книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

$20l ТЁОРЁТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 241

со всеми остальными полюсами элементов матриц D± (z), придем

к разложепиям
D± {z) = D± {z)R± (z),	(20.53)

в которых i?* (z) — пепрерывно обратимые на С матрицы с ра­

циональными	элементами,	a	D* (z) — регулярные матрицы с
элементами из	вблизи	С.	подвергнем первые множители в
Дальнейшей	факторизации

формуле (20.53). Пусть z0 — нуль функции det D± (z) порядка т. Разложим общий член ay (z) матрицы JD± (z) в ряд Тейлора с цент­ ром в точке z0. Наинизшую степень (z — z0) обозначим ay и рас­

смотрим числа af	= min {а у }, / = 1,	2, . . ., п. Указанные
разложения можно	записать -в виде
	a j(z ) = a 5 ( z - z 0)a* +	. . . ,

где многоточие, как всегда, означает члены более высокого поряд-

а д ,

ка, а числа ay равны нулю для тех /, для которых а} < ati. Тогда

в	некоторой	окрестности		точки	z0 имеем	det £)* (z) =
=	(z — z0)a, +-	(0)		. . .]°,	причем	+ an<
		+e« [det ||аи || +
	т. Очевидно, что знак		равенства здесь будет тогда и только
		о»л.	Представим затем D			(z) в виде про­
тогда, когда det \\<£}\\ф 0.

изведения матрицы Z)* (z) на диагональную матрицу с элементами

(0)

(z — z0)a», . . ., (z — z0)an. Если определитель матрицы |ay ||

равеп нулю, то элементарным преобразованием столбцов матрицы

Dx (z) можно добиться того, чтобы в получившейся матрице ука­ занного разложения по крайней мере одного столбца начинались со степени не ниже единицы. Указанное элементарное преобразо­ вание столбцов эквивалентно умножению D* (z) справа на не­ вырожденную матрицу с постоянными элементами. Так появля­ ется возможность выделить в качестве правого множителя еще одну диагональную матрицу с равным нулю определителем. Этот процесс после конечного числа шагов оборвется, поскольку порядок т нуля z0 конечен. Проводя аналогичные построения в окрестности каждого нуля определителя матриц .D* (z), приходим

к заключению, что	имеют место разложения
	S ± (z) = JD ?(z)i?f(z),	(20.54)
где D$ (z) — матрицы, определители которых не имеют		нулей
внутри (^(включая	бесконечно удаленную точку), а	(z) —

242

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. V

матрицы с полиномиальными элементами, непрерывно обратимые

на С, причем нули определителей матриц D* (z) и R f (z) совпада­ ют. Подстановка последнего разложения в (20.53) приводит к фор­

муле D± (z) = ( Z ) R± (Z ), где i?±(z) = R f (z) R± (z). Получен­ ные результаты сформулируем в виде утверждения:

Л е м м а 20.10. Предположим, что вдоль простой замкнутой

кривой Ляпунова С задана матрица D (t) вида (20.19),		причем
D2(t) удовлетворяет условиям (20.22), (20.28) и (20.41),		a Dx (t),
D3(t) являются невырожденными на С матрицами с непрерывны­
ми коэффициентами. Тогда имеет место разложение
D (t) = D t (t) R (t) [Do (0Г1		(20.55)
со следующими свойствами:
а) элементы матриц D* (z),	(z)]_1 являются голоморфными

внутри fft (включая бесконечно удаленную точку) функциями, при­ надлежащими вблизи С классам Ер, Е%, q = pi (р — 1), соответ­

ственно; в частности, определители матриц D* (z) не имеют ну­ лей внутри G- (включая бесконечно удалейшую точку)]

б) если вместо Х± подставить D*, то операторы (20.51)					бу-
	(«)	(л)
дут непрерывными впространствахLp(С),		Lq (С), q — pi (р — 1),
соответственно;			и непрерывно		об­
в) R (t) =	R+ (t) [R~ (г)]-1 — непрерывная
ратимая на С матрица с рациональными коэффициентами.
20.13.	Предположим теперь, что граница С является кривой
Радона без точек заострения. В условиях		утверждения		б)	лем­
мы 20.4 имеет место утверждение леммы 20.7			при Rx =	R2= Е.
Поскольку для второго включения (20.50) требуется однозначная
разрешимость задачи (20.49),.предположим, что наряду с (20.30)
выполняется	также сопряженное условие
	< i .	?	р	(20.56)
			р —1
Два условия (20.30), (20.56) в силу оценок (20.39), (20.40) явля­
ются следствием более ограничительного условия
	1 + i*V cc>	< 1.		(20.57)

