7.1) вполне
непрерывен.
Т е о р е м а 7.1. Пусть К — а-регулярный интегральный оператор (7.1), и пусть функция a (s) из оценки (7.7) непрерывна на [а, 6]. Тогда оператор К действует в пространстве Lp (а, Ь) при 1 < р < оо и вполне непрерывен.
Для общих регулярных операторов с вполне непрерывными мажорантами аналогичное утверждение имеется в книге [101, гл. 2, § 5.
§8. Упражнения и дополнительные замечания к гл. II
8.1.Сопряженный оператор U* : B%-*■ В\ Хаусдорф называет нормаль но разрешимым, если уравнение U*f = g разрешимо тогда п только тогда,
когда g (х) = 0 для всех |
х е N (Е7). В |
случае, когда Вх рефлексивно (т. е. |
|
В"х = Вх), оператор |
U* |
будет нормально разрешимым и в том случае, если |
|
его рассматривать но |
обязательно как |
сопряженный к U оператор, и при |
менить первопачальное определение. В общем же случае определение Хаусдорфа накладывает па оператор U* более жесткпе ограничения: в силу того,
что Вх есть правильная часть В\ , множество N (V) есть, вообще говоря, правильная часть N (U**), и требование, чтобы g исчезало только на N (U), а но на всем AT (U**), расширяет множество тех g, для которых уравнение U*f = g разрешимо, т. е. сужает множество операторов U*. При таком понимании нормальной разрешимости сопряжспного оператора имеет место утверждение: оператор U нормально разрешим тогда и только тогда, когда нормально разрешимым является ему сопряженный оператор (см. [23], стр. 290). Это позволяет, в частности, сохранить утверждение теоремы 5.1, даже если условия (5.3), (5.4) заменить аналогичными условиями на сопря женный оператор (см. [17]). Аналогичное утверждение имеет место и по отношению к теореме 5.2 (см. [1]).
ЙЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. II
8.2. Рассмотрим сннгулярыос интегральное уравнение
( 8 . 1 )
Если (спрямляемая) кривая Г удовлетворяет некоторому дополнительному условию (например, является кривой Ляпунова пли Радона), то оператор
(8.1) непрерывен в Ьр (Г) |
при |
1 < |
|
оо (см. ниже, гл. IV, § 16). Отсюда |
|||||||||
вытекает аамкнутость многообразия N (U) решений однородного уравпепня |
|||||||||||||
(8.1) |
. Исполь8уя |
критерий |
аналитического продолжения функции |
ф (I) е |
|||||||||
e L i p a , 0 < a ^ l , |
с кривой |
Г |
во внешшою область G~ (см., например, |
||||||||||
[141, гл. I, § 29), покажите, что подпространство N (U) имеет бескопсчную |
|||||||||||||
размерность |
(по крайней |
мере, |
когда Г — кривая Ляпунова). |
|
|
||||||||
Покажите, далее, что сопряженный относительно дефинитпого «внутрен |
|||||||||||||
него» |
произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператор |
U* |
действует |
по |
формуле |
|
|
|
|
|||||
и- что, следовательно, некоторая |
фупкцпя |
ф* е= Lp, |
удовлетворяет |
одно |
|||||||||
родному сопряженному уравнению |
Е/*ф* = |
0 тогда и |
только тогда, |
когда |
|||||||||
функция |
% (т) = ф* (т) т' (о) е |
|
удовлетворяет однородному |
«союзному» |
|||||||||
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пользуясь критерием аналитического продолжения функции х (?) G |
Lip а, |
||||||||||||
0 < а < 1 , с |
кривой Г во внутреннюю область G+, покажите, что и подпрост |
||||||||||||
ранство |
N* (U) с |
ip' (Г) |
имеет |
бесконечное число |
липсйно-псзависимых |
||||||||
функций. |
|
|
|
|
U, определенный формулой (8.1), имеет индекс |
||||||||
Таким образом, оператор |
|||||||||||||
дефекта (оо, |
оо). Используя теорию классов Харди Нр и классов Смирпова |
||||||||||||
Ер (см. гл. III), а также теорию интеграла типа Коши, в частности формулы |
|||||||||||||
Сохоцкого — Племеля при ф е |
ip , р > 1 |
(см. гл. |
IV), покажите, что, |
||||||||||
тем |
пе менее, уравнение |
|
(8.1) |
нормально |
разрешимо (при 1 < р < о о ) . |
||||||||
Это |
показывает, в |
частности, независимость соответствующих |
требований |
||||||||||
в определении обобщенного оператора Нётера (см. § 5). |
по модулю |
||||||||||||
8.3. Разбивая |
пространство |
В, |
на эквивалентные классы |
||||||||||
N (U) (i = {я -[- i 0), *0 е |
N (V)) |
и |
полагая |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|Ш = |
|
inf |
|
||i — аг01|= inf IIill, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
•То**=GN(U) |
|
|
|
|
|
||
получим, |
как известно, полное нормированное пространство B jN ( V) (ото |
банахово пространство называется факторпространстоом). Легко убедить ся, что оператор О, индуцированный оператором U, непрерывен и взаимно однозначно отображает BJN (С/) на Rv = U (Bj). Если возникающий при
этом обратный оператор и -1, отображающий R u на B jN (U), тоже пепре-