книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

§ 3]

КРИПЫЕ РАДОНА

21

теорему о среднем значении (см. (2.7), (2.8)), получим

		- И	- £ ) + - < —			»т.			(3.2)
inf cos [0 (р ) -0 (б + О )К т <
						sup cos [0 (р) —0(а + 0)].
s<p<0					8<р<0
С огласно	определению		0 (я -+- 0),		имеем |0 (я +			0) — 0 (р) |< ; е?
где б	0 —	наперед задаппое		чи сло,			лиш ь только 0 <		р — я < "
<■ б, б >	0.	П усть я <С о <Г Р-		Е сли			р — ст достаточно		мало, то
аналогично		|0 (а -|- 0) — 0 (р) |<			е. С ледовательно, |0 (я + 0) —
— 0 (а +	0) |< 2е, лишь только а — я положительно и достаточ­
но мало,	т.	е. функция 0+ (я) =			0 (я -f- 0), 0 <			я < S,	н е п р е ­
р ы в н а	с п р а в а ,		Но тогда		|0 (р) — 0 (и + 0) |<				I 0(р) —
— 0 (я +	0)	|Н- [ 0 (я + 0) — 0 (а +				0) |< 2е0)		где	е0 > 0 —
произвольно малое число, лишь только 0 < а -								я < б0, я < р < ^
< а. Отсюда следует,			что число		у,		входящее	в формулу (3.2)^

в пределах (я, я + б0) имеет положительную нижнюю границу у0. Следовательно, фупкция г строго монотонно возрастает при возра­ стании а е (я, я + бо). Отсюда легко вытекает, .что эта же фупкция строго монотонно убывает при возрастании а в некоторой окрест­ ности слева от точки я.

Л е м м а 3.1 (И. Радон, см. [12]).	Кахсдой внутренней точке
ъ (я) простой жордановой кривой С с	ограниченным вращением

соответствует полоохительное число е (я) такое, что окружность

радиуса р ^ е (я) с центром	в точке z (я) пересекает кривую С
точно в двух точках z', z",	отвечающих значению а слева или

справа от я соответственно; при этом не все точки кривой С ле­ жат внутри или на границе круга радиуса р.

В самом деле, из только что установленных свойств монотонно­ сти функции г (а) следует, что дуга кривой С\ отвечающая интер­

валу	(я — б0, я +		б„), при некотором б0 пересекает окружность
радиуса р <		min	[г (я — 6„),	г (я -|- б0)] =	ех только в	двух точ­
ках	z', z". Часть		кривой С,	отвечающая	сегментам	[0, я — б0],
[я +	б0, 5],	находится на положительном расстоянии е2 от точки
z (я), ибо в		противном случае в силу непрерывности z (я) кривая С

имела бы кратные точки и не была бы простой кривой Жордана. Число е = min (е*, е2) удовлетворяет требуемому условию.

3.4,1!Предположим, что С — з а м к н у т а я простая кривая Жордана. Согласно теореме Жордана х), кривая С разбивает плос­ кость z на два связных открытых множества, т. е. на две области. Та из них G~, которая содержит бесконечно удаленную точку, называется внешней, оставшаяся G+ — внутренней относитель­ но кривой С областью.

1) См., например, [2], гл. II.

22

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СПРЯМЛЯЕМЫХ КРИВЫХ

[ГЛ. I

Пусть точка z = х + iy не лежит на кривой С. Тогда она рас­ положена на положительном расстоянии от С, Определим угловую функцию о>2 (s) = arg [z (s) — z] в точке s = 0 произвольно, а за­ тем по непрерывности на всем сегменте [0, S], Поскольку кривая С замкнута, приращение функции <о (а) на [0, 5] равно 2лп, где п — целое число, возможно нуль. Кроме того, функция In |z (s) — z | (абсолютно) непрерывна на [0, 5] и ее приращение на этом сегменте равно нулю. Поэтому имеют место формулы

		& («)
		z(s) — z
		о
	1 Г	[х (s) — а-] у' (s) + [у (s) — у] х' (s) .	(3.3)
	2л )	(х ( « ) - * ] • + [ » ( * ) - у ] *

О

Первый интеграл в этой формуле определяется как интеграл Стилтьеса от непрерывной функции [z (s) — z]-1 на [0, 5] по аб­ солютно непрерывной функции z (s). Вместе с coz (s) определена вдоль С и некоторая ветвь In [z (s) — z] = ln| z (s) — z |+ m s (s), откуда следует второе выражение для О (х, у), в котором первое слагаемое на самом деле равно нулю. Последний интеграл в (3.3) получается из первого, если отделить в нем вещественную часть и воспользоваться абсолютной непрерывностью функций х (s),

У is).