Очевидно, что в новых предположениях утверждение леммы 20.9 имеет место непосредственно для матрицы Dz (t). Следователь­ но, справедливо разложение (20.52) при == i?2 = Е, а также все остальные результаты п. 20.12. Таким образом, получаем утверждение:

§ 20]	ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД	243
Л е м м а	20.11. Предположим, что вдоль кривой Радона С без
точек заострения задана матрица D (I) вида (20.19), причем D%(0
удовлетворяет условиям (20.22), (20.30) и (20.56), a Dx (t),		D3(t)

являются невырожденньши на С матрицами с непрерывными ко­ эффициентами. Тогда имеют место все утверждения леммы 20.10.

20.14.	Нам осталось сделать			последний шаг — осуществить
так называемую		каноническую факторизацию			матрицы R (t) с
рациональными коэффициентами. Будем при этом следовать ра­
боте [6, а)] (см. также [6, в)], § 6).				(20.17) с	матрицей R (i):
Рассмотрим		однородную	задачу
		ф + (г) =	R (t) ф~ (г).		(20.58)
Каждый элемент матрицы Н имеет вид pi} (t)lgu (t), где рц, qtj —
многочлены.	Из	утверждения	в) леммы 20.10		вытекает, что ни
один из многочленов qi} (t) не обращается в нуль на границе С.

Следовательно, матрицу В можно представить в виде Р (t)lq (i), где Р (t) — матрица с полиномиальными элементами, a q (t) — вполне определенный многочлен, корни которого не лежат на кри­ вой С. Представим затем многочлен q (t) в виде q+ (t) q~ (f), где q± (t) — многочлены, корпи которых не лежат внутри областей G* соответственно. Поскольку В (г) — певырожденная па С мат­ рица, то аналогичными свойствами обладает и полиномиальная матрица Р (t). Как известно (см., например, [19], гл. VI, § 2), всегда можно найти такую диагональную матрицу Q {£) с по­ линомиальными элементами и такие полиномиальные матрицы A (t), В (t) с постоянными отличными от нуля определителями,

что	В (t) =	А (t) Q (t)B (t).		Если	ввести		новые	неизвестные,
согласно формулам			q+ (z)A~1(z) Ф+ (z),
		Y+ (z) =					z (= G+,
		Y~ (z) =	[q~ (z)]"1 В (z) Ф" (z),				z e	(Г.
то	условие	(20.58) примет		вид
		Y + (t)	= Q (t) Y -		(t),	t e	C.	(20.59)

Эта задача эквивалентна n задачам для каждой компоненты VFАку­ сочно-голоморфного вектора Y (z), поскольку Q(t) — диагональ­ ная матрица. Соответствующий элемент Qh (z) матрицы Q (z)

представим в виде QH(z) QH(z), где QH (z) — многочлены, не име­ ющие нулей соответственно внутри областей G±. Тогда решения задачи (20.59) строятся согласно формулам

$	(z) = (0,	. . .,	0, Y A, 0,	. . ., 0), k = 1, 2, . . . . п,
причем	стоящая	на	к-м месте	кусочно-голоморфная функция

XFA(Z) равна QH (z) при z s G + и 1/Q% (z) при zeG ~ . Обозначим

244	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	ГГЛ. V
через ¥		(к)
	(z) матрицу, столбцами которой служат решения ¥ (z),
к = 1,	2, . . . » и. Если у — произвольный постоянный	вектор,

то вектор ¥ (z) у есть снова решение задачи (20.59). Возвращаясь

к	неизвестным Ф (z), получим вектор D (z) ¥ (z) у, где		D (z) =
=	4'(z)/g+ (z) при z £ G +, 5 (z) =	(z) ZT1 (z) при z e	<T, удов­

летворяющий условию (20.58) при любом у. Возьмем п векторов

ш	. . .,	(л)			-	единичной матрицы Е,
у,		у, совпадающих, со		столбцами
и	рассмотрим		систему решений
		(к)	^	(к)	к =	1, 2 , . . . . п,	(20.60)
		Ф(г) = D (*) ¥ (z) у.
задачи		(20.58).	Обозначим	через	Ф (z)	матрицу со	столбцами

(к)

Ф (z), к = i, 2, . . ., п. Вспоминая, что определители матриц

Ь (z), ¥ (z) нигде на конечном расстоянии в нуль не обращаются, (приходим к заключению, что det Ф (z) обладает тем же свойством.

