книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости
..pdf131 УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 101
предельных для последовательпости {£п}. Наконец, покажите, что функция Бляшке с точностью до постоянного множителя, по модулю равного 1, оп
ределяется неравенством |Ь(£) |< 1 при [ £ |< |
1 и равенством |
|
|
2л |
|
lim |
^ In. |Ь (ре14) |ds = |
О |
(см., например, (16J, гл. I, § 7).
13.3.Обращение теоремы 10.4 пе имеет места. Действительно, функция
|
®w-rh'‘ n r;-S '2 -f-2',24- |
cw-u |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
)£=0 |
3=1 |
' |
П=1 |
3=1 |
|
|
|||
принадлежит классу Яр |
при любом 0 < |
р < |
1 (см. [16], гл. II, § 5). Коэф |
|||||||||||||
фициенты Тейлора ап функции, представимой интегралом (10.11), имеют |
||||||||||||||||
вид |
|
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a* = l H e~tnSdMs)’ |
|
* = 0,1,2 ,..., |
|
|
||||||||||
п потому ограничены, между тем, коэффициенты Тейлора функции (13.1) |
||||||||||||||||
не ограничены как частичные суммы гармонического ряда. |
р > 0. Используя |
|||||||||||||||
13.4. |
|
Пусть |
Ф (z) — любая |
функция |
класса |
Яр, |
||||||||||
разложение (10.7), |
представляя |
функцию |
Ф0 (z) |
интегралом |
Пуассона и |
|||||||||||
используя |
оценку |
Р (р, о) < |
2/ (1 — р), |
покажите, |
что |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[2М р (Ф»1/Р |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 - Р |
/ |
' |
|
|
|
|
Выведите |
отсюда, что функция Ф (z) = |
exp |б |
|
, где 6 > |
0 — произ |
|||||||||||
вольный |
вещественный |
параметр, |
н е |
|
п р и н а д л е ж и т |
пн |
одному |
|||||||||
классу IIр при; р > |
0. |
Граппчпые значения |
Ф+ (eie) |
этой функции |
суще |
|||||||||||
ствуют всюду, кроме |
точки |
z = |
1, причем |Ф+ (eis) |= |
|ехр |б£ ctg |
|= |
|||||||||||
= 1. Отсюда |
следует |
также, что теорема |
10.5 без предположения Ф (z) е |
|||||||||||||
€Е Яр, р >■ 0, |
не имеет |
места. |
показывают, |
что |
|
|
|
|
|
|||||||
13.5. |
Простые |
вычисления |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
Г |
«%(*) |
|
1 |
Т |
eisd\L(s) |
|
|
|
|
б — s) rfji (s), |
|
||||
2Я J |
ev - z |
~ |
2я |
) |
els-z* |
|
|
о |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
z — pei0, |
z |
|
i/z. |
|
|
|
|
|
|||
Согласно теореме 9.1, почти для всех точек е*° единичной окрузкпостп имеем |
||||||||||||||||
|
|
|
2л |
«% («) |
___ LC |
■/**(») ] |
|
|
|
|||||||
|
lim |
|
|
|
|
(13.2) |
||||||||||
|
z-*el« Hrj |
|
|
|
2я |
) |
elt- z ' |
|
|
|
|
по какому бы некасательному пути ни стремилась точка z к eia. Вспоминая опрсделенпе интеграла Коши — Стнлтьеса (п. 10,8) п теорому ед!шствеп-
102 ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. III
ности 10.8, выведите следующую теорему: для того чтобы интеграл типа Коши — Стилтъеса с мерой |х (s) был интегралом Коши — Стилтьеса, необходимо и достаточно, чтобы мера Ц (s) была ортогональна всем функциям eins, п = 1 , 2 , . . . :
гл
^ einsdp (s) = 0, |
л = 1, 2, . . . |
(13.3) |
о |
|
|
Покажите также, что эти условия необходимы и достаточны и для того, чтобы интеграл Пуассона — Стилтьеса (10.2) изображал аналитическую функ цию внутри единичного круга. Меру dp. ($), удовлетворяющую условиям (13.3), иногда называют аналитической. Покаяште, что такая мера порож дается абсолютно непрерывной функцией р (s) (см. [18], а также [10]). Если