Функция	coz (s) непрерывна на топологическом произведении
х [0, £];	отсюда следует, что число О (х, у) тоже непрерывно

зависит от точки z e & t . Поэтому, если z Е: Gr, то существует не­ который путь С, соединяющий точку z с бесконечно удаленной точ­ кой, находящейся на положительном расстоянии от С. Удаляя в бесконечность точку z вдоль С и используя первое выражение для числа О (х, у), убеждаемся, что О {х, у) равно нулю в обла­ сти G~.

Пользуясь непрерывностью функции сог (s) на замкнутом мно­ жестве точек кривой С и принципом Гейне — Бореля, легко по­ лучим конечное покрытие кривой С интервалами, в пределах которых колебание функций сог (s) не превосходит наперед задан­ ного числа е > 0. Из второго выражения для числа О (х, у) выте­ кает, что интегрирование в первом интеграле (3.3) можно про­ водить вдоль некоторого полигона. Следовательно, если z ЕЕ G+, число О (х, у) равно + 1 . Переходя, в случае надобности, к пара­

метру $* =		S — s, всегда можно считать, что О {х, у) = 1, если
z =	х + iy е G+. В этом случае говорят, что возрастанию длины
дуги s отвечает положительный обход кривой С.
но	Число	(3.3) называется порядком точки z (£ С относитель­
	С.

§ 3]

КРИВЫЕ РАДОНА

23

Полученные выше результаты кратко можно разюмировать так: для того чтобы z принадлежало G+ или G~, необходимо и до­ статочно, чтобы порядок точки z относительно С был равен 1 или

Осоответственно.

3.5.Переходим к определению и установлению некоторых свойств угла видимости для кривой С ограниченного вращения (см. [12]). Пусть С — (не обязательно замкнутая) простая кривая

Жордана. Рассмотрим пару чисел s, ст, удовлетворяющих условиям

О	s < ст	I?, причем в случае замкнутой кривой С исключим
пока	значения s =		0, а =	S.	Тогда точки z (a), z (а) различны.
Два уравнения				х (s)
	cos ф (а. о) =		а: (q) —		’ sin ф (а, б) =
			I * (О) ~*(®)|
определяют угол ф (s, а) с				точностью до слагаемого 2лк, к — це­

лое число. Для всех остальных значений а, ст при а < ст определим ф (s, <т), исходя из условия непрерывности. Наконец, доопреде­ лим значения угла ф (s, а) в симметричную к рассмотренной об­

ласть 0	сг < а	S,	исходя	из условия симметрии: ф (а, а) =
= ф (а, а).	Теперь	функция		ф (а, а) определена в	квадрате
О а	O ^ a ^ i S ,		за исключением диагонали а =		ст и вер­

шин квадрата, причем эта функция симметрична и непрерывна

в каждой точке своей области определения.			граничной
Пусть	внутренняя точка	стремится к
точке z (а),	внутренней относительно C \ {z (0)}. Угловую		функцию
сог (ст), входящую в формулу (3.3),		можно определить так, чтобы

при z -у z (а) она стремилась к ф (а, ст). Опишем вокруг точки z (а) окружность К радиуса р, удовлетворяющую условиям леммы 3.1.