Раскладывая в ряд каждое решение (20.60) в окрестности бескопечшЛудаленной точки, получим

где	а,	Ь, . . .,		— постоянные			векторы.		Числа х,„		к =
= 1,	2,	. . . . п,		однозначно		определяются			требованием,		чтобы
					(к)				пуля. Очевидпо, что
соответствующий вектор а был отличеп от
x /t =	min {Щ)}, где x ftJ-				соответствует в разложении вида (20.61)
	1			вектора	(ч		Допустим, что			определитель ПО­
/-й компоненте					Ф (z ).
стоянной				ДО				нулю,	и	обозначим	через
			матрицы |а, | равен
(Ях, Я2,		. . ., Я„) какое-либо нетривиальное решение однородной
системы		(X)		(2)		(Я)		0, / =	1,	2, . . ., п. Пусть
		сДх +		а{кг + . . . +			а{кп =
I — число,			удовлетворяющее				условию
и пусть				%iФ 0,	Ащ — Xj+a — ... — Яп — о,

(О Вектор Ф* представляет, очевидно, решение задачи (20.58), одна­

ко его порядок X?, как нетрудно убедиться, строго меньше по-

(I)

( i)

H)

рядка щ вектора Ф. Заменим в матрице Ф (z) столбец Ф на Ф*. Оп­ ределитель получившейся матрицы снова будет отличным от нуля в каждой конечной точке z, поскольку А* Ф 0.

§ 20].

ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД

245

Заметим теперь, что порядки на бесконечности всех возмож­ ных решений задачи (20.59) ограничены снизу. Это непосредствен­

но вытекает из того, что порядок /с-й компоненты \Р* (г) в окрест­ ности точки z — оо не может быть ниже (—Nh), где Nh — поря­

док многочлена Ql (z), к — 1, 2, . . ., п. Аналогичное свойство совокупности всех решений задачи (20.58) вытекает из того, что ее редукция к задаче (20.59) осуществляется при помощи фикси­

рованной матрицы D (z), имеющей в окрестности бесконечно уда­ ленной точки элементы с ограниченными сверху и снизу поряд­ ками. Отсюда следует, что после конечного числа замен векторов

(О (О

Ф на Ф* можно прийти к такой системе решений, для которой со-

00 ответствующая матрица ||а,-1| имеет отличный от нуля опреде­

литель.

Л е м м a 20.12. Пусть вдоль замкнутой кривой С задана не­ прерывная и непрерывно обратимая матрица Я (t) с рациональ­ ными коэффициентами, и ni/стъ С — либо кривая Ляпунова, ли­ бо кривая Радона без точек заострения. Тогда у однородной задачи

(20.58)	существует	система решений	(z),	к =	1,2,	. . .,	п,
обладающая двумя		свойствами:	(*)	к, /	= 1,	. . .,	п,
а) определитель матрицы Ф0 (z) = |Ф,- (z) ||,
нигде	на конечном расстоянии не обращается в нуль;

б) если x,t — числа, определенные в окрестности бесконечности U0

разлоэ1сениями вида (20.61), то определитель матрицы ||z k<P; (z)|| отличен от нуля при z = оо.

Система решений однородной задачи вида (20.17), удовлетво­ ряющая перечислепиым в лемме 20.12 свойствам, называется ка­ нонической (см. [29], [6, в)]). Таким образом, для граничных задач (20.58) с рациональной матрицей Я (t) каноническая система ре­ шений строится эффективно.