/ (s) = |
р' (s), то условия (13.3) |
можно |
записать в виде |
|
|
гп |
|
|
|
|
^ f (s) ein*ds = |
0, |
п = 1, 2, . . . |
(13.4) |
|
о |
|
|
|
Таковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы интеграл |
||||
типа |
Коши — Лебега был интегралом Коши — Лебега (п. |
10.8). Выведите |
отсюда эквивалентность двух утверждений теоремы 10.6. Докажите также теорему Герглотца: для того чтобы аналитическая в круге \z |< 1 функ ция Ф (z), Ф (0) >■ 0, принимала значения, лежащие в правой полуплоскости, необходимо, чтобы функция Ф (z) была представима интегралом Коши — Стилтъеса
2я is
ф(г>=-4-$
о
мера которого порождена вещественной неубывающей функцией р ($). 13.6. Весьма интересно отметить, что класс аналитических функций,
представимых в виде интеграла типа Коши — Лебега (10.10), ш и р е клас са Нг (см. [16], гл И). Учитывая теорему 10.4, согласно которой ипждия такой интеграл есть функция класса Нр, 0 < р < 1, и теорему 10.5, это утверждение можно перефразировать иначе: существуют такие суммируе мые функции / (s), s е [0, 2я], что функция Ф (z), равная интегралу (10.10), имеет (согласно теореме 10.4 и замечанию, сделанному после доказательства теоремы 10.1)] почти всюду конечные предельные некасательные значения Ф+ (***), по эта функция Ф+ (е1е) пе принадлежит пространству L (0, 2я). (Как будет следовать из результатов гл. IV, если / e i p (0, 2я) при р > 1, то ее интеграл типа Коши — Лебега будет принадлежать Нр.) Чтобы интег рал типа Коши — Лебега принадлежал Е^, т. е. был функцией, предста вимой интегралом Коши — Лебега (теорема 10.6), необходимо и достаточно, чтобы Ф+ (е*®) ЕЕ L (0, 2я).
13.7. Согласно результатам, приведенным в п. 13.5, для того чтобы некоторая функция / (г) была предельпым значением Ф+ (е*®) некоторой функции Ф (z) из класса Н1г необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
условия (13.4). Поставим аналогичный |
вопрос для |
|Ф+ (И6) I. Если |
для |
||||||||||
некоторой |
функции |
/ |
(s) > |
0 |
имеем |
/ (s) = |Ф+ (eie) |, где |
Ф (z) е |
|
|||||
то |
функции |
/ (л), In / |
(у) |
интегрируемы |
(см. |
пп. |
10.1,11.5). Докажите, |
||||||
что |
суммируемость функций |
/ (s) > |
0, In f (s) |
также достаточна для |
того, |
||||||||
чтобы |
для |
некоторой |
Ф (z) е |
Нр, р > |
1, |
почти |
всюду имело место ра |
||||||
венство |
/(« ) = [ Ф+ {еи ) |, |
и |
что |
одна из |
таких |
функций |
Ф (z) дается |
§13] |
УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ |
ЗАМЕЧАНИЯ |
103 |
||
|
|
|
|
|
|
формулой |
|
lg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(г) = о х р { - ^ giT~ *-W (s)fc} |
|
|||
(сравпите с функцией |
(11.6)). Утверждение остается справедливым и при |
||||
Р — оо> '*• |
когда / (s) в существенном ограничена, а Ф (z), I z I < 1, просто |
||||
ограничена |
(см., папример, [7], стр. 81—82). |
|
|
||
13.8. |
Пусть |
Ф0 (г) = ехр {^/ХФ (г)}, |
где |
Ф (г) — произвольная ана |
|
литическая |
функция, регулярная внутри единичного |
круга. Исходя из |
|||
формулы Копт для Ф (z) в круге | z | < г, получите формулу |
|
||||
|
2“ |
|
|
|
|
|
cos{,Xu(p,6)}exp{+Xy(p,o)}rf6 = cos(Xu(0, б)}, |
(13.5) |
|||
|
о |
|
|
|
|
где и -|- iv = <1»(z), г = рег°, и докажите, что если
q = sup | Хм(р, б)| < я/2,
|г|<1
то функция v (р, о) обладает свойством
±2ЯJ. \ схр|Хн(р, б)|*б< _ 2 _ .