Легко	видеть,	что	переход от точки z' — z (а'), а' < а, к точ­
ке z" =	z (а"),	а" >	а, совершаемый в области G~, определяет на

окружности К положительное направление. Заменяя часть кри­ вой С, отвечающую параметру ст из сегмента [а', а"], частью Ка окружности К, лежащей в области G~, мы не изменим числа (3.3), равного (для внутренних точек G+) единице. Устремляя затем z к z (а) и используя свойства симметрии функции ф (а, ст), получим

1 = [ф (S, 5) — Ф (<, а") + Ф (s', а) - ф (в, 0)] + т0 (*» р). (3-5)

где Ya ($> Р) — разделенная на 2л мера центрального угла части Ка. Разделим числители и знаменатели правых частей формул (3.4) вак = а — s > 0 и устремим h к нулю, а затем воспользуемся фор­ мулами (3.1). Поскольку из последних, в частности, вытекает, что |zr (а) |= 1 , получаем

	ф (а, s + 0) =	0 (s + 0) (mod 2л),	(3.6)
	ф (s, s — 0) =	0 (s — 0) (mod 2л).

24 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СПРЯМЛЯЕМЫХ КРИВЫХ 1ГЛ. I

Устремим теперь радиус р круга К к нулю, учитывая, что в силу (3.6) квадратная скобка в (3.5), а значит, и уа(а, р) имеют пределы. Следовательно,

2я = ф (a, S) — ф (a, а +

0) -Кф (а — 0, a) — ф (0, а) +

Уа (s),

0 <

уa(а) =

lim 2яу„ (a, p) <

2я.

(3.7)

p-*о

Величина ya(а) называется внешним углом

кривой

С

в точке

z (а); в точке гладкости кривой С имеем

(s) =

Вторая строка

формулы (3.7) вытекает из того, что 0 <

2яуп (а, р) <

2я.

Пусть а — точка непрерывности

функции 0 (а). Тогда в силу

(3.6) имеемф (а, а +

0) =

0 (а+ 0) (mod 2я) = 0 (а — 0) (mod 2я) =

= ф (а — 0,

а), и, как

отмечалось, уа (а) =

я.

Следопательно,

в каждой точке гладкости кривой С

ф (a, S) — ф (0, а) =

я.

(3.8)

Однако при 0 < а <

£

левая часть непрерывна,

следовательно,

соотношение (3.8) имеет место всюду в (0, S). Поэтому равенство

(3.7) упрощается и принимает вид

ф (a, a -f 0) — ф (а, а — 0) =

уа (а) — я.

(3.9)

Выше, вслед за формулой (3.2), было показано, что функция

0+ (а) = 0 (а + 0) непрерывна

справа. Точно

так же убеждаемся,

что 0_ (а) =

0 (а — 0) непрерывна слева и что 0+ (а — 0)

= 0_ (а),

0_ (а + 0) =

0+ (а). Поэтому,

если

ввести

аналогично

функции

ф+ (а) = ф (а, а + 0),

ф_ (а) =

ф (а, а — 0),

получим также

% (* +

0) =

% («).

(* -

0) =

(s)>

(3.10)

Ф- (* +

0) =

Ф+ (5), ф_ (а -

0) =

ф_ (а).

Из (3.9), (3.10) получаем, что скачки функции ф+ (а) не превос­ ходят по абсолютной величине я. В силу первого сравнения (3.6)

в	каждой	точке	aG (0, 5) имеем ф+ (а) == 0 (а + 0)			(mod 2я).
Кроме того, в			каждой точке непрерывности		0 (а)	непрерыв­
на	и функция ф+ (а), как следует из			(3.9),	(3.10),	и ф+ (а) =
=	0 (a) (mod 2я). Заменим теперь функцию 0 (а) функцией ф+ (а).
В	точках	гладкости кривой С получим		тот же угол		(mod 2я);

однако ф+ (а), в отличие, возможно, от 0 (а), обладает тем свойст­ вом, что в точках заострения, направленных наружу (уа (а)=2я), имеет скачок ф+ (a -f 0) — ф+ (а — 0) = ф (а, а + 0) — ф (а,а — 0) = = я, а в точках заострения, направленных внутрь (уц (а) == 0), имеет скачок (— я) (см. (3.9)). Можно поэтому в дальнейшем пред­ полагать, что угол 0 (а) обладает и этим свойством. В самих угловых точках 0 (а) можно переопределить заново, выбирая его в преде­ лах [0 (а — 0), 0 (а + 0)1, или пе определять вовсе.