20.15.Введем в рассмотрение кусочно-голоморфную матрицу

	№)	z e G +,
Х ;( г ) = Ф 0(г)=||Ф; (2)|,			(20.62)
		w
Xо (*) = Ф0 (z) U(z) = \z'Wj (z)I, z EE S',
где U (z)— диагональная матрица:
'zXl 0		О
0	zx*	о	(20.63)
C7(z) =		.%п
\0	О

246	КРАЕВЫЕ -ЗАДАЧИ	[ГЛ. V

Учитывая, что матрица Ф0 (г) удовлетворяет условию (20.58), получаем представление П (t), 0 котором говорилось в начале предыдущего пункта:

	R (t) =		Xt (О U (t) [Х0~ (ОГ1-		(20.64)
	Сопоставление с (20.55) приводит к формуле
	D (0	=	Х + (t) U {t) [X-		(20.65)
	если воспользоваться	обозначениями
	Х+ (z) =		Do (z) X Q(z),	Z €=G+;	( 20. 66)
	X -(Z)=D~0(z) Xo(z),			z e f i - .

Построим также операторы вида (20.51)

(20.67)

Матрицы (20.62) имеют своими элементами рациональные функции и являются, очевидно, непрерывными и непрерывно обратимыми в замкнутых областях G± + С. Следовательно, в силу первого ут­ верждения леммы 20.10 имеем включения

X± (Z)(EEE±,

q = p/(j>— 1); (20.68)

в частности, определитель матрицы Х± (z) не обращается в пуль ни в одной точке Z-плоскости вне С, включая бесконечно удален­ ную. Кроме того, из второго утверждения леммы 20.10 вытекает,

(п)	(п)
что операторы (20.67) непрерывны в пространствах Lp (С),	Lq(C),
q = p/(p — 1), соответственно. Из (20.65) вытекает также	разло­
жение
D'~1 (t) = [Г + (ОГ1 U-1(t) X'- (t).	(20.69)

Отметим, что во всех указанных формулах предполагается, что точка z = 0 лежит внутри области G+. Целые числа xlt к2, . . .

. . ., тсп, входящие в разложение (20.65) через посредство форму­ лы (20.63), называются частными индексами матрицы D (t) (или соответствующей краевой задачи). Очевидно, что эти числа всегда

можно занумеровать в порядке невозрастания:		> х2 > ■ . . . > кп.
Разложение (20.65)	называется каноническим.
Т е о р е м а 20.1.	1. Пусть вдоль простой замкнутой кривой
Ляпунова С задана матрица D (t) вида (20.19),		причем матрица

§ 20]	'ГЕОРЁТИКО-ФУНКЦИОЙАЛЬНЫЙ МЕТОД	247
Dz (t) удовлетворяет условиям (20.22), (20.28) и (20.41),		a

Da (t) являются ^вырожденными на С матрицами с непрерывны­ ми коэффициентами. Тогда имеет место факторизация матрицы

D (0	в виде (20.65), обладающая следующими свойствами:
а)	матрица U (t) имеет вид (20.63), где щ, к2, . . ., х„ — це­
лые числа;				[Х* (z)]-1 регулярны внутри областей G±
б)	матрицы Х± (z),
соответственно и удовлетворяют соотношениям (20.68);
в) операторы (20.67)				определены и ограничены в пространствах
01}	(П)				соответственно. При р =			2 все
Ьр (С), Lq (С), q — pi (р — 1),
эти утверждения имеют место					при	одном только предположе­
нии (20.22).						без точек заострения, Dx (/),
2.		Пусть С — кривая Радона
Da {t) обладают прежними свойствами, а матрица Ъг (t) удовлет­
воряет условиям (20.22),				(20.30)	и (20.56). Тогда имеют место все
утверждения первой части теоремы.
20.16.		Теорема	20.1 играет решающую роль в анализе задачи
(20.17). Рассмотрим			сначала однородную задачу (g = 0). Поль­
зуясь представлением (20.65) и вводя новый неизвестный вектор
Ф? (г) =		[Х± (г)Г* Ф± (г), г S G*, приходим к однородной задаче
							(п) .
с матрицей (20.63): Ф1 (t) = U (t) Ф7 (t) в классе Е^ вблизи гра­
ницы. Последнее вытекает из второго включения (20.68) и условия
Ф± (z) е		(п),	Ф (z) исчезает на бесконечности, то этим же
		Ер. Если
свойством обладает вектор Фх (z) и наоборот. Предположим, что
Щ>	х2 >	. . . > хт>		0 > хт+1 > . . . > « „ .			Поскольку	зада­
ча с матрицей (20.63) распадается на п задач с одной неизвестной,
нетрудно		получить
						А = 1 ,2 ,.. . . т ;
							(20.70)
		ф ^ ( г ) = = 0 ,		k = m + 1 , . . . , и ,
где	аы — произвольные комплексные числа.						Пусть А, =	х1 +
+ к* + . . . + xm.			Занумеруем		решения, представленные			фор­