COS q
О
Пусть, в частности,
2* is
где / (s) вещественна и т = sup I / (s) | < оо. Тогда функции exp (± X Sf),
[0,2ге]
ехр | ХУ/1, где S — оператор, определенный в п. 12.3, суммируемы при всех X, для которых |Х| < я/2т. Если же / (s) непрерывна и 2я-периодична, то интегрируемость имеет место при всех конечных вещественных X (см. [10, а)], п. 7.6). Близкая к последнему утверждению теорема В. И. Смирнова гласит:
если функция и (р, сг) непрерывна а замкнутом единичном круге |z| ^ 1, то Ф0 (z) принадлежит Нр при любом конечном р > 0 ([22, в)]; см. также [5], гл. IX, § 5). Получите эту теорему из только что приведенных формул, ис пользуя приближение непрерывной функции и (1, а) тригонометрическими полиномами.
13.9. Результаты § 9 (п. 9.3) и некоторые построения, приведенные при доказательстве теоремы 11.6, позволяют произвести дальнейшую, по сравне
нию с формулой (10.7), факторизацию функций Ф (z) €= Нр. Покажите, что каждая такая функцияпредставимаввидо
Ф (z)= е^Ь(г)D (z)S (z), |
(13.6) |
где Ь (z) — произведение Бляшке,!? (z) — функция, построенная по форму ле(11.6)с заменой| ЧГ+(eis) | на | Ф* (eis) J(внешняя функция), aS (z)(сингуляр ная функция) представима в виде
S(z).
104 |
ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ |
[ГЛ. III |
где мера dp (s) порождается некоторой певозрастающеп функцией ц (s), пропзводпая которой почти всюду равна пулю (сингулярная функция в смы сле определения из п. 1.3). Убедитесь также, что параметры, определяющие кпждый пз сомножителей в формуле (13.6), независимы (см., папрнмср, [16],
гл. II, § 6).
f Пусть функция z = ш (£) конформнои однолистно отображаеткруг | £| < 1 на область Gс границей С, а £ = й (z) *— обратная функция. Функция Й' (z) принадлежит классу Ег в G, ибо для иее пптограл вида (11.4) вдоль образа Ст окружности | С| = г. 0 < г < 1, при р = 1 равен 2ш\ Докажите, ведя рас суждения от противного и используя формулу вида (13.6), что если кривая С не принадлежит классу Смирнова (см., конец п. 11.3), то фупкция й' (z) не принадлежит классу Ер, р > 1 (см. [16], гл. III, § 16).
13.10. Важная теорема 11.6 перестает быть справедливой, если граница области G не принадлежит классу С. Это иллюстрируется функцией Ф (z) =
= £2' (z) Т [У (z)], где Т (£) |
строится по формуле (11.6) сзамепой |Ч'+ (<И4) | |
на | ©' (eis) |. Оказывается, |
что эта функция принадлежит классу Ех г, G, |
по не принадлежит Ер при р > 1, хотя ее предельные угловые значения почти всюду на границе по модулю равны единице (см. [22, б)], а также [16], гл. III, § 16). В связи с этим возникает вопрос о том, существуют ли области G со спрямляемыми границами, не принадлежащие классу Смирнова. Утверди тельный ответпа этот вопрос былдан М. В. Келдышемп М. А. Лаврентьевым (см. [11]), построившим соответствующий пример. С другой сторопы, важпо иметь достаточные условия, обеспечивающие принадлежность области G к классу Смирнова. Ряд таких критериев получеп М. А. Лаврентьевым в его исследованиях однолистных функций (см. [12]).