§ 4] УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 25

Покажем и заключение, что при таком выборе угла при полном обходе простой замкнутой кривой С функция 0 (а) получает при­ ращение 2я. Действительно, всегда можно считать, что в точке z (0) = z (S) кривая С гладка. Определим теперьф (s, о) в вершинах

квадрата			посредством формул
ф (0, 0) =	ф (0, 0 +		0) =	ф (0 +	0, 0),
ф (О, S) = ф (О, S -			0) =	ф (0 +	0, 5),
ф (S, 0) -	ф (S -	0, 0) =		ф (S, 0 +		0),	*0Л1'
ф (S, S)	ф (5 -	О, S) =		ф (S, S -		0).

Вторые равенства в первой и четвертой строчках вытекают из свойства симметрии функции ф (а, ст), а во второй и третьей — легко усматриваются геометрически, если вспомнить определе­ ние угла ф (а, а) и учесть, что в точке z (0) = z (S) кривая С имеет касательпую; отсюда также вытекает равенство ф (0, 5) = ф (S, 0). Совершая в формуле (3.8) предельный переход при а-»- + 0 или

аS — 0 и пользуясь формулами (3.11), получаем ф (5, 0) —

—ф (0, 0) = я,	ф (S, S) — ф (S, 0) = л соответственно. Отсюда
ф (S, S) — ф (0,	0) = 2я. Снова используя гладкость кривой С

в точке z (0) = z (S), убеждаемся, что функция ф (а, а) непрерывна

в	точках	(0,0), (S, S) относительно	квадрата. Поэтому	2я =
=	ф (S,	S) — ф (0, 0) = lim ф (а, а +	0) — lim ф (а, а +	0) =
		s-*S—0	s-H-0

= ф+ (S — 0) — ф+ (0 + 0) = 0 (S) — 0 (0), что и утверждалось.

§ А. Упражнения и дополнительные замечания к гл. I

4.1.Используя формулы вида (1.3), постройте функцию скачков с на­ перед заданными полускачками в наперед заданном счетном множество точек.

4.2.Пусть Р0 — капторово сопершеппое множество па [0, 1], G0 — его дополнение (открытое множество). Интервалы множества G0 длины 3~п общим количеством 2п~1объединим в и-ю группу и определим па G0 неубы­

вающую функцию 0 (s), полагая ее						равной 2~п, 3*2-п, 5-2~п,			. . . . (2П—
— i)-2 -n последовательно па					интервалах n-й группы,			п = 1,	2,	3, . . .
Доопределял 0 (s) при помощи					формул 0 (0) =		0, 0 (1) = 1,0 (s„) =			sup 0 (s)
при	s e G ,		j < s0 е	Pо. получим		некоторую	функцию	0 (s),	определен­
ную	уже па		всем сегменте [0, 1] (так называемую лестницу Кантора).
	Убедитесь в том, что эта функция: (i) мопотонна на [0, 1]; (ii) непрерывна
п (ш)		почти всюду		0' (*) = 0.	тождественно постоянной,			то она дает при­
	Так	как	0 (s) нс	является

мер еппгулярной функции (см. п. 1.3). В отличпе от абсолютно непрерыв­ ных функции сингулярные функции не восстанавливаются интегралом Ле­

бега по	своой	производной.		[1/2, 1J,
4.3.	Пусть	ф (s)	равна s при s е [0, 1/2] и (1 — s) при s е
а затем периодически			продолжена на все вещественные s. Рассмотрим функ­
цию
			0(S) = 2 4 - > ( 4 V	(4.1)

26	НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СПРЯМЛЯЕМЫХ КРИВЫХ	[ГЛ. I
	Покажите, что эта функция непрерывна о каждой точке а, по пи	в од­

ной пз них не имеет производной (пример ван дер Вардепа). Вспоминая теорему о том, что функция ограниченной вариации почти всюду имеет (конечную) производную (см. п. 1.3), убеждаемся, что фупкция (4.1) не может иметь ограниченную вариацию нп на каком сегменте [а, 6].

4.4.