мулами вида(20.70), в произвольном порядке: Ф? (z), . . ., (Ф? (z). Тогда общее решение однородной задачи (20.17) в классе исчезаю-

(20.71)

3=1

248

КРАЁВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. V

где clt с2, . . сх — произвольные комплексные числа. Вспо­ миная данное в п. 20.6. определение числа ар (D), получаем фор­ мулу

ар (D) = %= Xj	+ х2 + . . . + хи.	(20.72)
Рассмотрим однородную сопряженную задачу
'1 '+ (г) =	D''1{t)4T (t)	(20.73)
		(п),

в классе исчезающих на бесконечности функций из Ef. Исполь­ зуя на этот раз разложение (20.69) и первое включение (20.68),

легко	приведем	задачу	(20.73)	к виду	(t) = U-1 (f)4'7 (L),
где	(л) = X ,±: (л )^ (л).		Для	определения] вектор-функции
Ч^ (л)	получаем	формулы

Т&(л) = 0,		к = 1, 2 ,...,т ,
	~*к
П с (л) =	2	Л е G+,	(20.74)
	)= 1
	А: = т + 1, т + 2 , . . . , и,
	~*к	А
Ч Ь Ю - 2 * И - Т . * s G '
	3=1	2
где ак} — произвольные	комплексные числа.		Эти формулы	оп­
ределяют ровно р = — (хт+1 +		. . . + х„) линейно-независимых
решений задачи 4fJ,= U~ly¥l\ занумеруем эти			решения	(л),

V f (л), . . ., V f (л). Тогда общее решение задачи (20.73) в указан­ ном классе функций будет иметь вид

	I»	/а
		(*), « е в	4,	(20.75)
	1= 1
где Сх, Сг, . . .,	— произвольные	комплексные	числа.
Перейдем теперь к рассмотрению неоднородной задачи (20.17)
		(п)

в классе исчезающих на бесконечности функций из Ер, 1 <; р < с». Снова пользуясь разложением (20.65) и введенными выше обозна­ чениями, приходим к неоднородной задаче Фх (г) = U (t) Фх (t) +

+ gi (0* ГДе Si (0 =	[Я+ (ОГ1 ё (*)•	Эта задача распадается на	п
отдельных задач	(г) = t*kФ^ (t)	+ glh (г), /с = 1, 2, . . .,	щ

анализ которых не представляет затруднений. Для значений к = = 1, 2, . . . » т , которым отвечают неотрицательные частные ин­ дексы xlt х2, . . ., хт , указаппые задачи имеют исчезающее

s 20J ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД 249

на бесконечности решение при любых значепиях gXh(t) из Ьр (С). Для значений к = тп + 1, m + 2, . . ., п, которым отвечают отрицательные частные индексы хт+1, x m+2, . . . . хП', соответст­ вующие задачи имеют требуемые решения тогда и только тогда,

когда функции	glh (t)	удовлетворяют условиям
[flgiitffldt = 0,	i'■=	0 , 1 , . . . , — щ — 1, к = т + 1 ,...,п .
j		(20.76)

Как показывают песложиые вычисления, в этих условиях одно частное решение неоднородной задачи (20.17) всегда может быть

представлено

в виде

Ф+ (г) =

2

^ -

[ i-Z+

(fo^- dt0,

ZEEG\

i

*

(20.77)

ф - ( 2 ) =

[

A

^

l ^

L

dt0f

Z(= G~.