13.11. Элементы теории функций классов типа Нр, главпым образом их граничных свойств и аналитических средств их исследования, были выше изложены в классическом духе. Точно так же отбор материала производился с точки зрения интересов теории краевых задач, для чего вполне достаточным, по крайней мере в настоящее время, оказывается классический аспект тео рии. Для ознакомления с современным состоянием теории, ее методами, про блематикой и результатами весьма полезна монография [7], особепно послед ние се главы. Этот новый этап в теории начался относительнонедавно (около двух-трех десятков лет пазад) и характеризуется интенсивным привлечением понятий и методов общего функционального анализа, в частности теории ба наховых алгебр. С общей точки зрения интересны основные статьи сборника [14], а также статья [1].
|
ЛИТЕРАТУРА |
1. |
А х е р н П. Р. н С э р э с о н Д. (Ahem Р. Д. and Sarason D .), The |
2. |
Hp spaces of a class of function algebras, Acta Math. 117 (1967), 123— 163. |
Б а б е н к о К. И., О сопряженных функциях, ДАН 62, № 2 (1948), |
|
|
157— 160. |
3.В и д о м X . (Widom Н.), Singular integral equations in Lp, Trans. Amer. Math. Soc. 97, № 1 (1960), 131-160.
4.Г а п о ш к и н В. Ф., Одно обобщение теоремы М. Рисса о сопряжен ных функциях, Матем. сб. 46 (68), № 3 (1958), 359—372.
5. |
Г о л у э и н |
Г. М ., |
Геометрическая теория функций |
комплексного |
6. |
переменного, |
«Наука», |
1966. |
|
Г о л у з н н |
Г. М. п К р ы л о в В. И., Обобщение формулы Карлемана |
|||
|
и приложение ее к аналитическому продолжению функционала, Матем. |
|||
7. |
сб. 40 (1933), 144-149. |
функций, ИЛ, |
||
Г о ф м а н |
К ., Банаховы пространства аналитических |
|||
|
1963. |
|
|
|
8.Д а н и л ю к И] И., а) Лекции] по краевым задачам для аналитических функций и сингулярным интегральным уравнениям, Изд-во Новоси бирского ун-та, 1964.
|
|
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
105 |
|
|
б) Об ограниченности |
сиигулярного |
интегрального оператора п |
про- |
||
|
странетпах Lp с весом, |
Тр. Тбилисок, |
матом, нн-та АН Груз. ССР XXIII |
|||
9. |
(1967), 3 2 -4 4 . |
|
и Ш с л о п о в |
В. 10., Об огранлчеыности |
в Lp |
|
Д а н и л ю к И. И. |
|
|||||
|
сиигулярного оператора с ядром Коши вдоль кривой ограниченного вра |
|||||
10. |
щения, ДЛИ 174, № 3 (1967), 514-517. |
1939. |
|
|||
Я н г м у н д А., а) |
Тригонометрические ряды, ГОНТИ, |
|
||||
|
б) Тригонометрические ряды, т. 1, 2, «Мир», 1965. |
representation |
||||
И . К е л д ы ш М. В. |
н |
Л а в р о и т ь е в М. A., Sur la |
||||
|
conlorinc dcs domaines limites] par des courbes rectifiables, Ann. Ecole |
|||||
|
Norm. 59 (1937). |
|
|
|
|
|
12.Л а и p о u т ь e в M. А., О некоторых!грапичпых задачах теории одно листных фупкцнй,1 Матем. сб. 1 (43), № 6 (1936), 815—844.
13. Н а т а н с о н |
И. П., Теория функций вещественной переменной, |
Гостсхиадат, |
1957. |
14.Некоторые вопросы теории приближении, ИЛ, 1963.
15.П л е с н е р А. И., Zur Tlieorie der conjugierten trigonomotrischen Reihen, Mitt. Math. Sem. Giepen 10 (1923), 1—36.
16. П p и в а л о в И. И., Граничные свойства аналитических функций, Гостсхиадат, 1950.
17.Р и с е Ф. (Hies/. F.), Uber die Randwerte cincr analytisclien Funktion, Matli. Z. 18 (1923), 8 7 -9 5 .
18.P и с с Ф. и P и с с M. (Riesz F. und Riesz M.), Uber die Randwerte eincr analylischcn Funktion, Congr. Scand. Math. 4 (1916), 27—44.
19.P л с с M. (Riesz M.), Sur les fonctions conjugues, Math. Z. 27 (1927), 218— 244.
20.С e г о Г. (Szcgo G.), Uber die Randwerte der analytischcr Funktionen, Math. Ann. 84 (1921).
21.С и м о п e н к о И. Б., а) Краевая задача Римана с измеримыми коэф фициентами, ДАН 135, № 3 (1960), 538—541.