Пусть на сегменте

[в, А]

заданы две функции

ср ($),

ф (s), причем

Ф 1$)

удовлетворяет

условию

Гёльдера

с показателем а:

|ф(* + Л ) - ф (а )К С о | А Г ,

0 < а < 1 ,

(4.2)

а функция ф ($) ограничена на [а, Ь] и имеет

производную, за исключением,

быть

может,

точки

s0 е [а, 6], причем

(4.3)

Рассмотрите

произведение

0 (s) =

[ф {s)

— ф

и докажите,

что

оно

удовлетворяет

условию

Гёльдера

|0 ($ + А) — 0 (s) |<

С |А Г с не­

которым v > 0

(ср. [8], § 6).

Пусть а =

О, Ъ= 1, s0 = 0.

<р (s) =

Рассмотрим

конкретный пример.

= s,

ф (s) =

соз -ys ,

0 < s <

1,

ф (0) =

0.

Тогда условно

(4.2)

выпол­

няется при а =

1,

а условие

(4.3) имеет место, как легко убедиться,

при

Р =

2. Следовательно,

(непрерывная)

функция

0(s) =

s c o s -^ -,

0 < s < l ,

0(О) = О,

(4.4)

удовлетворяет условию Гёльдера по крайней мере с показателем 0 <

v

1/2.

Тем не менее функция (4.4) имеет неограниченную вариацию (покажите

это). Это же

обстоятельство иллюстрирует и фупкция Вейерштрасса

0(s) = :^ а п cos {bns),

0 < я < 1 ,

Ь =

4А + 1,

1,

(4.5)

которая, как и (4.1), не дифференцируема нп в одпой точке s и, следователь­ но, имеет неограниченную вариацию в любом сегменте [а, [)], (5 > а. Вместе с тем, как показал Харди (см., например, [3], стр. 217), функция (4.5) удов­

летворяет условию Гёльдера с показателем а = In — : lnb при ab > 1

и с показателем а =	1 — е при	любом	1 >	е >	0, если	ab =	1.
С другой стороны, существуют функции				с	ограниченной		вариацией,
не удовлетворяющие	условию Гёльдера		ни	при каком		а >	0. В самом
деле, пусть
	0	при	s = 0,
	1		л		1		(4.6)

—ПР“

	Эта функция непрерывна па [0, 1/2] и строго					возрастает,		следовательно,
	она имеет ограниченную вариацию. Вместе с					тем	при s =	0
	0(s + A) — 0 (0)	0(А)	_	1	оо,	если	А - » - ) - 0, а > 0 ;
	А*	“ А*	“	АаInА

§ 4 ]

УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

27

следовательно, функция (4.6) не может удовлетворять условию

Lip а пи

при

каком

а >

0.

Аналогичные

примеры читатель найдет в книге 110],

стр.

189— 193.

Приведенные примеры показывают, что классы плоских областей, ог­

раниченных

кривыми

Ляпунова

(0 (s) е Lip а,

0 < а < 1 ,

см.

п. 2.1)

и кривыми

Радона (0 (а) имеет ограниченную вариацию, см. и. 3.1) различ­

ны: каждый из них содержит области, нс входящие в другой.

4.5.

Покажите, что если в определении абсолютно непрерывной функ­

ции (см. п. 1.3) опустить требование неперекрываемости интервалов

(sn,sn),

то получим более узкий класс

фулкцнй,

удовлетворяющих условию

Гсльдера с показателем а = 1.

на

[а, Ь] функции 0О(а)

совпадает с

Класс

абсолютпо

непрерывных

классом неопределенных интегралов Лебега от суммируемых функций ф (s)

па

[а, Ь].

Покажите

(см. например, [9],

гл. IX ,

§ 4), что

s

Ь

если 0о (а) = ^ ф (о) da,

то

V ab (0о) =

^ |ф (<з) |da.

(4.7)

Говорят,

что

функция

0 (а),

определенная на

бесконечном

промежутке,

например

[а,

+

°°]i

имеет там ограниченную вариацию, если она имеет

ограниченную

вариацию на

каждом

конечном

промежутке [а, Ь] и при

Ъ- » +

оо

полная

вариация

Vba (G) ограничена. Из (4.7) следует, что функция

0 ( 5 ) = ^ ~ £ й б ,

0 < а < - | - о о ,

о

имеет неограниченную вариацию па (0 + оо], ибо, как известно, последний питеграл сходится пеабсолютно.