Умножая равенства (20.76)

на числа ahi, сумлшруя их и вспоми­

ная

обозначения (20.74),

приходим к

выводу,

что

интегралы

от произведений вектора-столбца

gx (t)

на

решения

(}),+

/ =

,

= 1,

2, . . .,

[А, записанные в виде строчек,

равны нулю. Кроме

того,

4ri+g1=

T i+ {Х+Г1# = g' [Х +Г1\РJ. Следовательно, в

силу

обозначений (20.75)

условия (20.76) записываются в

виде

^ g’ (l)'Yt(t)dt =

0,

(20.78)

гДе 'Р* (z) — общее

решение задачи (20.73),

представленное фор­

мулой (20.75).

Вспоминая

определение

числа |3Р (В),

данное в

п. 20.6, получаем также формулу

рр (П) =

|г =

-

(хт+1 +

. . . + хп).

(20.79)

Т е о р е м а

20.2.

Пусть

матрица D (t)

имеет вид (20.19)»

причем Вх (t), Da (t)

являются невырожденными на С матрицами с

непрерывными коэффициентами, а матрица Dz (t) удовлетворяет условиям(20.22), (20.28) и(20.41) вслучае кривойЛяпунова иусловиям (20.22), (20.30) и (20.56) — в случае кривой Радона без точек заост­ рения. Тогда числа ар (В), (Зр (В) конечны и имеют места форму­ лы(20.72), (20.79). Обгцее решение однородной задачи (20.17)'(g = 0)

tMj.

в классе исчезающих на бесконечности функций из ЕР имеет вид (20.71), (20.70). Для того чтобы в том же классе была разрешима 'неоднородная задача (20.17), необходимо и достаточно, чтобы

250	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	1ГЛ. V
свободный член g (t) е	Lv (С) удовлетворял	условию (20.78), где
■qrjk (z) _ общее решение (20.75) однородной		сопряженной задачи

(20.73) в классе исчезающих па бесконечности функций из Ef. Одно частное решение неоднородной задачи имеет вид (20.77).

20.17.Матрица D (t) удовлетворяет условиям теоремы 20.1 од­

новременно 'с матрицей t~rD (t) при любом целом г. Из разложе­ ния (20.65)тлегко получить аналогичное разложение для t~TD (t),

откуда следует, что частными индексами новой		матрицы	будут
числа хх — г, х2 — г, . . ., х„ — г.	Поскольку	числа	ар (D),
РР (Доопределены инвариантно (см.	п. 20.6),	из формул вида

(20.72)," (20.79) вытекает, что сумма всех неотрицательных и сум­ ма всех отрицательных частных индексов не зависит от способа приведения матрицы D (t) к виду (20.65). Применительно к мат­ рице r'D (t) получаем, что суммы

М*-'Я)= 2 (* 1 — Г), МГВ)= 2 (г-н,) (20.80)

Xj>r Xt<r

при любом целом г не зависят от способа приведения матрицы

D (t) к виду	(20.65).				приведения
Предположим, что при некотором другом способе
D к виду (20.65) мы получим другую систему частных индексов
Hi, 5*2, ••., Нп. Пусть		Hj = Х2 = . . . =	Hj >	х г+1 >	. . . , хх =
= х2 = . . . =	% > нв+1	> . . . Полагая г =		Xj и пользуясь ин­
вариантностью	первой	суммы (20.80),	имеем 0 =		2 ( Ki ~ r)*
Отсюда следует, что xt < г, в частности,			<		*i>r
				г = х,. Из сообра­

жений симметрии следует, что щ = х2. Предположим затем, что $ I, и пусть г = Xj+i- Из того же равенства получаем I (хх —

— г) + . . . = s (хх — г), где многоточие заменяет неотрицатель­ ные слагаемые. Поскольку это невозможно в силу неравенства Xj — г = хв — хт > 0, имеем I s. Аналогично устанавливает­ ся и обратное неравенство, следовательно, I = s. Повторяя эти рассуждения, приходим к выводу, что все частные индексы мат­ рицы D не зависят от способа приведения ее к каноническому виду (20.65). Кроме того, заметим, что эти частные индексы зависят, очевидно, от числа р и точнее их следовало бы обозначать x itP (D).

В соответствии с общепринятой терминологией индексом зада­

чи (20.17) назовем число
*Р(С) = о,(В ) - М В ) = 2 ч » (В).	(20.81)
1=1

Остановимся на вопросе, касающемся способов пепосредствепвогр вычисления числа (20.81). С этой целью рассмотрим однопд-