б) Краевая задача Римана для п пар функций с измеримыми коэффициен тами и се применение к исследованию сингулярных интегралов в про странствах с весами, ДАН 141, № 1 (1961), 36—39.
22. |
С м и р н о в |
В. |
И., a) Sur les |
valours |
limites des |
fonctions regulieres |
||||||
|
a l ’interieur d’un |
cercle, JK. Лепинградск. физ.-матем. об-ва 2 : 2 (1928), |
||||||||||
|
22—37. |
|
|
|
de Cauchy |
et do Greeen et quelques problemes qui |
||||||
|
б) Sur les formules |
|||||||||||
|
s ’ у rattaclicnt, |
Иэв. АН СССР, |
|
сер. фиа.-матем. (1932) 337—372. |
||||||||
|
в) Uber |
die Randerzuordnung bei konformer Abbildung, Math. Ann. 107 |
||||||||||
23. |
(1932), 313-323. |
|
Введение в теорию |
интегралов |
Фурье, |
Гостехнздат, |
||||||
Т и т ч м а р ш Е . , |
|
|||||||||||
24. |
1948. |
П. (Fatou Р.), Series trigonometriques et series de Taylor, Acta |
||||||||||
Ф а т у |
||||||||||||
25. |
Math. 30 |
(1906) 335-400. |
Sur l ’integral de |
Poisson |
et quelques |
|||||||
Ф и х т с п г о л ь ц |
Г. M., a) |
|||||||||||
|
questions |
quis’y rettachent, Fund. Math. 13 (1929), 1—33. |
|
|||||||||
|
о) Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III, «Наука»* |
|||||||||||
26. |
1970. |
В. П., Граничные свойства интегралов типа Коши и гармони |
||||||||||
Х а в и н |
||||||||||||
|
чески сопряженных |
функций |
в |
областях |
со спрямляемой границей, |
|||||||
27. |
Матем. сб. 68 (110), № 4 (1965), 497-517. |
П о л н а |
Г., Неравенства, |
|||||||||
Х а р д и |
Г. Г., |
Л и т т л в у д |
|
Дж. Е. |
и |
|||||||
28. |
ИЛ, 1948. |
|
(Evans G. С. and Bray II. Е.), С. R. 176,1042, 1368; |
|||||||||
Э в а н с |
и Б р э й |
|||||||||||
|
177, 241 |
(1923). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л a (i a iV
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА И КОШИ
В настоящей главе излагается аналитический аппарат иссле дования краевых задач — теория интеграла типа Коши и родст венного ему потенциала двойного слоя. Прежде всего, приводится классический результат Радона: интегральный оператор, порож денный прямым значением потенциала двойного слоя на линии интегрирования, непрерывен в пространстве непрерывных функ ций, если линия имеет ограниченное вращение. Затем устанавли вается аналогичный результат в пространствах суммируемых функций. После этого излагаются наиболее важные результаты, относящиеся к граничным свойствам интегралов типа Коши: сначала основная лемма Привалова и ее следствия, затем вопросы непрерывности в замкнутой области интегралов типа Коши с достаточно хорошими свойствами гладкости их плотностей и, наконец, теорема Привалова о непрерывности сингулярного ин тегрального оператора в простраистве функций, непрерывных в смысле Гёльдера. Кроме того, изучаются упомянутые интеграль ные операторы в пространствах суммируемых функций. Основное внимание уделяется взвешенным пространствам типа Ьр, веса которых имеют вид интегралов, возникающих в теории неодно родных краевых задач линейного сопряжения. В заключение кратко излагаются другие важные результаты из рассматривае мой области, а также некоторые обобщения па пространственный случай.