4.8.Пусть X обозначает наибольшую длину (sk+1 — sk) частичного

интервала

произвольного разбиения а =

а0 <! si <1 •••<С sn ~

Ь, щ (0) —

колебание функции

0 (а)

па

[sfc,

aft+1], к =

0,

4, 2,

. . . ,

п — 1 (см. (2.11)),

и наряду с суммой Sn, определенной формулой ^1.5), рассмотрим

сумму

п—1

Qn= 2 ® f c ( 0)*

(4-8>

К*=0

Покажите,

что

для любой

непрерывной

функции

0 (s)

имеют место

равенства

lim <SV

= lim

=

Vb (0),

(4.9)

х-»о

>_К)

причем

Vba (0) =

+

оо,

если

0 (а) имеет

неограниченную

вариацию. При­

ведите пример разрывной функции 0 (а)

и покажите, что

(4.9) для нее пе

выполняется.

inf 0 (a), М =

sup 0 (s)

при

a G

[a, i].

Функция к (о),

Пусть

т =

равная при заданном о числу

корней

уравнения

0 (а) =

о,

называется

индикатрисой Банаха

функции 0 (а); при этом п (а) =

+

оо,

если число

корней

уравнения

0 (s) = а

бесконечно.

Опираясь

на

(4.9), докажите

теорому

Банаха

(см., например,

[9], гл. VIII,

§ 5): если

0 (а)

непрерывна,

то п (а)

измерима

п

м

J п (a) da = Уд (0).

(4.10)

28	НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СПРЯМЛЯЕМЫХ КРИВЫХ	[ГЛ- I
Отсюда следует, что непрерывная иа [a, 5] функция 0 (s) имеет		ограничен­

ную вариацию тогда н только тогда, когда ее индикатриса Биииха сумми­ руема на [т , М].

4.9. Кривые Радона научались А. Д. Александровым [1], 10. Г. Решетни­ ком [13, а), б)], исходя из некоторого «внутреннего» определения кривых с ог­

раниченным вращением.		в	трехмерном	пространстве переменных			х,
4.10. Под	поверхностью
у, 2 обычно понимают двумерное			многообразие, т. е. некоторое множество
F, каждая точка Р которого имеет (в индуцированной топологии) окрест­
ность, которая	гомеоморфна	либо единичному кругу			нг + а г < 1 ,	либо
верхнему полукругу ц8+ ua < 1, v ^ O . В				последнем	случав точка	Р	на­

зывается граничной, а вся их совокупность — краем поверхности F. При таком определенпи поверхность F можно задать системой функций

* (и, t>),	у (и, v), z (u, и), осуществляющих упомянутые локальные гомео­
морфизмы. Если в окрестности каждой своей точки поверхность F при под­
ходящем	подборе	координат х, у, г			может	быть	задана	уравнением
г = ф (х, у), где ф (х, у) — непрерывная и один раз							непрерывно диффе­
ренцируемая функция, то F называется гладкой. Если к тому жо частные
производные фж, ф„,		удовлетворяют		условию Гёльдера с показателем 0 <
< а < 1,	то F называется		поверхностью Ляпунова.
Множество Я С		Р называется замкнутым, если оно замкнуто как мно­
жество точек пространства			х, у, г. Множество			U называется		открытым,
если Я =	F \V замкнуто. Пусть поверхность F имеет нлощадь							по Лебегу;
□то будет, например, тогда, когда Р гладкая,						или, в	более общем случае,
когда ф (х, у) имеет ограниченную вариацию в смысле Тоислли									(см., на­
пример,	[15], гл. У). Отправляясь			от	совокупности		открытых		множеств

на F и рассуждая как в случае множеств в евклидовых пространствах, мож­ но ввести понятия меры р. и измеримого множества на Р, причем открытые н замкнутые множества будут измеримыми.

Пусть F н Ф — две поверхности, причем Ф гладкая, и / — непрерыв­ ное обобщение F в Ф. Согласно А. В. Погорелову, / называется отобра­ жением ограниченной вариации, если для любой конечной системы попарно

пепересекающихся замкнутых множеств Я х, Я г, . . . , Нг па	F имеем
2 |г/(Wfc) < Д/ < + со,	(4.11)
К=1

где р — мера Лебега на Ф, а М — постоянная, не зависящая от выбора системы множеств {Я^}. Абсолютная вариация Vй (А) произвольного мно­ жества А С Р определяется формулой

	V»{A) = V»(A, {) =		inf	sup	5 W	( // .. ) .	(4.12)
Это понятие	также	ирннадлелшт	А. В. Погорслову,			который	к тому жо
доказал, что	У0 (А)	(так жо, как	u* V4	(А), У“	(А) из (4.13))		есть вполне

аддитивная функция на кольце борелевских множеств поверхности F, ка­ ково бы ни было непрерывное отображение (см. [11], гл. I).

Приведем еще несколько понятий и утверждений из книги [11]. Точка Р называется регулярной относительно отображения /, если у нео сущест­

вует такая	окрестность	U (Р), что / (9) ф / (Р) для любой Q е	U (Р )\ Р .
Индексом / (Р) точки Р е		F относительно отображения / называется порядок
точки / (Р)	относительно кривой / (у), где у — некоторая кривая		из U (Р),

не проходящая через Р, относительно которой Р имеет порядок (+ 1 ) (см. п. 3.4). Если / имеет ограниченную вариацию, то множество тех регулярных точек, где |) (Р) |> 1, не более чем счетно, а абсолютная вариация отоб-

§ 4]		УПРАЖНЕНИЯ II ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	29
ражеиня /		на множество нерегулярных точек равпа иулю.	Кроме
того,	ц/ (Л) <	К® (Л), поэтому мера образа множества нерегулярных точек
равна	пулю.

Пусть пА (У; /), У е Ф, равпо числу прообразов точки У на множестве

Л относительно отображения /, если это число конечное (ср. п. 4.8). В силу последнего замечания этим функция пА (У; /) определена почти всюду

на Ф, поэтому на оставшемся множестве ее можно положить равной, налпример, иулю (или бесконечности). Если принимать во внимаппо (при фик­ сированной ориентации F и Ф) только регулярные прообразы с поло­ жительным или отрицательным индексом, то получим функции

4 (У, /), пА (У, /) соответственно. Все три функции пА, п^, пА измеримы.

Если под положительной (отрицательной) вариацией отображения / па множестве А С F понимать абсолютную вариацию / па подтожестве регу­ лярных относительно / точек из А с положительным (соответственно отри­ цательным) индексом, то в соответствующих обозначениях для любого боре-

левского	множества А С F имеем		(см. [И ], стр. 20, 35)
	V°(A)= ^ Л (У;/)ЙУ,
	V + (A )= y + A (Y\f)dY,			(4.13)
	V~(A)=		\nA (Y‘,l)dY
			Ф
(сравните с формулой (4.10)). Разность V (А) = V+ (4) — V~ (А) называется
полной вариацией отображения		/	на множестве	А.
Пусть	2 р — единичная сфера	с	центром в произвольно выбранной точ­

ке Р, а /р : F —» 2 р — отображение проектирования замкнутой поверхности F из точки Р на 2 р . Это отображение непрерывно на F, если Р ф F, и не­

прерывно на F \ Р, если работах [4], [5], [7] рассматривается класс поверхностей F., у которых отображения / р имеют (равномерно относитель­

но Р) ограниченные вариации в смысле А. В. Погорелова:

V°P(F) =

sup

(4.11')

РЛНк)

H ke F \ P

Телесный угол юр (А), иод которым любое борслевское множество А с F

видно из точки Р ф А, определяется (см. [5]) как полная вариация отобра­ жения fp па множество А (на F и 2 р выбраны соответствующие ориентации):

соР (/1) = V0(Л,{р) = J

(У; fp) - пА (У; / р)] dY, Р ф А. (4.14)

£Р

Кроме того,
Шр(А) = а>р(А\Р) + шр (Р),	<ор {Р) = 2 п -(й р (F \ P ),	Р е	А. (4.14')
Если Р ф F, то из (4.14) и	сказанного ранее вытекает,	что	<ор (А) —

вполне аддитивная фупкция на кольце борелевекпх множеств поверхности F. Желая сохранить это свойство и в случае Р ЕЕ F, а также учитывая, что

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СПРЯМЛЯЕМЫХ КРИВЫХ	[ГЛ. I
в каждой точке гладкости [F имеем, очевидно, <ор (Г\Р ) =	2я, приходим

ко второму равенству (4.14'). Этп же соображения подсказывают п первое равенство (4.14').