§14. Интегральный оператор Радона в пространствах С н Lp
14.1.Рассмотрим некоторую спрямляемую кривую С на плос
кости z = х + iy и, как обычно, через s обозначим длину дуги на ней. Каждую функцию / из соответствующего пространства Lp будем относить к параметру $, 0 ^ s ^ S. Как и в п. 3.4, через coz(s) обозначим угловую функцию arg [z (s)— z], определенную по непрерывности для каждой точки z ф. С. При каждом таком фиксированном z функция a>z ( S) абсолютно непрерывна по $ па сегменте [О, S] и, как легко убедиться непосредственным диф-
S 14] |
ОПЕРАТОР РАДОНА В ПРОСТРАНСТВАХ С И Ьр |
107 |
||||
ференцированием, ее |
производная |
по |
а ограничена |
(см. ниже, |
||
п. 14.6). По-прежнему |
предполагая, что z ф С, |
рассмотрим выра |
||||
жение |
|
|
|
|
|
|
|
« / м = ^ /< * > < 4 » . « |
= |
м ^ |
* . |
(14Л) |
в котором второй интеграл может служить определением первого. Интеграл (14.1) есть вещественная часть интеграла типа Ковш с плотностью / (5), если она вещественна, и представляет потен циал двойного слоя вдоль С с плотностью диполей j (s).
|
14.2. |
|
Изучение |
оператора (14.1) в случае непрерывных плот |
||||||||
ностей / (а) |
основано на следующем утверждении: |
|||||||||||
|
Т е о р е м а |
14.1. (И. Радон, см. [22]). Пусть С — некоторая |
||||||||||
замкнутая (не обязательно морданова) линия ограниченного вра |
||||||||||||
щения, |
0 (а) — определенный а § 3 |
угол между касательной к С |
||||||||||
и осью х, и пусть точка z (0) = |
z (S) линии С не является угло |
|||||||||||
вой. Тогда при любом z ф С полная вариация функции ©z(а) (от |
||||||||||||
носительно s ЕЕ [0, S]) |
не превосходит полной вариации функции |
|||||||||||
0 |
(а) на сегменте 1 0 , 5]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
V ?to )< V ?(e ). |
|
|
(14-2) |
||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Разобьем |
сегмент |
[0, 5] точками |
||||||||
0 = а0 < |
а* < . . . < sn = |
S, считая, что точки, в которых угол |
||||||||||
6 (а) имеет скачки, по абсолютной величине большие л/2 , вхо |
||||||||||||
дят в число делящих. Нетрудно убедиться, что существует столь |
||||||||||||
малое число б > |
0 , что |
|0 (а') — 0 |
(а") | < л/ 2 |
для любых двух |
||||||||
внутренних |
относительно |
сегмента |
[aj, |
af+1] |
точек а', а", лишь |
|||||||
только |
а{+ 1 |
— а{ < б, |
i = |
0, |
1, . . .,п — 1. |
Полное изменение |
||||||
угла © (а) == ©z(a), z ф С, можно выразить с произвольной точ |
||||||||||||
ностью суммой |
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn[©; 0, 5] = |
2 |
I ®(*i+i) — <*>isi) I» |
(14-3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i= 0 |
|
|
|
|
|
если число |
б >• 0 взять достаточно малым. Пусть П — полигон |
|||||||||||
с |
вершинами в |
точках |
z (0), |
z (ах), . . .,z (an_x), |
z (S), а^ © (а) = |
|||||||
= |
©z (а) — непрерывно меняющийся угол между прямой, соеди |
|||||||||||
няющей точку z с текущей точой z (а) полигона, и осью х. Очевид |
||||||||||||
но, что при достаточно малом б > |
0 точка z ф С будет иметь по |
|||||||||||
рядок нуль (см. § 3, п. 3.4) относительно замкнутой кривой, об |
||||||||||||
разованной |
отрезком, соединяющим |
точки z (aj), |
z (ai+i), и соот |
|||||||||
ветствующей дугой линии С. Нетрудно убедиться, что сумма (14.3) |
||||||||||||
является полным |
изменением функции ©(j). |
|
|
Определим угол 0 (а) между касательной к П и осью х и по кажем сначала, что неравенство (14.2) имеет место, если оно
108 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА И КОШИ [ГЛ. IV
справедливо для полигона П. Отсчет дуги s на П начнем с той
же точки z (0 ), а угол 0 (s) на каждой |
стороне между |
точками |
|
z (si_i), z (Si) будем считать постоянным |
и равным числу |
0,. Вы |
|
бирая Bj произвольно, все последующие 0 * зададим так, |
чтобы |
||
скачки, соответствующие вершинам z (sx), z (s2), . . .,z (sn-i), |
удов |
||
летворяли условиям |0i+i — 0| | я. В упомянутых вершинах |
угол 0 (s) может быть взят произвольно между 0* и 0i+i. Вкоиеч-
ной точке s = |
S, где S — длина полигона^ П, положим 0 (S) = |
||
= |
0 „, а в начальной s = 0 положим 0 (0 ) = 0 О, где 0 О= |
0 n (mod 2 л) |
|
и |
|0i — 0о I ^ |
л- Полное изменение так определенной функции |
|
0 (s), как нетрудно убедиться, задается формулой |
|
||
|
|
11-1 |
|
|
|
г ? ( в ) - 2 1 ® ю - в | | . |
(14-4> |
|
|
i= 0 |
|
причем первый член 0 ^ — 0 Остремится к нулю вместе с б в силу гладкости С в точке z (0).