Легко видеть, что множество регулярных точек относительно отобра­

жения /р : F -* 2р состоит из тех X е		F, которые имеют по крайней мере
одну такую окрестность	V (X), что	луч РХ не пересекает U (Х )\	X.
Если считать, что F есть граница области G+, то и регулярной точке X			луч
РХ переходит либо пз	G+ в дополнение G~ = Ea\(G+ + F), либо из G- и

<3+, лпбо остается в G* или G~. Соответственно этому множество регулярных точек разбивается на три непересекающнхсн множества F*t F~, F°. Докажи­

те (см. [5]): (i)	еслп	X £	F+, F~, F°, то /		(X) >	1, < — 1, 0 соответственно;
(ii) если } (X) =	;£ 1, то X е= F*1соответственно; (iii) X Ez F° тогда и только
тогда, когда /	(А') =	0.	Отсюда и	из формул		(4.14), (4.14') получите
формулы			г4л,	если	/> е с +,
		С0р (Р ) = 2л,		если		(4.15)
			10,	если	P E C .

Ниже (п. 14.2) будет доказана теорема Радона о том, что угловая функция <DZ (s) (см. п. 3.4) кривой ограниченного вращении имеет ривиомерпо от­ носительно z ограниченную вариацию (теорема 14.1), а также аналогичное утверждение для кривых Ляпунова (п. 17.5). Исходя отсюда, покажите, что и кривые Радона, п кривые Ляпунова удовлетворяют плоскому ана­ логу условпя (4.11'). Приведите также пример гладкой поверхности пли линии, не удовлетворяющей условию вида (4.11').

4.11. В работе А. Г. Джваршейишнли [6] рассмотрен класс кривых С, угловая функция которых 6 (s) удовлетворяет интегральному условию Гёлъдера:

	(510 (*+ *) — 0(») | W		P</C-|/i|e,	1, 0 < а < 1 .	(4.16)
	ЛИТЕРАТУРА
1. А л е к с а н д р о в		А. Д .,	Теория кривых	на основе приближения
2.	кривых ломаными,	УМН 2, вып. 3 (19) (1948),		182— 184.
	А л е к с а н д р о в	П. С., Комбинаторная топология, Гостехиздат, 1947.
3.	А х и е з е р Н. И.,	Лекции по теории аппроксимации, «Наука»,			1965.

4.Б у р а г о 10. Д., М а з ь я В. Г., Некоторые вопросы теории потенциа­ ла и теории функций для областей с еереугляриымп границами, Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР 3 (1967).

5.	Б у р а г о	Ю.Ц., М а з ь я В. Г., С а п о ж н и к о в а					В. Д ., О потен­
	циале двойного слоя для нерегулярных областей, ДАН 147, № 3 (1962),
6.	523—525			Об	особом	интеграле,	Тр. Тбилисск.
	Д ж в а р ш е й ш в н л и А. Г.,
7.	ун-та., сер мех.-матем. наук 84			(1961), 161—184.			задач Дирихле
	М а з ь я	В. Г., С а п о ж н и к о в а			В. Д.,	Решение
	и Неймана для нерегулярных областей методами теории потенциалов,
8.	ДАН 159, № 6 (1964), 1221-1223.					интегральные		уравнения,
	М у с х е л и ш в и л п		Н. И., Сингулярные
9.	«Наука», 1968.		Теория	функций вещественной				переменной,
	Н а т а и с о н И. П.,
10.	Гостехиздат, 1957.
	О ч а н	Ю. С., Сборник задач и теорем по теории функций действитель­

ного переменного, «Просвещение», 1965.