Докажем теперь, что на каждой дуге кривой С, отвечающей
значениям s из сегмента [s,-, Si+i), |
существует такая внутренняя |
||||
точка z (аг), |
что для некоторого |
значения 0 |
* между |
числами |
|
0 (а» — 0 ), 0 |
(а,- + |
0 ) имеет место сравнение |
|
|
|
|
0{ = |
0* (mod 2л), |
i = 1 ,2 , . . . , |
п. |
(14.5) |
В самом деле, выберем такую систему координат, в которой х (Si-i) = у (s^) = 0, х (st) > 0, у (Si) = 0. Вспоминая формулы (2.4), получим тогда
Зг |
Ч |
|
^ cos 0 (s) ds]> 0, |
§ sin 0 (s) cfe = 0. |
(14.6) |
*i-l |
4-1 |
|
Несложными рассуждениями можно убедиться, что для некоторой
точки z (at), Oi е |
(Sj-i, s^, и для некоторого 0 |
(сг), |
заключенного |
|||||||||
между |
0 (at |
+ 0 ), |
0 (сг£ — 0 ), должно |
существовать |
сравнение |
|||||||
0 (df) = |
0 (mod я), иначе второе из соотношений (14.6) |
было |
бы |
|||||||||
невозможно. |
На |
самом же |
деле Ъ (от*) |
= |
0 (mod |
2я). |
Действи |
|||||
тельно, в силу построения разбиения s0 < |
si < ■••< |
sn |
имеем |
|||||||||
|0 (s') — 0 (s") | < |
я/ 2 для любой |
пары |
s', |
su внутренних |
||||||||
точек относительно |
любого |
интервала |
|
(${_!, |
s*); |
в |
частности, |
|||||
\Q(s') — б(аг) | |
л/2, |
следовательно, в противном случае угол 0 |
(s) |
|||||||||
при s е |
(si-i, st) изменялся бы во втором или |
третьем квадранте, |
||||||||||
cos 0 (s) |
был бы отрицательным и первое из |
соотношений |
(14.6) |
было бы невозможно. Возврат к прежней системе координат при водит к формулам (14.5).
§14] ОПЕРАТОР РАДОНА D ПРОСТРАНСТВАХ С И L
Из формул (14.5) непосредственно вытекают неравенства
|в|и — ®i |^ 1 0 {+i — в* |» i — 1 , 2 , . . п — 1 ,
поскольку |0i+1 — Ог |< я. Суммируя эти неравенства, получим
v! (6)< I о, - |
п—1 |
|
|
о. I+ SI |
- |
0,1< г? (0)+ 10- _ 0„|, |
|
|
1=1 |
|
|
поскольку замена |
0 (а*) па число |
0 г, находящееся между преде |
|
лами 0 (0 | -|- 0 ), 0 |
(а* — 0 ), |
не меняет полной вариации функции |
0^1; Предположим, что неравенство (14.2) доказано для полиго
нов, так |
что |
y f (со) |
v f (0). Тогда для любого е > |
0 существует |
столь малое |
б > 0 , что |
|
||
Ff (о) < |
Sn[со; 0, S] + |
е = У? (ш) + е < У®(0) + е < |
У®(0) + 2е, |
что иемедленно приводит к соотношению (14.2) в общем случае. Перейдем теперь от полигона П к гладкой кривой Г с кусочно
непрерывной |
кривизной. |
С |
этой целью |
«закруглим» |
углы |
полигоиа (т. е. |
вершины |
П, |
в которых |
|0{+1 — 0£| < я) |
при |
помощи дуги окружности, радианная мера которой равна_ |0 i+x —
— 0£ |. В случае «точки заострения», когда |0£+1 — 0* | = я, «закругление» осуществим следующим образом. Построим две дуги окружностей, симметричные относительно стороны поли гона, примыкающей к точке заострения, и имеющие центральные углы е / 4 < я/2. Свободные концы этих дуг соединим дугой третьей окружности, обеспечив гладкость получающейся линии. Замена острия построенной линией приводит к замене скачка
|6 i+i — 0 t |= л на полное вращение я + е, в чем нетрудно убе диться на основапии элементарных геометрических построений. Если N — число точек заострения полигона П, то из построений
вытекает, что полное вращение линии Г выражается формулой П—1
Уо (0 ) + |
We = |
S i 0 I+I — 0iI + Ne. |
Поскольку N — число фик- |
сированное, |
1=0 |
малое, то достаточно доказать |
|
а е — произвольно |
|||
(14.2) |
для кривой Г. Следовательно, в оставшейся части доказа |
тельства можно предполагать, что кривая С — гладкая и состоит из конечного числа выпуклых частей с непрерывной кривизной.
Запишем уравнепия |
кривой С в виде х (s) = г (s) cos се (s), |
|
у (s) = г (s) sin со (s), |
где |
(г, со) — полярная система координат с |
центром в точке z ф |
С. Функции г (s), со (s) непрерывно дифферен |
цируемы и г (s) > 0 па сегменте [0 , £], причем дифференцирование
НО |
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА И КОШИ |
[ГЛ. IV |
предыдущих соотношений и учет формул (2.4) приводит к соот ношениям
cos е (s) = r'(s) cos w (s) — г (s) sin © (s) •©'($), sin 0 (s) = r'($) sin © (s) + r ($) cos © (s)-©'(s).
Отсюда получаем
r’(s) = cos [ 0 r (s)©' (s) = sin [ 0
(s)— © («)],
(s)— © (s)],
так что r'a (s) - f г2 (s) ©,a(5) = 1. Дифференцируя еще рае первое из этих соотношений (вне точек соединения упомянутых выше вы пуклых частей) и принимая во внимание второе, получим
г" (s) = — sin [0 (s) — © (s)] •[0 ; (s) — © '(s)] = |
_________ |
= [©'($) — 0 ' (s)]sign © '(s) •Y i — r'2(s) == (| © '(s) I ± |
0 '(s))T^1 — r'2(s), |
где радикал считается положительным.
Рассмотрим теперь функцию / ($) = arcsin г' (s), определенную главным значением арксинуса. Поскольку непрерывна произ
водная r'(s) и |
|г' (s) | |
1 , то / (s) непрерывна на сегменте [0 , £]. |
||
Больше |
того, |
в каждой |
точке s £ [ 0 , S1, где |
|r'(s) |< 1, эта |
функция имеет производную |
|
|||
|
|
/,(s) = 7 !0 r W = K (s)l±e' (s)- |
||
В силу сделанных предположений точки s S |
[0, <51, в которых |
|||
I г'($) 1 = |
1 » характеризуются равенством © '(s) = 0 и, следова |
тельно, либо лежат изолированно, либо заполняют целые интер валы; в таких интервалах либо / (s) = я/2 , либо / (s) = —я/2 , так что всегда / ' (s) = 0. Интегрируя / ' (s) в каждом из этих под интервалов и складывая ватем все полученные выражения, в силу непрерывности / (s) получим
вв
О = / (S) - / (0 ) = $ I м' (s) I * + $ ± 6' (s) &;
оо
перед 0 '(s) знак «+ » берется в тех точках, где ©'(а) < 0 , а энак «—ь — в остальных. Вспомним теперь, что для непрерывно диффе ренцируемой функции полная вариация равна интегралу от мо дуля производной (см., например, [18], гл. IX, § 4, а также (4.7)). Тогда из предыдущего соотношения получаем (14.2)
вв
= |
10 '(s)|& = V . (9). |
оо
Теорема 14.1 полностью доказана.